期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练（54题）（二十一种覆盖训练）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:算术平方根与立方根化简与解方程 1．分求下列各式中的x的值： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)． 覆盖训练02:二次根式的计算 3．计算：． 4．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 覆盖训练03:网格作图 5．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形； (1)使三角形的三边长分别为，，（在图①中画出一个即可），并求出该三角形的面积． (2)使三角形为钝角三角形且面积为4（在图②中画出一个即可），并计算你所画三角形的周长． 6．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)点A关于x轴的对称点坐标为______； (2)画出关于y轴对称的图形，并求出的面积是______； (3)已知P是x轴上一点，当最小时，直接写出P点坐标______． 覆盖训练04:正比例、一次函数的图象与性质 7．已知直线与直线相交于点， (1)求m的值； (2)求k的值． 8．已知y与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 覆盖训练05:坐标系中的平行与距离问题 9．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)已知点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及对应的点的坐标． 10．在平面直角坐标系中，点的坐标是． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点在第三象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值． 覆盖训练06:平方根与立方根的综合应用 11．已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 12．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： (1)、、的值； (2)的立方根． 覆盖训练07:(算术)平方根与立方根的解决应用 13．如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 14．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 覆盖训练08:勾股定理的解决应用 15．目前，河南省已建立各类自然保护地351处，有效保护了野生动植物．如图，南北方向线以西为某保护区，以东为普通区域，上午10时20分，监测站发现正东方向有一违规进入的车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来，便立即通知正在线上巡逻的巡逻车，巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去．已知开始时，的距离是13千米，，的距离是5千米，，的距离是12千米．巡逻车能否拦截住违规车辆？ 16．水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 覆盖训练09:一次函数的实际应用 17．某游泳馆推出了两种收费方式． 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元； 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元． 设小亮在一年内来此游泳馆的次数是x，选择方式一的总费用为（元），选择方式二的总费用为（元）． (1)请分别写出，与x之间的函数表达式． (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x为多少时，采用方式一与方式二总花费相同？ 18．近些年来，我国自主研发的新能源汽车品牌呈现出迅猛的发展态势，2024年我国新能源汽车年销量为1200余万辆，小丽家购买了一辆新能源车，搭载100度电池包，五一期间，一家人开车到距家250千米的景点旅游，出发前，车辆电量显示，当行驶200千米时，发现电量显示为（假设行驶过程中汽车的耗电量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗电量（度）； (2)写出剩余电量Q（度）与行驶路程x（千米）之间的关系式； (3)当电池显示低于时，车辆将自动报警，若往返途中不充电，他们能否在车辆报警前回到家？请说明理由． 覆盖训练10:蚂蚁爬行问题 19．如图，圆柱的底面周长为6，是底面圆的直径，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是多少？（请画出示意图） 20．（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 21．如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 覆盖训练11:赵爽弦图 22．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行证明：． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，设，求x的值． 24．综合与实践 我国古代数学家赵爽创造了“赵爽弦图”，他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．如图1，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)观察验证 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：________（化简），也可直接表示为大正方形边长的平方，即________，所以________，勾股定理得到了验证； (2)类比探究 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你就图2情形进行证明； (3)拓展应用 若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围周长． 覆盖训练12:整数部分与小数部分 25．已知：且a的立方根是它本身，的算术平方根是4． (1)直接写出：______，______； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 26．阅读材料，因为，所以的整数部分是2，小数部分是． (1)填空：的小数部分是_________； (2)已知是的整数部分，是其小数部分，求的值． 27．同学们知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们无法全部写出来，喜欢动脑筋的小明同学用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去它的整数部分，所得的差就是这个数的小数部分． (1)已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． (2)若m是的整数部分，n是的相反数，请比较m，n的大小． 覆盖训练13:函数中的行程问题 28．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，慢车先出发，设先发车辆行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题： (1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标； (3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 29．甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． (1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； (2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． 30．A、B两地相距600千米，途中有一个服务区，甲车从A地出发，前往B地，同时乙车从B地出发前往服务区接人，到达服务区停留0.5小时等人，接到人后立即按原路原速返回B地，两车匀速行驶，结果甲车比乙车晚1.5小时到达B地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车行驶速度是______千米/时，乙车行驶速度是______千米/时； (2)求乙车从接到人后返回B地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围） (3)直接写出两车出发多少小时相距30千米？ 覆盖训练14:根式中的分母有理化 31．观察下列过程： (1)运用上述的方法可知： ； (2)计算： (3)当时，按照上述方法求出的值． 32．在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题∶ 已知 ，求 的值． 经过思考和探索，他的解答如下． ， ， 请你根据小明的解题过程， 【解决下列问题】∶ (1)计算∶ (2)若 ，求 的值． 33．阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面给出的问题． 对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，往往会发现有价值的东西，这是解决数学问题的一个重要策略．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法． 例如． (1)写出一个的有理化因式：_____． (2)仿照上面的解题过程，化简：． (3)计算：． 覆盖训练15:数形结合最值问题 34．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：利用图3，代数式的最小值为______； (3)若，则的最小值为______； (4)已知正数m满足，求m的值． 35．【知识运用】 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知为正实数，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设， ①用含的代数式表示___________，___________，___________； ②据此写出的最小值是___________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 36．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 覆盖训练16:坐标系中的面积问题 37．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 38．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点作轴于点． (1)求三点的坐标； (2)如图②，若过点作交轴于点．且，分别平分．求的度数； (3)在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 覆盖训练17:坐标系中的特殊三角形 40．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线l上． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为轴上一动点，连接，，若的面积为，求点的坐标； (3)如图3，点与点是关于轴的对称点，连接，点和分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足．是否存在点、点使得为等腰三角形？若存在，请求出线段的长；若不存在，请说明理由． 41．建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 覆盖训练18:坐标系中的动点求t 43．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)和位置关系是_______； (2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为． ①请分别用含t的式子表示和的面积； ②若，求出点P的坐标； (3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 44．已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形的顶点B的坐标是． (1)直接写出A点坐标(  ，  )，C点坐标(  ，  )； (2)如图2，D为中点．连接，如果在第二象限内有一点，且四边形的面积是面积的2倍，求满足条件的点P的坐标； (3)如图3，动点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发．以每秒2个单位的速度沿线段运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒，在M，N运动过程中，当时，直接写出时间t的值． 45．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 覆盖训练19:坐标系中的新定义 46．【概念学习】在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义： 若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称两点为同距点．如下图中的两点即为同距点． 【理解概念】 （1）如图，判断点是否是点的同距点； 【深入探索】 （2）若点是点的同距点，求的值； 【拓展延伸】 （3）已知点，若点为点的同距点，且点在第二象限，求出此时之间的关系式． 47．在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形和图形上任意两点间距离的最小值称为图形与图形的“相关距离”，记作．特别地，若图形与图形有公共点，则规定． (1)若图形为点，图形为线段，其中，． 直接写出点与线段的“相关距离”，即______； 点是轴上的一个动点，当时，求点的坐标？ (2)已知点，，，，若线段上存在点使得，直接写出的取值范围． 48．在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义；若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为． ①在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为______． (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 覆盖训练20:折叠问题 49．阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五、”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，那么三者之间的数量关系是：___________． (2)对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，定是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整： ___________（用含的式子表示） 又______________________． ___________． (3)如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长． 50．如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 51．如图，在长方形纸片中，四个角是直角，对边平行，，．点、分别在、边上，连接，如图1，把长方形纸片沿着折叠，设、的对应点分别是、．    (1)当时，则______． (2)在折叠的过程中，当的对应点恰好与点重合时，请结合图2，求出和的长； (3)在折叠的过程中，当点落在直线上，且时，请直接写出的长． 覆盖训练21:秦九韶——海伦公式 52．秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，，，，垂足为D，求的长． 53．【教材】我们八年级下册数学课本第16页介绍了我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式． (1)如图1，若的三边长依次为，，，求该三角形的面积； (2)如图2，四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 54．阅读材料，回答问题： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式．帆帆同学对公式兴趣浓厚，以锐角三角形为例，证明过程如下： 如图，在锐角三角形中，，，． 求证：，其中． 证明：如图，过点A作于点D，则 设，，则① ∴② 解得 ∴ ∵ ∴ ③ ∴． 中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，实质上是同一个公式，故这个公式又被称为海伦-秦九韶公式． (1)补全帆帆同学证明过程中①②③所缺的内容； (2)若，，，请用海伦-秦九韶公式求的面积； (3)在（2）的条件下，设中边上的高为，边上的高为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:算术平方根与立方根化简与解方程 1．分求下列各式中的x的值： (1) (2) 【答案】(1)或． (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． （1）先将两边同时除以5，再利用平方根的含义解方程即可； （2）先将两边同时乘以2，再利用立方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解： 则 即． 当时，解得； 当时，解得； 或． （2）解： 解得． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查求算术平方根，立方根，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先求出算术平方根，立方根，绝对值，再进行加减运算； （2）先运用完全平方公式，平方差公式进行计算，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 覆盖训练02:二次根式的计算 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行绝对值化简、根据二次根式性质化简及二次根式乘法，再合并同类二次根式即可．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 4．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算二次根式的乘除法，再计算减法即可； （3）先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算减法即可； （4）先利用乘法公式去括号，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 覆盖训练03:网格作图 5．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形； (1)使三角形的三边长分别为，，（在图①中画出一个即可），并求出该三角形的面积． (2)使三角形为钝角三角形且面积为4（在图②中画出一个即可），并计算你所画三角形的周长． 【答案】(1)画图见解析，面积为3 (2)画图见解析，周长为 【分析】本题考查复杂作图，勾股定理，三角形面积公式，正确掌握勾股定理是解题关键； （1）利用勾股定理构造，，组成三角形即可，再利用割补法求出其面积； （2）利用网格构造面积为4的钝角三角形即可，再利用勾股定理求出其周长. 【详解】（1）解：如图所示，由勾股定理可得：，，， ∴即为所求， ∴. （2）解：如图所示，由网格边长为1可得：，为钝角， ∴即为所求， 由勾股定理得：，， ∴的周长为. 6．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)点A关于x轴的对称点坐标为______； (2)画出关于y轴对称的图形，并求出的面积是______； (3)已知P是x轴上一点，当最小时，直接写出P点坐标______． 【答案】(1) (2)见解析， (3) 【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换、轴对称最短路线问题等知识点，掌握轴对称的性质是解决本题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的特点求解即可； （2）根据轴对称的性质作出关于y轴的对称点，即可得出；根据网格利用割补法即可求出的面积即可； （3）作点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时周长最小，进而求解即可． 【详解】（1）解：点关于x轴的对称点坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图，作点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P， ∴ ∴ ∴此时最小， ∴． 覆盖训练04:正比例、一次函数的图象与性质 7．已知直线与直线相交于点， (1)求m的值； (2)求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用函数图象上点的坐标满足该函数解析式这一性质，将点的坐标代入对应的函数解析式求解未知量． （1）因为点在直线上，所以将代入该直线解析式，即可求出的值． （2）将点的坐标，代入直线就能求出的值． 【详解】（1）解：因为点在直线上， 所以将代入中，可得： 解得． （2）解：由（1）可知点的坐标为， 又因为点在直线上， 所以将，代入中，可得： 解得． 8．已知y与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用正比例关系求一次函数解析式，求一次函数的函数值，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，． 覆盖训练05:坐标系中的平行与距离问题 9．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)已知点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及对应的点的坐标． 【答案】(1) (2)当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为 【分析】本题考查了点的坐标，坐标轴上的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点在y轴上横坐标为0求解； （2）结合直线轴，得出，即，根据线段的长为5，进行分类讨论，再进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ， ； （2）解：直线轴， ，C两点的横坐标相等， 即， 解得， ， 点A的坐标为． 线段的长为5， 当点C在点A上方时，， 解得，此时点C的坐标为； 当点C在点A下方时，， 解得，此时点C的坐标为． 综上所述，当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为． 10．在平面直角坐标系中，点的坐标是． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点在第三象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标的特点，点到坐标轴的距离相等，解绝对值方程，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据点在轴上，横坐标为0，建立方程解答． （2）根据题意，得，解答即可． 【详解】（1）解：点的坐标是且在轴上， 故， 解得， 故， 故点的坐标为． （2）解：因为点在第三象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等， 故， 故或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不在第三象限，不符合题意； 故． 覆盖训练06:平方根与立方根的综合应用 11．已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算． （1）根据的算术平方根是，的立方根是，得出，，求出结果即可； （2）把，代入求出，然后求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 12．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： (1)、、的值； (2)的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出、、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可； （2）将（1）中求出的、、的值代入，求出结果后再求出立方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的平方根是， ，， 解得：，， ， ， 的整数部分是，即， ，，； （2）解：，，， ，， 的立方根是． 覆盖训练07:(算术)平方根与立方根的解决应用 13．如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 【答案】(1)10cm (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的应用，正确理解题意是关键； （1）先得到图2的大正方形的面积为，再计算100的算术平方根即可； （2）若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm，根据题意可得，求出x的值后再与正方形的边长进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：∵图2的大正方形是由两个面积为的小正方形纸片拼成， ∴图2的大正方形的面积为 ∴图2中拼成的大正方形纸片的边长； （2）解：不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形，理由如下： 若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm， 则， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴长方形的宽为6cm，长为12cm， ∵， ∴不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形． 14．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 【答案】(1) (2)，，截得的每个小正方体木块的棱长； 【分析】本题主要考查立方根的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）求一个数的立方根即可； （2）根据题意列出方程，根据求一个数的立方根的概念得到答案即可； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴棱长为， 故大正方体木块的棱长为； （2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为， 则截得的这8个小正方体木块的总体积为， 由题意得：， 解得：， 故截得的每个小正方体木块的棱长为， 故答案为：，． 覆盖训练08:勾股定理的解决应用 15．目前，河南省已建立各类自然保护地351处，有效保护了野生动植物．如图，南北方向线以西为某保护区，以东为普通区域，上午10时20分，监测站发现正东方向有一违规进入的车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来，便立即通知正在线上巡逻的巡逻车，巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去．已知开始时，的距离是13千米，，的距离是5千米，，的距离是12千米．巡逻车能否拦截住违规车辆？ 【答案】巡逻车能拦截住违规车辆 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． 设直线与线段交于点．则，利用勾股定理列方程求得，，进而求得违规车辆和巡逻车到达E处的时间，比较大小可得结论． 【详解】解：设直线与线段交于点． 由题意知，，所以违规车辆进入保护区的最短距离是线段的长． 在和中，，， 所以，解得（千米）， 因为违规车辆的速度是72千米/小时， 所以（小时）， 千米，（小时） ，所以巡逻车能拦截住违规车辆．（此题解法不唯一，由勾股数5，12，13得出是直角三角形，再利用面积求解亦可） 16．水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水池深尺，芦苇长尺 【分析】本题主要考查了勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度尺， 答：水池深尺，芦苇长尺． 覆盖训练09:一次函数的实际应用 17．某游泳馆推出了两种收费方式． 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元； 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元． 设小亮在一年内来此游泳馆的次数是x，选择方式一的总费用为（元），选择方式二的总费用为（元）． (1)请分别写出，与x之间的函数表达式． (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x为多少时，采用方式一与方式二总花费相同？ 【答案】(1)， (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x为20时，采用方式一与方式二总花费相同 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件； （1）根据题意方式一的总费用是会员卡的费用加上每次游泳 30 元，方式二就是每次游泳 40 元； （2）根据（1）中的函数关系式列方程求解即可； 【详解】（1）解：根据题意， 方式一总费用是：， 方式二总费用是：， 答：． （2）解：根据题意可得：， 解得：； 答：小亮一年内在此游泳馆游泳的次数为20时，采用方式一与方式二总花费相同． 18．近些年来，我国自主研发的新能源汽车品牌呈现出迅猛的发展态势，2024年我国新能源汽车年销量为1200余万辆，小丽家购买了一辆新能源车，搭载100度电池包，五一期间，一家人开车到距家250千米的景点旅游，出发前，车辆电量显示，当行驶200千米时，发现电量显示为（假设行驶过程中汽车的耗电量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗电量（度）； (2)写出剩余电量Q（度）与行驶路程x（千米）之间的关系式； (3)当电池显示低于时，车辆将自动报警，若往返途中不充电，他们能否在车辆报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1)该车平均每千米的耗电量为度 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）用原电量百分比减去剩余电量百分比后乘以总电量除以行驶路程即可； （2）结合（1）即可求出关系式，用总电量除以每千米的耗电量求出最大行驶路程，即可求出自变量的取值范围； （3）求出往返后的剩余电量，与电池显示等于时的电量比较即可． 【详解】（1）解：（度）， 答：该车平均每千米的耗电量为度； （2）解：由（1）知平均每千米耗电量为度， ， （千米）， ， 即； （3）解：他们不能在车辆报警前回到家． 理由：一家人开车到距家250千米的景点旅游， 即往返共行驶500千米， 当千米时，（度）， （度）， 他们不能在车辆报警前回到家． 覆盖训练10:蚂蚁爬行问题 19．如图，圆柱的底面周长为6，是底面圆的直径，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是多少？（请画出示意图） 【答案】5 【分析】本题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，首先画出圆柱的侧面展开图，可得，，在中，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为6， ∴， ∵， ∴在中，． 故一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是5． 20．（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 【答案】（1）该长方体中能放入木棒的最大长度是（2）不正确，见解析（3）10 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）不正确，理由如下： ①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作点关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 故答案为：10． 21．如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 覆盖训练11:赵爽弦图 22．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设边上的高为x， ∵， ∴． （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行证明：． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，设，求x的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)新路比原路少千米 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的推导和应用，解题的关键是掌握勾股定理的灵活应用和数形结合的思想． （1）利用两种梯形的面积表示方式进行整理即可； （2）设千米，则千米，利用勾股定理列出方程，然后进行求解即可； （3）设，则，利用两个直角三角形的公共边和勾股定理进行列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即， 解得， 即， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． 24．综合与实践 我国古代数学家赵爽创造了“赵爽弦图”，他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．如图1，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)观察验证 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：________（化简），也可直接表示为大正方形边长的平方，即________，所以________，勾股定理得到了验证； (2)类比探究 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你就图2情形进行证明； (3)拓展应用 若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围周长． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)76 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式与几何图形． （1）根据完全平方公式化简，用大正方形边长求出大正方形的面积，根据面积相等列等式即可； （2）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．利用三角形的面积公式来进行表示即可； （3）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：，也可直接表示为大正方形边长的平方，即，所以，勾股定理得到了验证； 故答案为：；；； （2）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则， 又， ， （3）如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 覆盖训练12:整数部分与小数部分 25．已知：且a的立方根是它本身，的算术平方根是4． (1)直接写出：______，______； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】(1)1，5 (2) (3) 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解； （3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵且的立方根是它本身， ， ∵的算术平方根是4， ∴， ， 故答案为：1，5． （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． （3）解：∵，， ， ∵， ∴，即， ∴的整数部分是2，小数部分是， 即，， ， 则的值为． 26．阅读材料，因为，所以的整数部分是2，小数部分是． (1)填空：的小数部分是_________； (2)已知是的整数部分，是其小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查无理数的估算和实数的运算，通过所给材料得出无理数的整数及小数部分的计算方法是解题的关键． （1）先估算出，据此即可求得的小数部分； （2）先估算出的范围，进而可得出的范围，再求得的整数部分，小数部分，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是8，小数部分是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴． 27．同学们知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们无法全部写出来，喜欢动脑筋的小明同学用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去它的整数部分，所得的差就是这个数的小数部分． (1)已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． (2)若m是的整数部分，n是的相反数，请比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据得到，，再代入计算即可； （2）根据，n是的相反数，确定，的值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是， ∵n是的相反数， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 覆盖训练13:函数中的行程问题 28．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，慢车先出发，设先发车辆行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题： (1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标； (3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 【答案】(1)80，120 (2)见解析， (3)或 【分析】本题考查从函数图象获取信息，待定系数法求解析式，一次函数的应用，读懂图象，获取信息是解题的关键． （1）根据图象可知先出发的车行驶小时，行驶，可得先出发的车的速度，根据两车相遇的时间可得后出发的车的速度，即可得答案； （2）点D表示快车到达乙地，求出快车走完全程所需时间即可得到点D的横坐标，再求出此时慢车所走过的路程即可得到点D的纵坐标，即可解答； （3）分相遇前和相遇后两种情况，采用待定系数法分别求出线段，线段的函数解析式，令，求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知：先出发的车行驶小时，行驶距离为， ∴先出发的车的行驶速度为， ∵后出发的车行驶小时时两车相遇， ∴后出发的车的速度为， ∴先出发的车为慢车，速度为，后出发的车为快车，速度为． 故答案为：80，120； （2）解：点D表示快车到达乙地， ∵快车走完全程所需时间为， ∴点D的横坐标为， 此时慢车走过的路程为， ∴点D纵坐标为360， ∴点D的坐标为， ∴点D的实际意义是快车出发了4小时，快车慢车相距时快车到达乙地； （3）解：由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为， 两车相遇前，设线段的函数解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，， 解得， ∴当时，两车之间的距离为； 两车相遇后，设线段的函数解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，， 解得， ∴当时，两车之间的距离为； 综上所述，当或时，两车之间的距离为． 29．甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． (1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； (2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． 【答案】(1)60，120 (2) (3)或或 【分析】本题考查了实际问题的函数图像，一次函数的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． （1）根据速度路程时间求解即可； （2）用返回时行驶的速度表示即可； （3）根据题意分3种情况讨论，分别列出算式或方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，乙车的速度是（千米/时）， 甲车从A地到B地的速度是（千米/时）， 甲车返回时的速度是（千米/时）； （2）解：根据题意得，， （小时）， ∴（小时）， ∴自变量的取值范围是； （3）解：当甲，乙相遇前，根据题意得，（小时）； 当4小时时，甲车到达B地， 当甲、乙两车甲，乙相遇后第一次相距260千米时，（小时）； 当甲返回时，， 解得（小时）， 综上所述，出发或或小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米． 30．A、B两地相距600千米，途中有一个服务区，甲车从A地出发，前往B地，同时乙车从B地出发前往服务区接人，到达服务区停留0.5小时等人，接到人后立即按原路原速返回B地，两车匀速行驶，结果甲车比乙车晚1.5小时到达B地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车行驶速度是______千米/时，乙车行驶速度是______千米/时； (2)求乙车从接到人后返回B地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围） (3)直接写出两车出发多少小时相距30千米？ 【答案】(1)60；90 (2) (3)两车出发3.8小时或4.5小时或6.5小时或9.5小时时相距30千米 【分析】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）根据F点坐标可求出甲车速度，根据路程及时间可求乙车行驶速度； （2）根据甲车比乙车晚小时到达C地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可； （3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车追上甲车并超过30千米时，④当乙车回到C地时，甲车距离C地30千米时． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ∴甲车的行驶速度是：（千米/时）， M的纵坐标为360， ∴B，C两地之间的距离为360千米， 乙车行驶的路程为（千米），行驶的时间为（小时）， 乙车行驶的速度是（千米/时）， 故答案为：60；90； （2）解：∵甲车比乙车晚小时到达C地， ∴点， 乙的速度为90千米/小时，则， ∴，， 设表达式为，将和代入， 得，解得：， ∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：； （3）解：设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是30千米， ①在乙车到B地之前时， ，即， 解得：； ②∵小时，小时， ∴甲乙同时到达B地，当乙在B地停留时， 小时； ③当乙车追上甲车并超过30千米时， 小时； ④当乙车已经回到C地时，甲车距离C地30千米时， 小时； 综上：两车出发3.8小时或4.5小时或6.5小时或9.5小时时相距30千米． 覆盖训练14:根式中的分母有理化 31．观察下列过程： (1)运用上述的方法可知： ； (2)计算： (3)当时，按照上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程进行解答即可； （2）模仿题干的解题过程，逐个化简得，，，故（n为正整数），再代入原式，进行化简，即可作答． （3）先根据，整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 则（n为正整数） ． （3）解：∵ ∴ ． 32．在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题∶ 已知 ，求 的值． 经过思考和探索，他的解答如下． ， ， 请你根据小明的解题过程， 【解决下列问题】∶ (1)计算∶ (2)若 ，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴原式， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 33．阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面给出的问题． 对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，往往会发现有价值的东西，这是解决数学问题的一个重要策略．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法． 例如． (1)写出一个的有理化因式：_____． (2)仿照上面的解题过程，化简：． (3)计算：． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)4 【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，以及二次根式的混合运算，（1）根据题意求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：． （3）解：原式 ． 覆盖训练15:数形结合最值问题 34．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：利用图3，代数式的最小值为______； (3)若，则的最小值为______； (4)已知正数m满足，求m的值． 【答案】(1)13 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． （4）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴的最小值是13， 故答案为：13； （2）解：如图， ， ， ， ∴的最小值是； 故答案为：； （3）解：如图， ，，，，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ． 35．【知识运用】 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知为正实数，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设， ①用含的代数式表示___________，___________，___________； ②据此写出的最小值是___________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【答案】(1)①；；；②5 (2)20 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法．熟练掌握以上知识点是关键． （1）①利用线段和差求得，利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值． 【详解】（1）解：①， 根据勾股定理可得， ， 故答案为：；；； ②由①得， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，如图， ，， 则四边形为长方形， ，， ， 的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， ， ； ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，则四边形为长方形， ，， ， ， 的最小值为20， 即的最小值为20． 36．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． [解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 ，同理求得的最小值． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、；      ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；      [应用拓展] 如图，我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 覆盖训练16:坐标系中的面积问题 37．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)平行于轴 (3)或 (4)存在，满足条件的点P的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质，得到，，，然后计算即可得出答案； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5，点、的横坐标为4，可以求得的值有两种情况，然后代入计算的面积即可； （4）分两种情况进行讨论，当或时，根据四边形与三角形的面积关系列出方程，解得的值，然后写出点的坐标． 【详解】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴； （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时， ， 当时， ， 综上可得：或； （4）解：存在，理由如下： 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 综上所述，满足条件的点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 38．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 39．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点作轴于点． (1)求三点的坐标； (2)如图②，若过点作交轴于点．且，分别平分．求的度数； (3)在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查的是三角形的综合应用，涉及到坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质：偶次方与算术平方根，角平分线的定义，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出辅助线，掌握割补法求面积． （1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，接下来，再求得点的坐标即可； （2）过作，首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （3）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ，，． （2）解：轴，， ，，， 过作，如图所示： ， ， 、分别平分、， ，， ； （3）解：存在．理由如下： 当在轴正半轴上时，如图． 设点，分别过点作轴，轴，轴，交于点，则，，． ， ， ． 解得，即点的坐标为； 当在轴负半轴上时，如图作辅助线， 设点，则，，． ， ． 解得，即点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 覆盖训练17:坐标系中的特殊三角形 40．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线l上． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为轴上一动点，连接，，若的面积为，求点的坐标； (3)如图3，点与点是关于轴的对称点，连接，点和分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足．是否存在点、点使得为等腰三角形？若存在，请求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据函数图象点的坐标特征，将点代入求出的值即可； （2）确定，，继而得到，，设，得，再根据的面积为，建立方程求解即可； （3）设，则，求得，根据对称的性质及垂直平分线的性质得，，，然后分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴点到轴的距离为， 设， ∴， ∵的面积为，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：设，则， 由（2）知：，，，， ∴， ∵点与点是关于轴的对称点，， ∴， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ①当时，如图， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴点与点重合， ∴， ∴点与重合，不符合题意； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合题，考查了函数图象上点的坐标特征，函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的面积等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 41．建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)10 (3)存在，点的坐标为或或，理由见解析 【分析】（1）过点C作轴于点H，根据直线解析式得出A、B坐标，根据直角三角形两锐角互余得出，利用“可证得”，得到，即可求解； （2）连接，由（1）中A、B、C的坐标可知，再利用 即可求解； （3）设，分情况计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点H， 直线与轴、轴分别交于、两点， 当时，；当时，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点C的坐标为； （2）连接， 由（1）可知，， ， ； （3）存在，理由如下： 设， 当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 同（1）可证， ， ， 解得， ； 当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 可得， ， ， ； 当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图： 可得， ， ， ； 综上所述，点Q的坐标为或或 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键 42．如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为，点A的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理； （1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得A、B的坐标； （2）勾股定理求得，进而根据折叠的性质得出，分，，两种情况分别讨论，分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令可得，解得， 令，解得， ∴，B． （2）解：∵，B ． ∴， ∴， 设，则，， 如图，当时， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴ ∴ 解得：， ∴； 如图，当时，则在轴的负半轴， 同理可得，， ∴ ∴中， ∴ 解得： ∴， 综上所述，或 覆盖训练18:坐标系中的动点求t 43．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)和位置关系是_______； (2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为． ①请分别用含t的式子表示和的面积； ②若，求出点P的坐标； (3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)平行； (2)①；②； (3)或 【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键； （1）根据非负数的性质分别求出、，得到点、、的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）①过点作于，设时间经过秒，，则，，，，，根据，，代入即可求解；②根据，由①得，求解得，即可求得、值，从而得出点坐标； （3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，，， ． 故答案为：； （2）解：①过点作于， 设时间经过秒，，则，，，，， ，， ②， 解得，， ， ， 点的坐标为； （3）解：或． 理由如下： ①当点在点的上方时，过点作，如图2所示， ， ，， ， ， ，即； ②当点在点的下方时；过点作如图3所示， ， ，， ， ， ， ， 即， 综上所述，或． 44．已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形的顶点B的坐标是． (1)直接写出A点坐标(  ，  )，C点坐标(  ，  )； (2)如图2，D为中点．连接，如果在第二象限内有一点，且四边形的面积是面积的2倍，求满足条件的点P的坐标； (3)如图3，动点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发．以每秒2个单位的速度沿线段运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒，在M，N运动过程中，当时，直接写出时间t的值． 【答案】(1) (2) (3)1或3 【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理，求点的坐标，绝对值方程． （1）根据长方形的性质直接得出结论； （2）先求出的面积，进而求出的面积，进而得出的面积，再求出，即可得出结论； （3）先用t表示出，进而表示出，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论 【详解】（1）∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知， ， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， 连接， ∵是长方形的对角线， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵四边形的面积是面积的2倍， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴ (由于点P在第二象限，所以，m小于0，舍去)或， ∴； （3）由（2）知， ， ∵四边形是长方形， ∴， 由运动知， ， ∴， 过点M作于H， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， 在中， ，根据勾股定理得， ， ∴， ∴ ∴或， 即：t的值为1或3． 45．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的认识，二次根式和绝对值的非负性，动点问题． （1）利用二次根式和绝对值的非负性求出即可求出，判断的运动位置即可求出点的坐标． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． （3）根据的不同位置分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，, , 当时，运动10个单位，此时运动到点，故坐标为． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． 在点时：， 在点时：， 故答案为：． （3）①当在线段上时， ，即， ， ； ②当在线段上时， ，即， ， ， ； 故答案为：或． 覆盖训练19:坐标系中的新定义 46．【概念学习】在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义： 若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称两点为同距点．如下图中的两点即为同距点． 【理解概念】 （1）如图，判断点是否是点的同距点； 【深入探索】 （2）若点是点的同距点，求的值； 【拓展延伸】 （3）已知点，若点为点的同距点，且点在第二象限，求出此时之间的关系式． 【答案】（1）点B、D是点A的同距点，点C不是点A的同距点；（2）m的值为4或；（3） 【分析】本题考查了点的坐标，一元一次方程的应用等知识， （1）根据点在坐标系中的位置写出点的坐标，根据同距点的定义判断点B，C，D是否是点A的同距点即可； （2）根据同距点的定义列出关于m 的方程求解即可； （3）根据同距点的定义求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，，，， 点A到两坐标轴的距离之和为， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点B是点A的同距点， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点C不是点A的同距点， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点D是点A的同距点， ∴点B、D是点A的同距点，点C不是点A的同距点； （2）∵点是点A的同距点， ∴，即， 当，即时，有，解得， 当，即时，有，解得， ∴m的值为4或； （3）点到两坐标轴距离之和为， ∵点在第二象限， ∴，， ∴点F到两坐标轴距离之和为，点F是点N的同距点， ∵，即． 47．在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形和图形上任意两点间距离的最小值称为图形与图形的“相关距离”，记作．特别地，若图形与图形有公共点，则规定． (1)若图形为点，图形为线段，其中，． 直接写出点与线段的“相关距离”，即______； 点是轴上的一个动点，当时，求点的坐标？ (2)已知点，，，，若线段上存在点使得，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；或； (2)或． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中两点之间的距离，解决本题的关键是理解“相关距离”，根据“相关距离”的定义计算． 根据垂线段最短可知，图形和图形的“相关距离”，是当时，线段的长度，根据两点的坐标即可求出的长度； 分当点在点的右侧、点在图形的左侧、点在内，三种情况求解； 分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况求出点的坐标，再根据点的坐标求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据垂线段最短可知， 图形和图形的“相关距离”，是当时，线段的长度， 点与线段的“相关距离”为：， 故答案为：； 解：设点的坐标是， 当点在点的右侧时，则有， 此时点的横坐标是， 即点的坐标是； 当点在图形的左侧时，则有， 此时点的横坐标是， 即点的坐标是； 当点在图形上时， ， ； 综上所述，点的坐标是或； （2）解：如下图所示， 设点的坐标是， 当点在点的左侧时，可得：， ， 解得：， 或， 解得：或， 即； 当点在点的右侧时，可得：， ， 解得：， 或， 解得：或， 即； 综上所述，的取值范围是或． 48．在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义；若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为． ①在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为______． (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)①E，②或； (2)1或2 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，理解“等距点”的定义是解题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）解：①∵点A的坐标为到x、y轴的距离中最大值为3；点到x、y轴的距离中最大值为3；点到x、y轴的距离中最大值为4；点到x、y轴的距离中最大值为5； 与A点是“等距点”的点是E． ②∵点A的坐标为到x、y轴的距离中最大值为3，点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”， ∴a．，解得：，即； b．，解得：，即； 综上，点B的坐标为或． 故答案为①E；②或． （2）解：，两点为“等距点”， ①若，即时， ∴根据“等距点”的定义知，或，解得：（舍去）或． ②若，即或时， ∴根据“等距点”的定义知，，解得：或（舍去）． 综上，或符合题意，即k的值是1或2． 覆盖训练20:折叠问题 49．阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五、”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，那么三者之间的数量关系是：___________． (2)对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，定是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整： ___________（用含的式子表示） 又______________________． ___________． (3)如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长． 【答案】(1) (2)；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积正方形的面积；； (3)3 【分析】本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， 由勾股定理得，， 故答案为：； （2）解： （用含的式子表示） 又正方形的面积四个全等直角三角形的面积正方形的面积， ， （3）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 50．如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． 【详解】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 51．如图，在长方形纸片中，四个角是直角，对边平行，，．点、分别在、边上，连接，如图1，把长方形纸片沿着折叠，设、的对应点分别是、．    (1)当时，则______． (2)在折叠的过程中，当的对应点恰好与点重合时，请结合图2，求出和的长； (3)在折叠的过程中，当点落在直线上，且时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查勾股定理，长方形，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，长方形的性质，折叠的性质，进行解答，即可． （1）根据折叠的性质，求出，根据长方形的性质，平行线的性质，可得，根据四边形的内角和为，得到，求出，最后根据，即可； （2）根据长方形的性质，可得，，，设，根据勾股定理，可得，求出，即可得到； （3）根据题意，分类讨论点的位置，当点落在直线上；当点落在直线的延长线上，根据勾股定理，进行解答，即可． 【详解】（1）解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形，四个角 是直角， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵长方形纸片中，四个角是直角，，， ∴，，， 设， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）解：连接， 当点落在直线上，且， ∵长方形纸片中，四个角是直角，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴；    当点落在直线的延长线上，且，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴，    综上所述，的长或． 覆盖训练21:秦九韶——海伦公式 52．秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，，，，垂足为D，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查二次根式的实际应用，勾股定理，熟练掌握海伦一秦九韶公式是解题的关键： （1）直接利用公式求出三角形的面积即可； （2）利用等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 53．【教材】我们八年级下册数学课本第16页介绍了我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式． (1)如图1，若的三边长依次为，，，求该三角形的面积； (2)如图2，四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算， （1）利用题干给出的海伦公式即可求解； （2）连接，先利用勾股定理求出，再结合题干的海伦公式计算即可作答． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴； （2）连接，如图： ∵，，， ∴，， ∵，， ∴在中，， 即： ， 该四边形的面积． 54．阅读材料，回答问题： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式．帆帆同学对公式兴趣浓厚，以锐角三角形为例，证明过程如下： 如图，在锐角三角形中，，，． 求证：，其中． 证明：如图，过点A作于点D，则 设，，则① ∴② 解得 ∴ ∵ ∴ ③ ∴． 中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，实质上是同一个公式，故这个公式又被称为海伦-秦九韶公式． (1)补全帆帆同学证明过程中①②③所缺的内容； (2)若，，，请用海伦-秦九韶公式求的面积； (3)在（2）的条件下，设中边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】(1)①，②，③ (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理，掌握三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据过程结合图形完善即可； （2）将，，代入公式计算即可； （3）利用三角形面积公式分别计算出，，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点D，则 设，，则 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ ∴． 故：①，②，③； （2）解：，， ； （3）解： ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $