精品解析：云南省昆明市嵩明县2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试题

2025-2026学年上学期期中质量检测 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用碳素笔或钢笔将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.考生必须把所有答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案一律无效. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，其余试题用碳素笔或钢笔作答. 4.考试结束后将本试卷及答题卡交监考教师方可离开教室. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的概念来列举并求出与的交集即可. 【详解】把集合中的元素逐一代入，判断其正负， 当时，满足， 当时，不满足， 所以， 故选：D. 2. 已知直线：与：（其中），则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件及直线垂直的条件判断即可. 【详解】当时，的斜率为1，的斜率为，斜率的乘积为， 因此，即“”是的充分条件. 当时，该条件在时恒成立，因此时可以是任何非零实数，不一定是1，即“”不是的必要条件. 综上“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用方向向量求斜率，再根据点斜式求方程，最后化为一般式方程. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以其斜率为， 又直线过， 所以直线的方程为：，化为一般式方程为：， 故选：C. 4. 设，，且，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】结合“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】由，，，可得：， ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：A. 5. 第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由及诱导公式将条件化为，求得，再结合角所在的象限及同角三角函数关系求得. 【详解】由及诱导公式可得，， 所以，又为第二象限角，所以. 故选：B. 6. 设平面向量，，且，则=（ ） A. 1 B. 14 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解. 【详解】因为，所以又， 则 所以， 则 ， 故选： 7. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体，的中点到的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据坐标系求出E和的方向向量，再利用点到直线的距离的向量求法即可. 【详解】因为 ，，的中点，，， 所以，， 所以，， 的中点到距离为：， 故选：D. 8. 已知等边的三个顶点都在球的球面上，为的外接圆.若的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的面积求出圆的半径，由三角形是正三角形及正弦定理：得到的长度，从而得到的长度，由，得球的半径，利用球的表面积公式计算求解即可. 【详解】由圆的面积为，故圆的半径， 三角形是正三角形，， 由正弦定理得：，解得，，， 由（为球的半径），得，所以求表面积为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第一象限 D. z是方程的一个复数根 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，结合复数的共轭复数以及复数的模以及几何意义以及韦达定理一一判断各选项，即得答案. 【详解】， 所以，故A正确； ，故B错误； z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C正确； 若z是方程的一个复数根，则有，， 但，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 三棱锥的体积随着点的运动而改变 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面关系，逐项判断，即可求得答案. 【详解】在正方体中，平面，平面， 平面平面，所以A正确； 连接，， ，平面，平面， 平面， 又，平面，平面， 平面， ，平面， 平面平面， 又平面 平面，所以B正确； ， 异面直线与所成的角就是直线与所成的角， 为等边三角形， 所求角的范围是，故C正确； 由，因为，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离不变，且的面积不变， 三棱锥的体积不变，所以D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，，，的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图像关于点对称 C. 在上为增函数 D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象求出的解析式，可以判断A、B正确利用三角函数单调性可以判断C正确 利用奇偶性定义可以判断D不正确. 【详解】由图像得，， ，则． 又，且， ，故A正确 ， 的图像关于点对称,B正确由，得， 在上为增函数，C正确 是偶函数，D不正确． 故选：ABC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.从袋中任意摸出2个球，摸出的2个球都是红球的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型，先列举出所有的样本点，再找出袋中任意摸出两个球，摸出的两个球都是红球的事件数，即可求出所求概率． 【详解】设3个红球为，，，2个白球为，， 从5个球中任意摸出2个球，所有等可能的基本事件如下：、、、、、、、、、共有10种等可能结果， 摸出的2个球都是红球的事件有、、，共3种， 故从袋中任意摸出两个球，摸出的两个球都是红球的概率为. 13. 过点且与圆心为，半径为1的圆相切的直线的方程为________. 【答案】或. 【解析】 【分析】讨论直线斜率存在与不存在两种情况，结合直线与圆相切的性质求解即可. 【详解】因为圆的标准方程为：， 因为，所以点在圆外. 当直线斜率不存在时，直线为：与圆相切. 当直线斜率存在时，设直线的方程为：，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为，即 综上，直线的方程为：或. 故答案为：或. 14. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题目所给对称性可推得周期性，根据所给时的解析式，以及，利用对称性得到与，从而求出时的解析式，最后根据周期求出. 【详解】由为奇函数，可得，即， 所以函数关于点对称，且定义域为，所以，所以； 又为偶函数，可得， 即，所以； 所以，所以， 所以，所以，所以的周期为12. 当时，， 求：， 求：， 由，代入得：，， 所以当时，， 由周期得. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某校举行高中数学基础知识竞赛，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，解答下列问题： （1）请根据频率直方图，估计这100名学生的平均成绩（结果精确到0.1）； （2）为调查某项指标，从成绩在，分数段组的学生中用比例分配的分层随机抽样方法抽取5人，再从这5人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段的概率； （3）为了鼓励更多的同学参加明年的数学竞赛，学校决定给表现优异的同学发奖品，若需要有25%的同学获得奖品，请你根据频率分布直方图，给出发奖品分数标准的建议（保留整数）. 【答案】（1）68.5 （2） （3）给77分以上同学发奖品 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求出，再根据频率分布直方图求平均值； （2）列举基本事件，根据古典概型求解即可； （3）转化为求第75百分位数即可得解. 【小问1详解】 依题意，，解得 平均数为 【小问2详解】 根据题意，采用分层抽样在中抽取3人，在中抽取2人， 假设中的三人为，，，中的两人为，，用列举法表示一共有10种（，，，，，，，，，）选法， 符合条件的有4种（，，，）所以 【小问3详解】 要让25%的同学获奖，即求第75百分位数，在频率直方图中前三组的频率之和为0.5，小于0.75，故第75百分位数在第四组， 所以，所以建议给77分以上同学发奖品. 16. （1）求过两直线与的交点，且斜率为的直线方程； （2）若直线与直线：垂直，且过点，求直线的方程； （3）若直线：与直线：平行，求的值及直线与之间的距离. 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，求出交点坐标，再由点斜式计算可得； （2）设直线：，代入点的坐标求出，即可得解； （3）根据两直线平行求出参数的直线，即可求出的方程，再由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】（1）由，解得，所以， 所以所求直线方程为，即. （2），设直线：， 又因为过点，，解得， 所以：. （3）直线：与直线：平行，，解得， 所以：，即， 直线与的距离. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，作边化角处理，然后化简可求解. （2）利用正弦定理，可得周长，化简后，利用三角函数的性质可求得周长的范围. 【小问1详解】 因为， 整理得，， ， ， ，可得， ， ，，最后可得， 【小问2详解】 ， ， 周长， ， ，， 周长的范围为 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，. （1）设，分别为，的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图： 证明：连接，由题意得，， 又由，得， 平面，平面， 平面； （2） 取棱中点，连接， 依题意得， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，， 又，，平面，平面， 平面； （3）． 【解析】 【分析】（１）连接，证明，则有平面； （２）取棱中点，由平面平面，可证平面，得，又，可证得平面； （３）由平面，得是直线与平面所成角，在中，求正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，由（2）中平面知是直线与平面所成角， 是等边三角形，，且为中点， ， 又平面，平面， 所以， 在中，， 直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1）或 （2）①； ②证明：由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， AI 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①分析可知，即可得方程；②设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. 【小问2详解】 ①若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②略. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中质量检测 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用碳素笔或钢笔将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.考生必须把所有答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案一律无效. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，其余试题用碳素笔或钢笔作答. 4.考试结束后将本试卷及答题卡交监考教师方可离开教室. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：与：（其中），则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，且，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 3 D. 4 5. 第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 设平面向量，，且，则=（ ） A. 1 B. 14 C. D. 7. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体，的中点到的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 已知等边的三个顶点都在球的球面上，为的外接圆.若的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第一象限 D. z是方程的一个复数根 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 三棱锥的体积随着点的运动而改变 11. 已知函数，，，的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图像关于点对称 C. 在上为增函数 D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.从袋中任意摸出2个球，摸出的2个球都是红球的概率是________. 13. 过点且与圆心为，半径为1的圆相切的直线的方程为________. 14. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某校举行高中数学基础知识竞赛，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，解答下列问题： （1）请根据频率直方图，估计这100名学生的平均成绩（结果精确到0.1）； （2）为调查某项指标，从成绩在，分数段组的学生中用比例分配的分层随机抽样方法抽取5人，再从这5人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段的概率； （3）为了鼓励更多的同学参加明年的数学竞赛，学校决定给表现优异的同学发奖品，若需要有25%的同学获得奖品，请你根据频率分布直方图，给出发奖品分数标准的建议（保留整数）. 16. （1）求过两直线与的交点，且斜率为的直线方程； （2）若直线与直线：垂直，且过点，求直线的方程； （3）若直线：与直线：平行，求的值及直线与之间的距离. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，求周长的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，. （1）设，分别为，的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $