精品解析：云南省楚雄彝族自治州民族中学2025届高三下学期普通高校招生统一考试模拟（一）数学试题

2025年普通高校招生统一考试 数学模拟试题 1.本场考试120分钟，满分150分.试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 3.回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题必须使用黑色签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 4.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交并补定义计算即得. 【详解】集合， ， 或. 故选：D. 2. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的乘方和除法运算化简求复数. 【详解】， . 故选：D 3. 展开式中的常数项为（ ） A. 120 B. 240 C. 280 D. 480 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理求出通项即可求得答案. 【详解】展开式的通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. 故选：B 4. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，以及充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，则，此时，所以； 若，则由向量共线定理可得，解得或. 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 将半径为的实心铁球熔化后铸成一个实心正四面体（不计损耗），则正四面体的棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球体的体积公式及正四面体的体积公式，化简可得解. 【详解】 如图所示，设正四面体的棱长为， 则，， 所以正四面体的高为， 其中一个面的面积为， 所以正四面体的体积. 又实心铁球的体积为， 由题意可知，解得， 故选：C. 6. 设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则（ ） A. 32 B. 28 C. 20 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图像，由抛物线的定义，说明是等腰三角形，说明平分，同理平分，从而得出，最后利用勾股定理得到结论. 【详解】如图，设抛物线的准线与轴的交点为， 由题意结合抛物线的定义可知， 所以， 又因为， 所以，， 所以， 即是直角三角形，且， 显然， 所以， 故选A. 7. 若函数恰好有一个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意直线与曲线相切，切点坐标为，然后求和即可. 【详解】令，可得.因为函数恰好有一个零点， 所以由指数函数图象可知，直线与曲线相切. 易知，设切点坐标为，则，解得. 又切点在切线上，所以， 所以. 故选：B 8. 如图是一段绳子在地面上的影子，看不出哪一部分在哪一部分的上面，假设绳子是完全随机摆放的，现在将绳子两头向左右拉紧，这根绳子会打成一个结的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，共有8种可能，然后再考虑能打结的有几种，即可解题. 【详解】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能. 先固定中间，有如图所示的四种情形，这四种情形只有一种可以拉成结， 将这四种情形翻转得到另外四种情形， 所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是某地2024年各月同比和环比涨跌幅情况，则下列叙述正确的有（ ） A. 全年各月同比涨跌幅的极差小于各月环比涨跌幅的极差 B. 5月份到7月份的各月同比涨幅越来越大 C. 全年各月环比涨跌幅的平均值为 D. 3月份到12月份各月同比涨跌幅的分位数为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用极差的计算方法，求得全年CPI各月同比涨跌幅和环比涨跌幅的极差，可判定A正确；根据5月份到7月份的CPI同比涨幅，可判定B正确；根据平均数的计算公式，求得全年CPI各月环比涨跌幅的平均值，可判定C错误；根据百分位数的计算方法，可判定D错误. 【详解】对于A，全年CPI各月同比涨跌幅的极差为， 环比涨跌幅的极差为，所以A正确； 对于B，由5月份到7月份的CPI同比涨幅分别为，涨幅越来越大，所以B正确； 对于C，全年CPI各月环比涨跌幅的平均值为，所以C错误； 对于D，由3月份到12月份CPI各月同比涨跌幅的数据按从小到大的顺序排列可得，，， 因为，所以分位数为第8个数据， 即3月份到12月份CPI各月同比涨跌幅的分位数为，所以D错误. 故选：AB. 10. 已知是函数图象上不同的两点，则下列不等式能成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】取特殊值可判断AC，利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式可判断BD. 【详解】由题意，不妨设. 函数是上的增函数， ，即， ， 即. 是上的增函数， ， 即， 故B一定不能成立，D一定成立. 取，则， 此时， ，故A能成立. 取，则， 此时， ，故C能成立， 故选：ACD 11. 已知在数列中，，数列的前项和为，且满足，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知递推式得且，进而有判断A、B；应用的关系得判断C；根据等差数列的定义及前n项和公式判断D. 【详解】因为，即， 所以，则， 所以，而，则， 所以数列是各项都为0的常数列，不是等比数列，故A错误. 因为，所以数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为2的等比数列，故B正确. 由，得， 两式相减并整理，可得，所以， 两式相减并整理，可得，所以， 所以数列是等差数列，故C正确. 当时，由，可得，所以， 又，所以等差数列的公差为1，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】要解决这个问题，我们需要利用三角函数的诱导公式对已知等式进行化简，再结合三角函数的基本关系求出 【详解】易知 ， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为: 13. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好是一个周期的正弦型曲线.若该段正弦型曲线是由函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍所得图象的一部分，则此椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数图象的性质求解圆柱的底面半径和高，然后判断椭圆的长轴和短轴长即可求出椭圆的离心率. 【详解】函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍所得图象对应的函数为. 因为椭圆曲线在展开图中恰好为函数一个周期的图象，所以. 因为函数的最小正周期， 设圆柱底面半径为，由，得， 所以圆柱的底面直径，则. 设椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为. 易知，即， 所以， 所以椭圆的离心率. 故答案为： 14. 已知定义在上的函数满足（是正常数）恒成立，且函数为偶函数，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件推出是函数的一个周期，利用函数的周期性计算即可. 【详解】因为偶函数， 则 ，即得 又由，可得 故，即， 从而， 又是正常数，则是函数的一个周期， 故. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知内角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，然后结合三角函数的公式求解即可； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理， 可得， 结合， 由， 得， 化简可得. ， ，即. 又. 【小问2详解】 由的面积为，结合（1）可得， 在中，由余弦定理可得， ， 或（舍去）， 的周长为. 16. 已知双曲线的左､右焦点分别是，，双曲线上一点满足，且点到的一条渐近线的距离为2. （1）求双曲线的方程； （2）若，是上关于原点对称的两点，且点不与，重合，设直线，的斜率存在且分别为，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线定义，及双曲线焦点到渐近线的距离，可得双曲线方程； （2）利用直接法设点与点，的坐标，结合斜率公式及点在双曲线上，化简可得解. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为， 由双曲线的定义可知，即， 又点到渐近线的距离为，故， 双曲线的方程为； 【小问2详解】 设，，， 易知，， . 又，， ，， ， 由（1）可知， . 17. 如图，在三棱柱中，为正三角形，为等腰三角形，且为底边，为的中点，，平面平面. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 三棱柱的侧面为平行四边形，为的中点. 又为的中点，为的中位线， . 平面平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线得线线平行，再由线线平行得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，根据空间向量的夹角求解线面角，即可得棱的长度，再利用空间向量求解二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接. 为正三角形，为的中点，. 平面平面， 平面平面平面， 平面. 平面. 为等腰三角形，为底边的中点，， 两两垂直. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系.设. ， ,是平面的一个法向量， 直线与平面所成角的正弦值为， 解得（负值已舍去）. 由，得. 设平面的法向量为， 则 令，可得， 平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数，其中为常数. （1）若函数的极小值点为，求的值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析其单调性，求出极小值点； （2）将问题转化为在时恒成立，构造函数，研究其最大值； （3）将问题转化为在上有两个不同的交点，通过求导研究的性质，画出图象即可. 【小问1详解】 因，则， 易知当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值点为，得； 【小问2详解】 在时恒成立，等价于在时恒成立， 令，则， 因，则在上单调递减， 则，， 则实数的取值范围是； 【小问3详解】 当时，，则， 令，则， 令，则， 因，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故， 易知，当时，，时，， 当时，，当且时，， 作出的大致图象（如图）： 因在上恰有两个不同的零点， 即在上有两个不同的交点，故， 故实数的取值范围为. 19. 在一次旅游中，导游为增加旅游乐趣，组织游客到甘蔗园里选甘蔗，要求游客只能在排成一列的棵粗细不同的甘蔗中选一棵最粗的甘蔗，期间只能选一次，且只能向前走，不能回头.在某处若游客选到最粗的甘蔗，则该游客活动结束，回到旅游车中，否则继续向前走，以此类推，直至看到第棵甘蔗结束.游客甲认为最粗的甘蔗一定是最后一棵，决定始终选择最后一棵甘蔗.游客乙采用了如下策略：不取前棵甘蔗，自第棵甘蔗开始，只要发现比他前面见过的每一棵甘蔗都粗的甘蔗，就选择这棵甘蔗，否则就取最后一棵甘蔗.设甲选到最粗的甘蔗的概率为，乙选到最粗的甘蔗的概率为. （1）若，求和； （2）若最粗的甘蔗是第棵，求； （3）当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值.（取） 【答案】（1）； （2）； （3）的最大值为，此时的值为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知；5棵甘蔗的位置排序有种情况，同学乙要取到最粗的甘蔗，有以下两种情况：最粗的甘蔗是第4棵，其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况；最粗的甘蔗是第5棵，第二粗的甘蔗在第1个或第2个或第3个位置，其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况.从而得到. （2）法1：若考虑全部这一列甘蔗排序，最粗的甘蔗是第棵，共有!种排法，先从其余棵甘蔗中选（）棵甘蔗出来，其中最粗的甘蔗在前个位置，剩下的全排列，共有!种排法，剩下的棵甘蔗全排列，从而得到.法2：若最粗的甘蔗是第棵，则乙游客能选到最粗的甘蔗，只需要前棵甘蔗中最粗的那棵排在前棵，从而得到. （3）记事件表示最粗的甘蔗被乙游客取到，事件表示最粗的世蔗排在第个位置，求出，由全概率公式求.当，即最粗的甘蔗在前个位置中，此时，当时，最粗的甘蔗被乙游客取到当且仅当前棵甘蔗中最粗的一棵在前棵之中，求出，得到，令，求，利用导数的单调性得到，即取得最大值，从而得到所求. 【小问1详解】 由题意可知. 依题意，5棵甘蔗的位置从第1棵到第5棵排序， 有种情况，同学乙要取到最粗的甘蔗，有以下两种情况： 最粗的甘蔗是第4棵，其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况； 最粗的甘蔗是第5棵，第二粗的甘蔗在第1个或第2个或第3个位置， 其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况. 因此，. 故. 【小问2详解】 法1：若考虑全部这一列甘蔗排序，最粗的甘蔗是第棵，共有!种排法， 先从其余棵甘蔗中选（）棵甘蔗出来，其中最粗的甘蔗在前个位置，剩下的全排列，共有!种排法，剩下的棵甘蔗全排列， 所以 . 法2：若最粗的甘蔗是第棵，则乙游客能选到最粗的甘蔗，只需要前棵甘蔗中最粗的那棵排在前棵，所以. 【小问3详解】 记事件表示最粗的甘蔗被乙游客取到，事件表示最粗的世蔗排在第个位置，则， 由全概率公式可知. 当，即最粗的甘蔗在前个位置中，此时， 当时，最粗的甘蔗被乙游客取到当且仅当前棵甘蔗中最粗的一棵在前棵之中，此时， . 令，则， 由，可得， 当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高校招生统一考试 数学模拟试题 1.本场考试120分钟，满分150分.试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 3.回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题必须使用黑色签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 4.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中的常数项为（ ） A. 120 B. 240 C. 280 D. 480 4. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 将半径为的实心铁球熔化后铸成一个实心正四面体（不计损耗），则正四面体的棱长为（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则（ ） A. 32 B. 28 C. 20 D. 16 7. 若函数恰好有一个零点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一段绳子在地面上的影子，看不出哪一部分在哪一部分的上面，假设绳子是完全随机摆放的，现在将绳子两头向左右拉紧，这根绳子会打成一个结的概率是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是某地2024年各月同比和环比涨跌幅情况，则下列叙述正确的有（ ） A. 全年各月同比涨跌幅的极差小于各月环比涨跌幅的极差 B. 5月份到7月份的各月同比涨幅越来越大 C. 全年各月环比涨跌幅的平均值为 D. 3月份到12月份各月同比涨跌幅的分位数为 10. 已知是函数图象上不同的两点，则下列不等式能成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知在数列中，，数列的前项和为，且满足，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 13. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好是一个周期的正弦型曲线.若该段正弦型曲线是由函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍所得图象的一部分，则此椭圆的离心率为__________. 14. 已知定义在上的函数满足（是正常数）恒成立，且函数为偶函数，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知内角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，求的周长. 16. 已知双曲线的左､右焦点分别是，，双曲线上一点满足，且点到的一条渐近线的距离为2. （1）求双曲线的方程； （2）若，是上关于原点对称的两点，且点不与，重合，设直线，的斜率存在且分别为，，求的值. 17. 如图，在三棱柱中，为正三角形，为等腰三角形，且为底边，为的中点，，平面平面. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数，其中为常数. （1）若函数的极小值点为，求的值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19. 在一次旅游中，导游为增加旅游乐趣，组织游客到甘蔗园里选甘蔗，要求游客只能在排成一列的棵粗细不同的甘蔗中选一棵最粗的甘蔗，期间只能选一次，且只能向前走，不能回头.在某处若游客选到最粗的甘蔗，则该游客活动结束，回到旅游车中，否则继续向前走，以此类推，直至看到第棵甘蔗结束.游客甲认为最粗的甘蔗一定是最后一棵，决定始终选择最后一棵甘蔗.游客乙采用了如下策略：不取前棵甘蔗，自第棵甘蔗开始，只要发现比他前面见过的每一棵甘蔗都粗的甘蔗，就选择这棵甘蔗，否则就取最后一棵甘蔗.设甲选到最粗的甘蔗的概率为，乙选到最粗的甘蔗的概率为. （1）若，求和； （2）若最粗的甘蔗是第棵，求； （3）当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值.（取） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $