精品解析：云南省昆明市第三中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

昆明市第三中学高2028届高一年级上学期期中考试 数学试题卷 命题人：杨少声、尹会敏 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 已知函数，则“”是“为幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是偶函数，且在上递减，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为2 D. 的最大值为4 11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在单调递减 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知集合，用列举法表示集合，则__________. 13. 已知函数，且对任意的，时，都有，则a的取值范围是________ 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为_____________；的值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）已知，求的值. 16. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（单位：万元）和宿舍与工厂的距离x（单位：km）的关系式为，当距离为时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设为建造宿舍与修路费用之和． （1）求的表达式； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小?并求的最小值． 17. 给定函数. （1）在同一直角坐标系中画出函数的图像； （2） 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 18. 已知函数（且） （1）判断函数的奇偶性； （2）若， 求使不等式在上恒成立的的取值范围； （3）若，且在上的最小值为，求的值. 19. 定义：如果函数在定义域内的给定区间上存在（），满足，则称函数为上的“平均值函数”，为它的平均值点． （1）函数是否为上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由． （2）若函数是上的平均值函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2028届高一年级上学期期中考试 数学试题卷 命题人：杨少声、尹会敏 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义可求. 【详解】由题设可得，故， 故选：B. 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域即可判断选项A和选项B；化简函数的解析式，再结合其定义域即可判断选项C和选项D． 【详解】对于选项A，由，解得，所以的定义域为， 又，解得或，所以的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故A错误； 对于选项B，由的定义域为，而的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故B错误； 对于选项C，由， 所以与的对应关系不相同，即它们不是同一个函数，故C错误； 对于选项D，由，且定义域为， 又定义域为，所以与的定义域相同，对应关系也相同，即它们是同一个函数，故D正确． 故选：D． 3. 已知函数，则“”是“为幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由为幂函数，可得或，然后根据逻辑命题判断即可. 【详解】函数为幂函数， 所以或， 则“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意有，解不等式组即可． 【详解】依题意函数的定义域为， 对于函数应满足，解得， 故的定义域为． 故选：B． 5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数性质可得，再利用计算即可得. 【详解】由是定义在上的奇函数，则，则， 则当时，，则. 故选：D. 6. 已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的函数值的正负即可判断. 【详解】由图知，的定义域为，的定义域为， 令时，或，且， 设，则函数的定义域为，关于原点对称， 因为为偶函数，为奇函数，所以， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 对于选项A，因为是奇函数，图象关于原点对称，故A错误； 对于选项B，因为是奇函数，图象关于原点对称，故B错误； 对于选项C，当时，，，所以，故C错误； 对于选项D，由图知，当时，，当时，，结合奇函数的对称性可得时的图象，故D正确. 故选：D. 7. 已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数图像及反比例函数图象，通过数形结合可得出参数范围. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出的图象及直线，如图所示， 由图可知，要使方程有且仅有三个不等实根， 即的图象与直线有三个不同的公共点， 则只需. 故选：B 8. 已知是偶函数，且在上递减，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数性质，再根据单调性得到， 根据绝对值性质，取掉绝对值，分离参数转化为函数恒成立问题，求最值即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以在恒成立 等价于在恒成立， 又因为在上递减，根据偶函数性质，在上递增， 所以在恒成立， 因为，所以恒成立，即， 所以，即，设，， 易知函数在单调递减，所以，即； 设，，易知函数在单调递增， 所以，即， 综上所述：实数的取值范围是：. 故选：A. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性， 再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题， 若为偶函数，则． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】AD选项，利用不等式性质进行求解；BC选项，可举出反例. 【详解】对于A，由，可知，所以，故A正确； 对于B，当时，显然不成立，故B错误； 对于C，取，，，，此时，故C错误； 对于D，若，则，则，即，故D正确. 故选：AD. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为2 D. 的最大值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式求解出最值，检验即可判断各项. 【详解】对于A项，因为，，， 由基本不等式可得，，当且仅当时取等号， 所以，故A正确； 对于B项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，此时，故B错误； 对于C项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为4，故D不正确. 故选：AC. 11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】令即可判断A；令，求出，再令，即可判断B；令即可判断C；由，得，再根据函数单调性定义即可判断D. 【详解】因为， 令，得，所以，故A正确； 令，得， 所以，令，得，又， 所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确； 令，得， 又，所以，故C错误； 当时，由， 可得，又， ，在上任取，不妨设， ， ， 故在单调递减，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知集合，用列举法表示集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的描述法即可求解. 【详解】, 故答案为： 13. 已知函数，且对任意的，时，都有，则a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据判断出函数在上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】由于对任意的，时，都有，所以函数在上为增函数，所以，解得. 故答案为. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为_____________；的值为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令，化简后，利用奇函数的定义求得的值，即得函数图象的对称中心；根据对称中心可得，即可可得的值. 【详解】令 因为为奇函数，所以，即，解得. 所以函数图象的对称中心为； 所以，即， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则得到答案； （2）两边平方求出，两边平方求出，从而得到的值. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 所以. 16. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（单位：万元）和宿舍与工厂的距离x（单位：km）的关系式为，当距离为时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设为建造宿舍与修路费用之和． （1）求的表达式； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小?并求的最小值． 【答案】（1） （2）宿舍应建在离工厂时，可使总费用最小，且的最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意可计算出，即可得的表达式； （2）借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由题意可知，当时，有， 解得，即， 则； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 即宿舍应建在离工厂，可使总费用最小，且的最小值为. 17. 给定函数. （1）在同一直角坐标系中画出函数的图像； （2） 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据函数解析直接画图象即可； （2）先求出两函数图象的交点坐标，再根据图象可求出的解析式和其最小值. 【小问1详解】 对于，过作一条直线即可得到的图象， 对于是对称轴为，开口向上的抛物线，过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示， 【小问2详解】 由，得或，结合图象，可得的解析式为 ， 结合图象可知，当时，. 18. 已知函数（且） （1）判断函数的奇偶性； （2）若， 求使不等式在上恒成立的的取值范围； （3）若，且在上的最小值为，求的值. 【答案】（1）奇函数 （2）. （3）2 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义，即可化简求解， （2）根据函数的单调性和奇偶性即可将问题转化为，利用基本不等式即可求解最值得解， （3）利用换元法可得，进而利用二次函数的性质，结合分类讨论求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R， 且 所以函数是奇函数. 【小问2详解】 由，显然函数，在R上单调递增， 因此函数是R上的增函数， 不等式 则， ，， 于是，当且仅当时取等号， 因此， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由，得，故， 而，解得，则， ， 令， 由（2）知，函数是R上的增函数，当时，， ， 当时，函数在上单调递增， 当时，，解得与矛盾； - 当时，时，，则， 综上. 19. 定义：如果函数在定义域内的给定区间上存在（），满足，则称函数为上的“平均值函数”，为它的平均值点． （1）函数是否为上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由． （2）若函数是上的平均值函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）为上的“平均值函数”，1是它的平均值点 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“平均值函数”的定义计算，看是否满足定义，即可判断，继而求得平均值点; （2）根据定义计算，从而得到，整理并换元可得在上有解，构造函数结合函数零点的分布，求得答案. 【小问1详解】 函数是上的“平均值函数”． 令，因为， 设是它的平均值点，则有，解得，， 故为上的“平均值函数”，1是它的平均值点． 【小问2详解】 令，， 设是它的平均值点，则，即， 整理得． 令，则，则需方程在上有解， 令，， ， ①当在内有一个实根时，，即 ， 解得，或； ②当在内有两个不等的实根时，需满足， 可得 ，无解． 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $