精品解析：重庆市巴蜀中学教育集团2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

重庆市巴蜀中学教育集团 高2027届高二（上）月考 数学试卷 （命题人：李荣来 马明晶 审题人：何方印） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 方程表示椭圆，则n的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 2. 直线和直线平行，则实数a的值为（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 或3 3. 已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若直线与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数x、y满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，，，点在圆上，若，则的最大值是（ ） A. B. C. 6 D. 12 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．） 9. 已知圆，直线，，则（ ） A. B. 与圆C相交 C. 若与圆C相交于A、B，则弦长的最大值为4 D. 与圆C相切，则 10. 古希腊数学家阿基米德最早用不断分割法求椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍．已知椭圆，、是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的面积为 B. 若的内切圆的面积为，则 C. 椭圆上存在4个点P，使得为等腰三角形 D. 若直线交椭圆于另一点Q，则 11. 截口曲线是由平面截取圆锥和圆柱时形成的交线，其形状取决于截面与轴的夹角，当夹角变化时可得到不同的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与旋转轴的交点M距离圆锥顶点S长度为2，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ） A. 若该截面与圆锥的一条母线夹角为60°，则该曲线为圆 B. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线的离心率为 C. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则点M为该曲线的一个焦点 D. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线上任意两点之间的最大距离为3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 圆关于直线对称的圆的方程为______． 13. 已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为______． 14. 已知椭圆的左焦点为，设过原点的直线与椭圆交于、两点，的中点为，的中点为．原点在以线段为直径的圆上．若直线的斜率满足，则椭圆离心率的取值范围为______． 四.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，边AB上的高线CH所在的直线方程为，边AC上的中线BM所在的直线方程为． （1）求直线BC的方程； （2）求经过点B且与两坐标轴围成的三角形的面积为1的直线的方程． 16. 已知椭圆方程短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 17. 如图，三棱锥中，平面平面，平面，，到平面的距离为1． （1）求证：； （2）若为中点，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 18. 已知圆关于直线对称，直线，点P在上运动．直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B． （1）求圆C的方程； （2）证明：直线AB恒过定点； （3）过点的直线与圆C交于M、N两点（点M在直线上方）．在上是否存在定点Q使直线MQ、NQ的斜率之积为1？若存在，请求出Q的坐标．若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系xOy中， 已知点，，动点满足直线AW 与BW 的斜率之积为．记W的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线； （2）已知直线l与C交于M，N两点，与圆交于P，Q两点，若不重合的两条直线与分别平分线段MN，PQ． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线C交于E，G两点，与曲线C交于D，F两点，，求四边形EFGH面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴蜀中学教育集团 高2027届高二（上）月考 数学试卷 （命题人：李荣来 马明晶 审题人：何方印） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 方程表示椭圆，则n的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程即可求出参数范围. 【详解】由于方程表示椭圆，所以， 解得或． 故选：B． 2. 直线和直线平行，则实数a的值为（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线平行的充要条件计算即可. 【详解】因为直线和直线平行， 所以，解得或， 当时，两直线方程都是，两直线重合，舍去， 当时，两直线方程分别为，，两直线平行． ∴. 故选：C． 3. 已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则， 因此，即，解得， 故选：C 4. 设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆右焦点，利用椭圆的定义转化线段差为线段和，结合图形及点到线的距离公式计算即可. 【详解】由，， 设为该椭圆的右焦点，则，所以， 于是， 显然当，P，A三点共线， 且PA与直线垂直时，有最小值， 最小值为. 故选：A． 5. 已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率. 【详解】设，，因为A，B两点在曲线上， 所以有，用（1）式减去（2）式可得， 即， 因为点是线段AB的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线l的斜率k，所以直线l的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件， 故选：D． 6. 已知点，，若直线与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果. 【详解】因为直线的方程可化为， 所以直线过定点， 又，， 所以直线的斜率，直线的斜率， 所以PA的倾斜角为，PB的倾斜角为， 结合倾斜角和斜率的关系可知倾斜角的取值范围是， 故选：C． 7. 已知实数x、y满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率的几何意义，结合直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，再利用数形结合即可得范围. 【详解】点在圆上，圆心，半径为， 设，则k表示圆上点与连线的斜率， 当PQ与圆相切时，，得或． 结合图像k的取值范围是． 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，，，点在圆上，若，则的最大值是（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】设点，由条件，根据数量积的坐标运算可得，结合条件可得点P在劣弧CD上，由已知点是的中点，故，再求的范围，由此可得结论. 【详解】设点，则，， 则，故， 所以点在圆：的内部或边界上， 又点在圆上，所以点在劣弧CD上， 因为点是的中点，所以， 又，所以点在圆内， 联立可得，， 所以直线的斜率为，又直线的斜率为， 所以直线与直线垂直， 将代入可得， 故， 所以或， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，，， 所以， 所以的最大值为12． 故选：D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．） 9. 已知圆，直线，，则（ ） A. B. 与圆C相交 C. 若与圆C相交于A、B，则弦长的最大值为4 D. 与圆C相切，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用可判断A；求得直线过定点，判断点在圆内，进而可判断B；求得圆心到直线的最大距离，可求弦长判断C；利用圆心到直线的距离等于半径求得，进而可判断D. 【详解】∵，∴，故A正确． ∵，∴过定点， ∵，∴点P在圆内，∴与圆C相交，故B正确． ∵圆心，，∴圆心C到的距离的最大值为， ∴，∴，故C错误． ∵圆心到的距离， 若圆C与相切，则，即，，故D正确． 故选：ABD． 10. 古希腊数学家阿基米德最早用不断分割法求椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍．已知椭圆，、是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的面积为 B. 若的内切圆的面积为，则 C. 椭圆上存在4个点P，使得为等腰三角形 D. 若直线交椭圆于另一点Q，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆面积公式直接求解判断A；利用焦点三角形面积公式建立方程求解判断B；分类讨论求解点P的个数判断C；由余弦定理求出椭圆焦半径，代入化简即可判断D. 【详解】由椭圆可知：，， 所以椭圆C的面积为，故A正确； 因为内切圆的面积为，则其半径为1， 由， 知，所以，故B不正确； 当点P在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，，所以满足的点P有2个， 同理，满足的点P有2个， 综上可得，满足为等腰三角形的点P有6个，故C不正确； 在中，由余弦定理， 即， 整理得，同理可得， 所以，故D正确. 故选：AD． 11. 截口曲线是由平面截取圆锥和圆柱时形成的交线，其形状取决于截面与轴的夹角，当夹角变化时可得到不同的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与旋转轴的交点M距离圆锥顶点S长度为2，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ） A. 若该截面与圆锥的一条母线夹角为60°，则该曲线为圆 B. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线的离心率为 C. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则点M为该曲线的一个焦点 D. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线上任意两点之间的最大距离为3 【答案】BD 【解析】 【分析】根据截面与母线所成的角可知截面与旋转轴垂直判断A，根据截面与圆锥的旋转轴夹角为60°可判断曲线为椭圆，利用长轴的性质判断D，建立平面直角坐标系，求出椭圆方程，求出焦点坐标及离心率判断BC. 【详解】对于A，当截面与圆锥一个轴截面的一条母线夹角为60°且与该轴截面的另一条母线平行线时， 所以所得曲线是不是圆，A错误； 对于BCD，根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆， 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该截面与圆锥的一条母线垂直， 设与截面垂直的母线垂足为A，平面SAM交椭圆曲线的另一交点为B， 由对称性知AB为该椭圆的长轴端点．如图， 在直角三角形SAB中，由，，， 则有，，，，， 所以该曲线上任意两点之间的最大距离是长轴长，故D正确； 再过M作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径， 在这个圆面内作MP垂直于平面SAB，交椭圆于点P，则， 如图， 在截面上取AB中点为坐标原点，方向为x轴正向，建立平面直角坐标系， 则，，， 由MP垂直于平面SAB知MP垂直于x轴，则， 设椭圆方程为，将代入得：，最后可得， 由于，所以不是椭圆的焦点，故C错误； 即椭圆离心率为，故B正确； 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 圆关于直线对称的圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求得圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 设对称圆的圆心坐标为， 由题意得，，解得， 对称圆的圆心坐标为，半径为2，对称圆的方程为． 故答案为：． 13. 已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：当过点P的直线与直线l平行且与椭圆相切时，点P到直线l的距离取得最小值；方法二：应用三角换元设，再应用点到直线距离公式结合三角函数值域计算求解最小值即可. 【详解】方法一：设，即， 与椭圆C的方程联立，得． ，∴， 当时，点P到直线l的距离为， 即椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为． 方法二：设， 由点到直线距离公式 ∵，∴ ∴，∴． 故答案为：. 14. 已知椭圆的左焦点为，设过原点的直线与椭圆交于、两点，的中点为，的中点为．原点在以线段为直径的圆上．若直线的斜率满足，则椭圆离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据中点坐标公式得到、的坐标，再由原点在以线段为直径的圆上得出，进而得到点坐标满足的关系式，结合椭圆方程求出点横坐标的表达式，再根据直线的斜率范围得出横坐标的范围，最后根据离心率公式求出离心率的取值范围. 【详解】设，，则的中点的坐标为，的中点的坐标为； 由题可知，，， 化简得； 因为在椭圆上，满足，即， 将其代入：， 又因为， 代入并整理得：， 直线的斜率，已知，则， 而， 因此：， 将代入上式：， 令，即，，代入上式化简得： ， 由于，因此需； 同时，，故； 结合的范围，且，得：. 故答案为：. 四.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，边AB上的高线CH所在的直线方程为，边AC上的中线BM所在的直线方程为． （1）求直线BC的方程； （2）求经过点B且与两坐标轴围成的三角形的面积为1的直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先联立直线方程求出B点坐标，再中点坐标公式求出点坐标，最后利用点斜式求出BC的方程； （2）可知直线的斜率存在且不为零，设出方程，求出两坐标轴上的截距，利于面积求出斜率即可. 【小问1详解】 由边AB上的高线CH所在的直线方程为，得直线AB的斜率为1， 直线AB方程为，即， 由，解得，，所以点B的坐标是． 由点C在直线上，设点， 于是边AC的中点在直线上， 因此，解得，即得点， 直线BC的斜率， 所以直线BC的方程为，即． 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率存在且不为零，∴不妨设 令，；，． ∴，化简得：， 若， 整理得， ，或 ∴此时的直线方程为：或 若，，整理得： ，∴此方程无解． 综上所述：满足条件的直线方程为或． 16. 已知椭圆方程短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率为，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得和，结合（为坐标原点）的面积为，列出方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 题意可知，椭圆的短轴长为， ∴，．又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由椭圆，可得，则右焦点为， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，，则，， 所以 ， 又由点到直线的距离， 故的面积， 解得或（舍），所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 17. 如图，三棱锥中，平面平面，平面，，到平面的距离为1． （1）求证：； （2）若为中点，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 证明：如图，过作于点，     因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为面，所以； 又因为平面，所以， 而，面， 所以面ABC，又面，所以； 过作于点，因为平面，所以， 而， 面，所以面，即． 在直角中，，则为直角斜边的中点， 所以为等腰直角三角形，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）过作于点，过作于点，根据线面垂直和面面垂直性质定理可证明得到，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，首先根据体积转化法计算出，然后计算出平面和平面的一个法向量，最后根据二面角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 以为原点，、所在直线为轴、轴，过点作的平行线，得到轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以为平面 的一个法向量； 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， 显然二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为． 18. 已知圆关于直线对称，直线，点P在上运动．直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B． （1）求圆C的方程； （2）证明：直线AB恒过定点； （3）过点的直线与圆C交于M、N两点（点M在直线上方）．在上是否存在定点Q使直线MQ、NQ的斜率之积为1？若存在，请求出Q的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B，故， 由平面几何可知P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径， 设P、A、C、B所在圆为圆E，设，设圆E上任一点， 则， ∴圆， 与圆C：联立得， ∴得：，， ∴AB过定点． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）圆心在直线上，代入得到方程，解得，得到圆C的方程； （2）P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径，求出此圆的方程，与圆C：联立得直线AB的方程，求出AB过定点； （3）假设存在Q，当MN斜率存在时，设，联立与圆的方程，由韦达定理得到方程，根据MQ、NQ斜率之积为1得到方程，求得，上述对恒成立，故，，求出，当MN斜率不存在时，可知，，得到满足题意，综上，可得满足要求. 【小问1详解】 ∵圆C关于直线对称， ∴圆心在直线上， ∴，解得， ∴圆的方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在点，理由如下： 假设存在Q，使得MQ、NQ斜率之积为1． 设，，， 当MN斜率存在时，设，则，， 联立与得， 则， ∴， 变形得到， 即， 化简得 ∵上述对恒成立， ∴，故，∴， 当MN斜率不存在时，中，令得， 可知，， 由得，， 所以满足题意． 综上，存在点使MQ、NQ斜率之积为1． 19. 在平面直角坐标系xOy中， 已知点，，动点满足直线AW 与BW 的斜率之积为．记W的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线； （2）已知直线l与C交于M，N两点，与圆交于P，Q两点，若不重合的两条直线与分别平分线段MN，PQ． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线C交于E，G两点，与曲线C交于D，F两点，，求四边形EFGH面积的最大值． 【答案】（1）曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为 （2）①证明：如图1，由于直线平分直线l与圆O的交线段， 所以直线l与垂直，设直线，则． 设，，则， 于是， 即，由于，， 则，又，则，得证； ② 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式计算化简即可得解； （2）①设出直线，由垂径定理可得直线l与垂直，即可表示出，再借助点差法计算可得，即可得证；②由题意可得，则可得，从而可通过基本不等式得到的最大值后得解. 【小问1详解】 直线AW的斜率为，直线BW 的斜率为， 由题意可知：，∴，∴， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆， 其方程为； 【小问2详解】 ①略 ②由题意，因为，则，如图2，连接DG，ED， 则， 则， 令，得， 则直线与椭圆相交所得弦长为， 同理可得直线与椭圆的一个交点坐标为，不妨记为点D， 则D到直线的距离， 所以， 由题意可知，则 ， 当且仅当时，取等号， 所以四边形EFGH面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $