精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

玉溪一中2025－2026学年上学期高一年级期中考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 命题人：高2027届数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 命题，.则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案. 【详解】由题意知命题，为存在量词命题， 则，， 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解分式不等式，求得集合B，再利用集合的交集运算求解. 【详解】 解得，即， 则. 故选：A. 3. 在下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A. ， B. ：三角形是等腰三角形，：三角形是等边三角形 C. 在一元二次方程中，有实数根， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合交集、并集的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，得，即；而当时，， 即不能推出，因此是的充分不必要条件，A不是； 对于B，三角形是等边三角形，则该三角形是等腰三角形，而三角形是等腰三角形无法推 出该三角形是等边三角形，因此是的必要不充分条件，B是； 对于C，一元二次方程有实数根，则，即； 反之当时，一元二次方程有实数根，即， 因此是的充要条件，C不是； 对于D，由，得，即；而当时，， 即不能推出，因此是的充分不必要条件，D不是. 故选：B 4. 若，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质分析BC选项，根据作差法判断AD选项. 【详解】对于A，时，，则，A错误； 对于B，由，则，而，因此，B正确； 对于C，若，，则，C错误； 对于D，若，，， 所以，D错误. 故选：B 5. 已知函数，且，则（ ） A. －4或4 B. 1 C. 4 D. －1或1 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】解：根据题意，当，，则. 当，，则. 综上所述，或1. 故选：D. 6. 若，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当时取等号，所以函数的最小值为7. 故选：C 7. 定义在上的奇函数满足：对，，且，都有，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. ，，大小关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由在上为减函数，且为奇函数，再由判断. 【详解】因函数是上的奇函数，且在上为减函数， 则，又， 则，，， 即. 故选：C. 8. 已知函数满足，若函数与图象的交点为，则所有交点的横坐标之和为（ ） A. 0 B. m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出和图象的对称性，由此求得. 【详解】依题意函数满足，即的图象关于对称. 函数的图象也关于对称性， 所以若函数与图象的交点分别为，，…，，则. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组中两个函数是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】对于选项A，与只是表示自变量的字母不同，是同一函数，故A正确； 对于选项B，需满足，中可以等于，所以不是同一函数，故B错误； 对于选项C，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，故C错误； 对于选项D，，显然，所以是同一函数，故D正确. 故选：AD. 10. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，即得，求出的范围，判断AB；利用基本不等式可得，化为，求出的范围，判断CD. 【详解】，，， ，解得，当且仅当，即时取等号， ，的取值范围是，A错误，B正确； ，，，化为， 解得，当且仅当，即时取等号， 的取值范围是，C正确，D错误， 故选：BC. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.下列命题中正确的是（ ） A. B. ， C. ， D. 若，，则方程的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义，逐项判断即可 【详解】由高斯函数定义显然A正确； 对于B，不妨取，，故B正确； 对于C，不妨取，，故C错误； 对于D，因为当时，，所以方程等价于， 又因为表示不超过的最大整数，所以恒成立， 即对任意，恒成立，所以方程的解集为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是偶函数，且其定义域为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为偶函数，可得函数定义域关于原点对称可求解，再根据偶函数的定义，可求解，再求即可. 【详解】因为偶函数定义域关于原点对称，所以，即， 又因为，所以，即，， 所以. 故答案为：. 13. 给定函数，，，用表示，中的最小者，记为，当时，的最大值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】作出函数图象，数形结合即可解题. 【详解】令，即，解得或， 则当时，， 所以，故函数的图象如图所示： 数形结合可知，当时，. 故答案为：3 14. 已知幂函数的图象过点，则满足的的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先写出幂函数的表达式，再利用单调性即可1求得. 【详解】已知幂函数的图象过点， 所以，故，则， 所以是偶函数，且在区间上是增函数， 则， 解得：或， 即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题需写出必要的演算步骤，或文字说明. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）已知命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式求出集合，代入求出集合，再求，即可； （2）解含参不等式求出集合，根据若是的充分不必要条件，得出A是B的真子集，列不等式求出的取值范围即可. 【小问1详解】 解不等式，得，所以. 当时，解不等式，得，所以. 所以，，. 【小问2详解】 解不等式，即，得，. 因为是的充分不必要条件，即由命题成立能推出命题成立，但由命题成立推不出命题成立， 所以A是B的真子集，所以且，解得，所以实数的取值范围是. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用，可得解析式； （2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围． 【小问1详解】 因为为奇函数，，设，则， 则, 因为为奇函数，则 ， 则． 【小问2详解】 当时，为单调递增函数， 由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数， 又∵，∴， 故有：，则有，解得： 所以实数a取值范围是： 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是或，求实数、的值； （2）当时，，，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，为方程的两个实数根，根据根与系数的关系建立的等式计算求解即可； （2）方法1：由得，求出函数的对称轴，根据对称轴和开口方向得到在区间上单调递增，根据 ，，得到，从而得到的范围. 方法2：由得到，由 ，，得到，分离参数得到.由，得到的范围，从而得到的范围. 【小问1详解】 不等式的解集是或，，为方程的两个实数根， ，. 【小问2详解】 方法1：因为，所以，，所以，函数的对称轴为. 因为，，所以，在区间上单调递增，又因为，， 所以，解得. 又因为，所以，. 方法2：因为，所以，，因为，， 所以，即：，又因为，， 所以.因为，， 所以，又因为，所以. 18. 某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的销售收入为505元. 提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量 （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设过去一个月该工艺品日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】（1） （2）且定义域为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解之即可得解； （2）利用表格中数据的增长趋势选定模型，再利用待定系数法求得，从而得到所求函数解析式和定义域； （3）利用（1）（2）中结论，得到，分类讨论的取值范围，结合基本不等式与函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 由题意得，第10天每件销售价格为元，第10天的销售量为50件， 所以，得； 【小问2详解】 由表格数据知：日销售量随时间的增长先增后减， 而①，②两函数都是单调函数，显然①②不符合， 而③满足题意，故选③， 则，解得，则， 综上，且定义域为； 【小问3详解】 由（1）（2）知，，，， 则， 所以， 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时最小值为441元； 当时，在上单调递减， 此时最小值为元； 显然， 所以的最小值为. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”. （1）证明：是函数的一个“翻倍区间”； （2）判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； （3）已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围. 【答案】（1） 证明：由函数在上单调增函数知，的值域为， 所以是函数的一个“翻倍区间”； （2）存在，，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据在上的单调性和值域可证； （2）根据“翻倍区间”的定义列方程组求解可得； （3）转化为方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，利用二次函数性质求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设存在一个“翻倍区间”， 由函数是上的单调增函数，有， 解得，0，，，0，， 由知所有“翻倍区间”为，，. 【小问3详解】 由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数， 而，可得，解得， 由②知，可得，是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 即方程在上有两个不等实根 或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025－2026学年上学期高一年级期中考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 命题人：高2027届数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 命题，.则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A. ， B. ：三角形是等腰三角形，：三角形是等边三角形 C. 在一元二次方程中，有实数根， D. ， 4. 若，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，且，则（ ） A. －4或4 B. 1 C. 4 D. －1或1 6. 若，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 定义在上的奇函数满足：对，，且，都有，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. ，，大小关系不确定 8. 已知函数满足，若函数与图象的交点为，则所有交点的横坐标之和为（ ） A. 0 B. m C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组中两个函数是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.下列命题中正确的是（ ） A. B. ， C. ， D. 若，，则方程的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是偶函数，且其定义域为，则________. 13. 给定函数，，，用表示，中的最小者，记为，当时，的最大值为________. 14. 已知幂函数的图象过点，则满足的的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题需写出必要的演算步骤，或文字说明. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）已知命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是或，求实数、的值； （2）当时，，，求实数的取值范围. 18. 某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的销售收入为505元. 提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量 （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设过去一个月该工艺品日销售收入为（单位：元），求的最小值. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”. （1）证明：是函数的一个“翻倍区间”； （2）判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； （3）已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $