精品解析：上海市中国中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025学年第一学期高二数学期中考试试卷 （满分：100分，时间：90分钟） 一、填空题：（本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题3分，第7题至第12题每小题4分，共计42分） 1. 直线与平面所成角的范围是_________________. 2. 不重合的两个平面最多有_____________条公共直线 3. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 4. 正方体中，异面直线与所成角的大小为______. 5. 正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为____. 6. 在三棱锥中，若，则P点在底面的投影是的______. 7. 已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为_____ 8. 已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图如图所示，若，则的长为________. 9. 如图，矩形中，为的中点，，，连接，，若绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为______. 10. 交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点S滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为cm，则该圆锥的侧面积为______．（交通锥筒的厚度忽略不计）． 11. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则_______. 12. 如图，在直三棱柱中，，，，，（，）.记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为______. 二、选择题：（本大题共有4题，每小题4分，共计16分） 13. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）. A. 直线AA1 B. 直线A1B1 C. 直线A1D1 D. 直线B1C1 14. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 16. 已知正方体和点，有两个命题： 命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等； 命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等； 则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 的大小关系与点的位置有关 三、解答题：（本大题共有5题，共计42分） 17. 某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30cm，圆锥的母线长为20cm.现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（，结果精确到1元） 18. 如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 19. （1）请用文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理，同时用符号语言叙述该定理； （2）如图所示，在三棱锥中，面，.该三棱锥中的面中有哪些面是互相垂直的（只写结果，不要求证明）. 20. 四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）设，，求到平面的距离. 21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求二面角的大小（结果用反三角表示）； （2）若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高二数学期中考试试卷 （满分：100分，时间：90分钟） 一、填空题：（本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题3分，第7题至第12题每小题4分，共计42分） 1. 直线与平面所成角的范围是_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与平面所成角的定义可得结论. 【详解】直线和平面所成的角，应分三种情况： ①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； ②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为； ③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 故答案为：． 2. 不重合的两个平面最多有_____________条公共直线 【答案】1 【解析】 【分析】由平面的基本性质可求解. 【详解】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交， 当相交时，有且只有一条公共直线. 故答案为：1 3. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 4. 正方体中，异面直线与所成角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图，取中点为F，中点为E，连接，取中点为O， 连接EF，FO，则为异面直线与所成角或所成角的补角，然后由余弦定理可得答案. 【详解】如图，取中点为F，中点为E，连接，取中点为O， 连接EF，FO，设正方体边长为2，则，，， ，取中点为G，连接， 则，，， 从而，即异面直线与所成角的大小为. 5. 正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面角的定义直接求解. 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与平面所成的角，而， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为： 6. 在三棱锥中，若，则P点在底面的投影是的______. 【答案】外心 【解析】 【分析】设P点在底面的投影为，根据投影定义得出线面垂直，进一步得出线线垂直，结合勾股定理即可得出，为三角形外心. 【详解】设P点在底面的投影为，则底面， 连接，则， 由于，则由勾股定理可得， 所以点是的外心. 故答案为：外心. 7. 已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】求出四棱锥的高，即可得到此四棱锥体积. 【详解】 设底面正方形两条对角线相交于O点， 由题可得,PO⊥底面ABCD. 在Rt△AOP中, ∵AO= AC= ,AP=2, ∴PO=. 故= 故答案为 【点睛】求解空间几何体体积的常用策略： （1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解； （2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可； （3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用. （4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题. 8. 已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图如图所示，若，则的长为________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据斜二测法求出直观图△的面积，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出的值． 【详解】解：的面积为， 则用斜二测法画出其水平放置的直观图△的面积为， 即，解得， △中，由余弦定理得，， 所以． 故答案为：1． 9. 如图，矩形中，为的中点，，，连接，，若绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得几何体可由一个圆柱，去掉两个全等圆锥所构成，据此可得体积. 【详解】由题可得几何体可由一个圆柱，去掉两个全等圆锥所构成. 圆柱，圆锥底面半径为1，圆柱高为2，圆锥高为1，则圆柱体积为：， 圆锥体积为：，则几何体体积为：. 故答案为： 10. 交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点S滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为cm，则该圆锥的侧面积为______．（交通锥筒的厚度忽略不计）． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l，根据周长的关系得到方程，解得答案；根据面积的关系得到方程，解得答案. 【详解】解法一：设圆锥的母线长为l，则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l，周长为． 因为圆锥的底面半径为，所以该圆锥的底面周长为， 故，解得， 所以该圆锥的侧面积为． 解法二：设圆锥的母线长为l，则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l，面积为． 因为圆锥的底面半径为，所以该圆锥的侧面积为， 故，解得， 所以该圆锥的侧面积为． 故答案为：. 11. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则_______. 【答案】 【解析】 【详解】由已知⊥，⊥，即•=0，•=0，＜，＞=45°， ∵， ∴， ， ∴ 12. 如图，在直三棱柱中，，，，，（，）.记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先确定当取最小时，为的中点，然后根据三角形全等求出，然后确定过点的三棱柱的截面为梯形，最后根据梯形的面积公式求出面积即可. 【详解】将绕翻折到平面内，则的最小值为点到直线距离， 所以，因为， 所以. 所以当取最小时，为的中点，因为为等边三角形，为的中点， 所以为的重心，故， 在平面中，延长交于点， 因为， 所以，故. 取的中点，为的中点，则， 因为，，所以四边形为平行四边形，则，， 又，，所以，所以， 故过点的三棱柱的截面为梯形， ， 如下图，过作，设， 因为，则， 所以，则梯形的面积为. 故答案为：. 二、选择题：（本大题共有4题，每小题4分，共计16分） 13. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）. A. 直线AA1 B. 直线A1B1 C. 直线A1D1 D. 直线B1C1 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析： 只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与都是异面直线，故选D． 【考点】异面直线 【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等. 14. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可. 【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误； 对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误； 对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得， 又，则，因为，所以，故D正确. 故选：D. 15. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据祖暅原理，判断“”与“”之间的逻辑推理关系即可. 【详解】根据祖暅原理可知，当时，一定有成立， 反之，当成立时，不一定有成立， 比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 16. 已知正方体和点，有两个命题： 命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等； 命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等； 则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 的大小关系与点的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】作出正方体四条体对角线，四条体对角线与正方体的每条棱所成角都相等，得到，从正方体一个顶点出发得到正三棱锥，得到与正方体的每个面所成锐二面角都相等的平面，由对称性可得，得到结论. 【详解】正方体有四条体对角线， 四条体对角线与正方体的每条棱所成角都相等，夹角的正切值为， 故过点可以作4条直线，4条直线分别与4条体对角线平行， 由于正方体只有4条体对角线， 故， 过正方体的一个顶点可以作出正三棱锥，比如， 可以证明平面与正方体的三个平面，平面，平面的锐二面角相等， 设平面与平面的夹角为， 相交于点，连接，则即为平面与平面的夹角， ， 可以求出平面与平面，平面的锐二面角的正切值均为， 根据面面平行，故平面与正方体的每个面所成锐二面角都相等， 从8个顶点可以作出8个类似的正三棱锥， 得到八个平面，分别为平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面， 但平面，平面，平面，平面分别与平面，平面，平面，平面平行， 综上，过点共可以作出4个平面满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等； 故， 故选：B 【点睛】关键点点睛，正方体中，四条体对角线与正方体的每条棱所成角都相等，从一个顶点出发的正三棱锥，可得到平面与四个平面平行的平面与正方体的每个面所成锐二面角都相等，结合对称性可得结论. 三、解答题：（本大题共有5题，共计42分） 17. 某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30cm，圆锥的母线长为20cm.现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（，结果精确到1元） 【答案】. 【解析】 【分析】由题可得“笼具” 表面积，据此可得制作50个“笼具”所需总费用. 【详解】设圆柱，圆锥底面半径为，圆柱高为，圆锥母线为. 因圆柱的底面周长为，则， 则圆柱底面积为：，圆柱侧面积为：， 圆锥侧面积为：， 则“笼具” 表面积为：，则总造价为： 元. 18. 如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）详见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由平面得到，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，得到 ，设异面直线与所成的角为，由求解. 【小问1详解】 在正方体中， 因为平面，平面， 所以，又，且， 平面， 平面， 所以平面； 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以 ， 设异面直线与所成的角为， 则 . 19. （1）请用文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理，同时用符号语言叙述该定理； （2）如图所示，在三棱锥中，面，.该三棱锥中的面中有哪些面是互相垂直的（只写结果，不要求证明）. 【答案】（1）文字语言：如果一个平面 经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，符号语言：； （2）平面平面，平面平面，平面平面 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理直接写出即可； （2）根据面面垂直的判定定理，即可得出. 【详解】（1）文字语言：如果一个平面 经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 符号语言：. （2）平面平面，平面平面，平面平面 20. 四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）设，，求到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取AC中点为O，连接，通过证明可完成证明； （2）如图做，垂足为F，由题可证平面，据此可得到平面的距离 【小问1详解】 取AC中点为O，连接，，由底面为矩形， 则分别为的中点，，又平面，平面， 则平面； 【小问2详解】 如图做，垂足为F， 又平面，平面，则， 又平面，则平面. 则到平面的距离为， 则. 21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求二面角的大小（结果用反三角表示）； （2）若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【答案】（1）； （2）当时，直线与平面所成的角最大.理由见解析 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，得到两法向量夹角余弦值，从而求出二面角的大小； （2）设，，表达出，在（1）基础上，用线面角正弦公式进行求解，求出最值，得到答案. 【小问1详解】 由题意得⊥平面，又平面， 所以⊥，⊥， 四边形为菱形，故⊥， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 已知，是等边三角形，故， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 显然平面的一个法向量为， 则， 设二面角的大小为，从图中可以看出二面角为锐角， 故，则. 【小问2详解】 当时，直线与平面所成的角最大.理由如下： 设，，， 其中，， ，则， 故，，， ， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角大小为， 则 ， 因为，所以当时，取得最大值， 最大值为， 又，而在上单调递增， 所以，即当时，直线与平面所成的角最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $