精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一数学期中考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定. 故选：A. 3. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据充分、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以， 解得. 因为，所以解得. 由此可以看出，“成立”推不出“成立”， 而“成立”能推出“成立”. 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质分析B，举反例可得ACD错误. 【详解】，当时，有，A选项错误； ，有，所以，B选项正确； 当，满足，，， 有，C选项错误； 满足，，，有，D选项错误. 故选：B. 5. 已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可. 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为. 故选：C 6. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 7. 已知，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式知识即可求解. 【详解】由题意，且， 则，所以，解得 则， 当且仅当，即时取等号， 又因为， 且根据对勾函数性质在上单调递减， 所以，故A正确. 故选：A. 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】函数在上单调递增， 当时，单调递增，当时，也需要单调递增， 所以，解得，故B正确. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数是相等函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域和对应关系，对选项中的函数逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】A：定义域为，定义域为， 即和定义域不同，不是相等函数，故A错误； B：定义域为，定义域为， 即和定义域和对应关系都相等，是相等函数，故B正确； C：定义域为或，定义域为， 即和定义域不同，不是相等函数，故C错误； D：定义域为，定义域为， 即和定义域和对应关系都相等，是相等函数，故D正确； 故选：BD. 10. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，得到且，进而求得，结合选项，即可求解. 【详解】由命题“”为假命题，可得， 又由命题“”为真命题，可得， 所以，结合选项，可得AB符合题意. 故选：AB. 11. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ） A. -2 B. C. 0 D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】考虑时，，时，，依次将各个选项中的数据带入，计算集合，再判断和之间的关系得到答案. 详解】当时，， 当时，， 对选项A：若，，此时，不满足； 对选项B：若，，此时，满足； 对选项C：若，，此时，满足； 对选项D：若，，此时，满足； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知不等式的解集是，若不等式的解集为，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据三个二次之间的关系以及根与系数关系求的值，进而可得的值. 【详解】因为不等式的解集是， 可知方程有且仅有一个解，则， 又因为不等式，即的解集为， 可知方程的解为， 则，解得， 由可得，则，所以. 故答案为：7. 13. 已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则 ___. 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件可得函数是周期为的函数，进而求出，再利用周期性求出目标值. 【详解】由函数为偶函数，得，即， 由函数为奇函数，得，即， 则，即，因此， 即函数的一个周期为4，由，得， 则，由，令得，则， 所以. 故答案为：0 14. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义域是使得式子有意义，即，解出即可求解. 【详解】由题意有且且， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，不等式的解集是，集合． （1）求实数，的值； （2）求． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合三个二次式的关系，列出方程组，即可求解. （2）求得，结合集合并集与补集的运算，即可求解. 【小问1详解】 由不等式的解集是，可得，解得. 【小问2详解】 由不等式，可得，解得，即， 因为，所以或， 所以或. 16. 已知集合，集合为整数集，令. （1）求集合； （2）若集合，，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用交集的定义可求得集合； （2）利用并集的结果可求得实数的值. 【小问1详解】 解：因为，， 所以，； 【小问2详解】 解：因为，且，故. 17. 用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最值： （1） （2） 【答案】（1）对称轴为，，无最大值；（2）对称轴为，，无最小值； 【解析】 【分析】对函数进行配方，即可得答案； 【详解】（1） 对称轴为，，无最大值； （2）， 对称轴为，，无最小值； 【点睛】本题考查利用配方法求二次函数的对称轴和最值，考查运算求解能力，属于基础题. 18. 解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1）；（2）当时原不等式的解集为，当时原不等式的解集为，或，当时原不等式的解集为，或． 【解析】 【分析】（1）将一元二次不等式化简，将左边配成完全平方式，即可得出不等式的解集； （2）由题意，一元二次不等式所对应的一元二次方程的两个根为 和1，分类讨论和1的大小，从而求得它的解集． 【详解】解：（1）因为，所以，即，所以，即原不等式的解集为 （2）的不等式：，即， 此不等式所对应的一元二次方程的两个根为和1． 当，即时，此时不等式即，它的解集为； 当，即时，它的解集为或； 当，即时，它的解集为或． 综上可得：当时原不等式解集为，当时原不等式的解集为或，当时原不等式的解集为或． 19. 对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合（含有n个元素的集合），均为正整数集的子集，若集合A和集合B满足①，②，③，则称集合A，B互为不交双等集． （1）分别判断集合与和集合与是否互为不交双等集，请说明理由． （2）若集合与集合互为不交双等集，求的值． （3）证明：对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集． 【答案】（1），不互为不交双等集，集合，互为不交双等集，理由见解析 （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由集合新定义可得； （2）由集合新定义解方程组可得； （3）先证明引理1：设m元不交双等集对和n元不交双等集对，可由此构造元不交双等集对．引理2：由引理1中得已知得两个不交双等集对可由此构造元不交双等集对.然后利用（1）（2）的结论得到3元，4元，5元不交双等集对，进而按照分类即可证得. 【小问1详解】 因为，，所以集合，不满足条件②， 则集合，不互为不交双等集． 因为，，，， 且，所以集合，互为不交双等集． 【小问2详解】 由不交双等集的定义可得， 解得或，则或． 【小问3详解】 引理1：设m元不交双等集对和n元不交双等集对，可由此构造元不交双等集对． 引理1证明：必有，，， ，，， 对于任意的正整数,为元不交双等集对， 显然存在足够大得正整数,使得， 满足, 所以， ，， ,则互为元不交双等集． 引理2：由引理1中得已知得两个不交双等集对可由此构造元不交双等集对. 引理2证明：当时由引理1中得构造方法可知存元不交双等集对， 再对此元不交双等集对和元不交双等集对重复使用引理1可构造元不交双等集对. 再对此元不交双等集对和元子集对， 使用引理1，可构造元不交双等子集对. 现在来证明对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集． 证明：由（1）（2）可知和互为4元不交双等集， 为三元不交双等集对； 易证和互为4元不交双等集， 和互为3元不交双等集， 进而得到和互为5元不交双等集． 当时，由引理2可得结论正确； 当时，由引理2可构造元不交双等集对， 再和1个4元不交双等集利用引理2构造得到； 当，由引理2可构造元不交双等集对， 再和1个5元不交双等集利用引理2构造得到． 故对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 3. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数是相等函数的是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 10. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 11. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ） A -2 B. C. 0 D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知不等式的解集是，若不等式的解集为，则__________． 13. 已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则 ___. 14. 函数的定义域为______． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，不等式的解集是，集合． （1）求实数，的值； （2）求． 16. 已知集合，集合为整数集，令. （1）求集合； （2）若集合，，求实数的值. 17. 用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最值： （1） （2） 18. 解下列不等式： （1） （2） 19. 对任意给定不小于3的正整数n，n元集合（含有n个元素的集合），均为正整数集的子集，若集合A和集合B满足①，②，③，则称集合A，B互为不交双等集． （1）分别判断集合与和集合与否互为不交双等集，请说明理由． （2）若集合与集合互为不交双等集，求的值． （3）证明：对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $