3.1.1 勾股定理-勾股定理的发现（同步课件）-2025-2026学年八年级数学上册新苏科版同步教学课件

第3章 勾股定理 3.1.1 勾股定理-勾股定理的发现 苏科版 八年级上册 教学目标 01 探索勾股定理 02 会用勾股定理求直角三角形的边长 勾股定理的发现 01 课堂导入 1955年希腊发行了一枚纪念邮票，邮票的图案是根据一个著名的数学定理设计的。 观察这枚邮票的图案和图案中各正方形内小方格的个数，你有什么发现？ 解：图案中各正方形内小方格的个数分别为9，16，25，且9 + 16 = 25。 01 课堂导入 问 题 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形， 所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ A C B F G E D H I 01 课堂导入 A C B E D 可以用“补”的方法。 解：S正方形AEDB = 7 × 7 - 4 × S△ABC = 49 - 4 × × 3 × 4 = 25。 01 课堂导入 A C B E D 解：S正方形AEDB = 4S△APB + 1 × 1 = 4 × × 4 × 3 + 1 = 25。 可以用“割”的方法。 P 01 课堂导入 正方形BHIC、正方形ACFG的面积分别为9和16， 正方形AEDB的面积为25， 三个正方形面积之间的关系为 S正方形AEDB = S正方形BHIC + S正方形ACFG。 ∵S正方形AEDB = AB2， S正方形BHTC = BC2， S正方形ACFG = AC2， ∴AB2 = BC2 + AC2。 即Rt△ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方。 A C B F G E D H I 01 课堂导入 活 动 在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形的面积。 01 课堂导入 A C B 解：如图，以BC为一边的正方形的面积是52 = 25， 以AC边的正方形的面积是122 = 144。 01 课堂导入 解：以AB为一边的正方形的面积为： ① 可以用“补”的方法： 172 - 4 × × 5 × 12 = 169 = 132。 ② 可以用“割”的方法： 4 × × 5 × 12 + 72 = 169 = 132。 A B C 01 课堂导入 解：∵25 + 144 = 169， 即52 + 122 = 132， ∴AB2 = BC2 + AC2。 即Rt△ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方。 02 知识精讲 根据上面的例子，可以猜想：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 直角三角形这一特殊的三边关系，我国古代称之为勾股定理。据《周髀算经》记载：西周时期的商高 ( 约前1100 ) 在与周公 ( 约前1100 ) 的对话中，就提出了“勾三股四弦五”。勾股定理的证明从古至今已有数百种方法。公元3世纪初，我国数学家赵爽 ( 3世纪前期 ) 用剪拼图形的方法完成了证明。 02 知识精讲 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∴a2 + b2 = c2。 C a c b B A 勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理，在古希腊，人们利用勾股定理发现了无理数。 02 知识精讲 解：( 1 ) 根据勾股定理，得122 + 52 = c2， 即c2 = 169。∴c = = 13。 ( 2 ) 根据勾股定理，得22 + b2 = 52， 即b2 = 21。∴b = 。 例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长。 12 5 c b 5 2 ( 1 ) ( 2 ) 02 知识精讲 例2 在数轴上画出对应的点。 解：如图，画一个直角边分别为2和1的直角三角形。 由勾股定理知，斜边为 = 。 以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P， 则P为对应的点。 -1 1 0 -2 2 3 P 03 典例精析 题型一 根据勾股定理求线段长： 例1、若直角三角形两边长分别是6和8，则第三边长为（　　） A．10 B．12 C．10或12 D．10或2 解：① 当6和8均为直角边时，第三边为斜边， 由勾股定理得：第三边长为 = = 10； ② 当8为斜边，6为一条直角边时，第三边为另一条直角边， 由勾股定理得：第三边长为 = = 2。 D 03 典例精析 题型一 根据勾股定理求线段长： 例2、在Rt△ACB中，∠C = 90°，∠B = 30°， 若AC = 6，则BC的长为（　　） A．8 B．12 C．6 D．12 解：在Rt△ACB中，∠C = 90°，∠B = 30°，AC = 6， 则AB = 2AC = 2 × 6 = 12， 由勾股定理得：BC = = = 6。 C C B A 03 典例精析 根据题型总结——特殊三角形的三边关系： 解：30°，60°，90°的三角形的三边关系为：1：：2； 45°，45°，90°的三角形的三边关系为：1：1：； 30°，30°，120°的三角形的三边关系为：1：1：。 C B A 30° C B A 45° A B C 30° 30° 03 典例精析 题型一 根据勾股定理求线段长： 例3、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数， 则直角三角形的周长为（　　） A．121 B．120 C．90 D．不能确定 解：设另一直角边为a，则斜边为a + 1， 由勾股定理可得：( a + 1 )2 - a2 = 92， 解得：a = 40，则a + 1 = 41， ∴直角三角形的周长为：9 + 40 + 41 = 90。 C 03 典例精析 题型二 根据勾股定理求面积： 例4、如图，两个大正方形的面积分别为132和108， 则小正方形M的面积为________。 解：如图， 由勾股定理可得： 小正方形M的面积 = BC2 = AB2 - AC2 = 132 - 108 = 24。 24 108 M 132 B C A 课后总结 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 3.1.1 勾股定理-勾股定理的发现 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $