2.3　实数 课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦实数初步认识，涵盖无理数概念、实数分类、与数轴关系及相关概念。通过中考题导入，从有理数过渡到无理数，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融入数形结合与几何直观，如用正方形面积探究√2近似值，结合逻辑推理证明√3不是有理数，培养学生数学思维与推理意识。分层题目设计助力学生提升抽象能力，为教师提供素养落地的优质教学资源。

第2章　实数的初步认识 第1课时　实数与数轴 2.3　实数  　无理数 1.(2024山东日照中考)实数- ,0, ,1.732中无理数是 ( ) A.- 　    B.0　    C. 　    D.1.732 C 解析　- ,0,1.732是有理数, 是无理数. 2.下列说法中正确的是 ( ) A.带根号的数都是无理数 B.无限小数都是无理数 C.无理数是无限不循环小数 D.无理数是开方开不尽的数的方根     C     解析　    A.带根号的数不都是无理数,例如 是有理数,故A 不符合题意; B.无限不循环小数都是无理数,故B不符合题意; C.无理数是无限不循环小数,故C符合题意; D.无理数不都是开方开不尽的数的方根,例如π也是无理数,故 D不符合题意.故选C.  　实数的概念及分类 3.(2025江苏连云港月考)把下列各数填入相应的数集内. -16,0.151 551 555 1…(相邻的两个1之间依次多1个5),0,- , |-1|,0. ,-(-10),-5.6,- . 正数集合:{______________________________…}; 无理数集合:{_____________________________…}; 分数集合:{______________________________…}; 非负整数集合:{______________________________…}. 解析　- =- ,-(-10)=10,|-1|=1, 正数集合:{0.151 551 555 1…(相邻的两个1之间依次多1个5), |-1|,0. ,-(-10),…}; 无理数集合:  ; 分数集合: ; 非负整数集合:{0,|-1|,-(-10),…}.  　实数与数轴的关系 4.(2024四川遂宁射洪期末)与数轴上的点一一对应的是      ( ) A.有理数　    B.无理数　    C.整数　    D.实数     D     解析　与数轴上的点一一对应的是实数.故选D. 5.【学科特色·数形结合思想】(2024四川南充中考改编)如图, 数轴上表示实数 的点可能是 ( )   A.点A　    B.点B　    C.点C　    D.点D     B     解析　∵9<11<16,∴ < < , ∴3< <4.故选B. 6.(2025江苏南京月考)如图,正方形ABCD的边AB在数轴上,数 轴上点B表示的数为-1,正方形ABCD的面积为16,且四边形 MNPQ为正方形. (1)数轴上点A表示的数为_____. (2)正方形MNPQ的面积是多少? (3)正方形MNPQ的边长是多少?在数轴上表示出点E,使点E表 示的数为该正方形的边长. 解析    (1)∵正方形ABCD的面积为16, ∴AB=4, ∵数轴上点B表示的数为-1,由图可知点A在点B左侧, ∴点A表示的数为-1-4=-5, 故答案为-5. (2)正方形MNPQ的面积=16- ×3×1×4=10. (3)∵正方形MNPQ的面积为10, ∴正方形MNPQ的边长是 , 以原点为圆心,以正方形MNPQ的边长为半径画弧,与数轴正 半轴交于一点E,如图,该点即为所求.  　实数的有关概念 7.(2025江苏常州武进月考)已知实数a=|- |,则实数a的相反 数为 ( ) A. 　    B.- 　    C.-2　    D.2     B     解析　因为a=|- |= , 的相反数是- ,所以a的相反数是 - ,故选B. 答案 (1)-     (2) +2    (3)- ;  (4) -  8.(1) 的相反数是______. (2)(2025江苏常州溧阳期中)数轴上表示-2的点到表示 的点 的距离是_____. (3)-(- )的相反数是_____; 的平方是_____. (4) - 的绝对值等于_____. 解析    (1)只有符号不同的两个数互为相反数,所以 的相反 数是- . (2)数轴上两点间的距离用大数减小数即可. 所以数轴上表示-2的点到表示 的点的距离是 +2. (3)-(- )= , 的相反数是- ,所以-(- )的相反数是- ;  的平方即 = . (4) - 是负数,其绝对值为| - |= - . 9.(2025江苏泰州月考)绝对值等于 的数是_______. ±45 解析　绝对值等于 的数对应的点到原点的距离为  =45,有两个,为±45.   10.(2025江苏南通启东期中,★★☆)在 , , ,…, 中, 无理数有 ( ) A.1 979个　    B.45个 C.1 980个　    D.1 981个     C     解析　∵12=1,22=4,……,442=1 936,452=2 025>2 024, ∴原数据中共有44个数不是无理数, 则无理数有2 024-44=1 980(个), 故选C. 11.(2024陕西榆林榆阳期末,★★☆)如图,数轴上点A,B表示的 数分别是1, ,且B,C两点到点A的距离相等,则点C表示的数 是 ( )   A. 　    B.1- 　    C.2- 　    D.3-      C     解析　∵数轴上点A,B表示的数分别是1, , ∴AB= -1,∵B,C两点到点A的距离相等, ∴AC=AB= -1,∴点C表示的数是1-( -1)=1- +1=2- ,故 选C. 12.(2025江苏南通月考,★★☆)阅读材料:“为什么 不是有 理数”. 假设 是有理数,那么存在两个互质的正整数m,n,使得 =  ,于是有2m2=n2. ∵2m2是偶数,∴n2也是偶数,∴n是偶数. 设n=2t(t是正整数),则n2=4t2,即4t2=2m2, ∴2t2=m2, ∴m也是偶数, ∴m,n都是偶数,不互质,与假设矛盾. ∴假设错误, ∴ 不是有理数. 用类似的方法,证明 不是有理数. 证明　假设 是有理数,那么存在两个互质的正整数m,n,使 得 = ,于是有3m2=n2,∵3m2是3的倍数,∴n2也是3的倍数, ∴n是3的倍数,设n=3t(t是正整数),则n2=9t2,即9t2=3m2,∴3t2=m2, ∴m也是3的倍数,∴m,n都是3的倍数,不互质,与假设矛盾, ∴假设错误,∴ 不是有理数.   13.【新课标·几何直观】(2025江苏扬州高邮期中) (1)下面是小李探索 的近似值的过程,请补充完整: 我们知道面积是2的正方形的边长是 ,由 >1,设 =1+x, 可画出示意图. 由面积公式,可得x2+2x+1=2. 略去x2,得方程2x+1=2. 解得x=0.5,即 ≈_____. 上述过程中,主要运用的数学思想是_____. (2)容易知道1< <2,设 =2-x,请类比(1)的方法,探究 的近 似值.(要求:画出示意图,标明数据,并写出求解过程) 解析    (1)由题意知 ≈1.5, 主要运用的数学思想是数形结合思想. 故答案为1.5;数形结合思想. (2)如图, =2-x,则(2-x)2=3, 根据图中面积可得22-2x-2x+x2=3, ∴4-4x+x2=3, 略去x2,得方程4-4x=3, ∴x=0.25,∴ ≈2-0.25=1.75. $第2章　实数的初步认识 第2课时　实数的运算 2.3　实数      用计算器求数的平方根与立方根 1.用计算器计算(精确到0.001): (1)-3× + .　    (2) ×π- +2× . 解析    (1)-3× + ≈-8.037. (2) ×π- +2× ≈2.013.  　实数的大小比较 2.(2025江苏无锡锡山期中)若a< <a+1,其中a为整数,则a2-2 的值为 ( ) A.3　    B.7　    C.8　    D.9     B     解析　　∵9<12<16,∴3< <4, ∵a< <a+1,∴a=3,∴a2-2=32-2=7. 3.(2023湖北恩施州中考)下列实数:-1,0, ,- ,其中最小的是  ( ) A.-1　    B.0　    C. 　    D.-      A     解析　∵|-1|=1, = ,1> ,∴-1<- ,在-1,0, ,- 这四个数 中,∵-1<- <0< ,∴最小的数是-1.故选A. 4.(2025江苏南京鼓楼月考)比较大小: _____1, _____ . (填“>”“<”或“=”) > < 解析　∵ < , =1,∴ <1. ∵( )6=81,( )6=27,81>27, ∴( )6>( )6,∴ > . 5.(2023湖南湘潭中考)数轴上到原点的距离小于 的点所表 示的整数有________________.(写出一个即可) 0(答案不唯一) 解析　数轴上到原点的距离小于 的点所表示的数为- 与  之间的所有数,其中的整数有0(答案不唯一). 6.(2025江苏南京期末)与 最接近的整数是 . 4 解析　∵ < < , ∴4< <4.5,∴与 最接近的整数是4. 故答案为4.  　实数的运算 7.定义一种新运算“△”,a△b=a2-ab,则 △1的值为 ( ) A.1- 　    B.1+  C.2- 　    D.2+  C 解析　由题意得 △1=( )2- ×1=2- .故选C. 8.(2025江苏南京建邺月考)( )2+ - = . 2 解析    ( )2+ - =2+2-2=2. 9.(1)(2023江苏苏州中考)计算:|-2|- +32. (2)(2024江苏连云港中考)计算:|-2|+(π-1)0- . 解析    (1)原式=2-2+9=0+9=9. (2)原式=2+1-4=3-4=-1. 10.(2025江苏泰州靖江期中)如图,有一只蚂蚁从点B沿数轴向 左爬了2个单位长度到达点A,若点B表示数 ,设点A所表示 的数为m. (1)实数m的值是_____. (2)求(m+2)2+|m+1|的值. (3)在数轴上还有C,D两点,分别表示实数c和d,且|2c+4|与  互为相反数,求2c+3d+8的平方根. 解析    (1)数轴上,表示 的点向左移动2个单位长度,得 -2, 所以m的值是 -2. (2)当m= -2时, (m+2)2+|m+1| =( -2+2)2+| -2+1| =5+ -1 =4+ . (3)∵|2c+4|与 互为相反数, ∴|2c+4|+ =0, ∴2c+4=0,d-4=0,解得c=-2,d=4, ∴2c+3d+8=2×(-2)+3×4+8=16, ∴2c+3d+8的平方根即16的平方根,为±4.   11.(2023江苏扬州中考,★☆☆)已知a= ,b=2,c= ,则a,b,c的 大小关系是 ( ) A.b>a>c　    B.a>c>b C.a>b>c　    D.b>c>a     C     解析　∵3<4<5,∴ < < ,即 <2< ,则a>b>c.故选C. 12.(2025江苏南京浦口期中,★★☆)a是 -3的整数部分,b是  -3的小数部分,则4a+b的值是 . 解析　∵4< <5,∴1< -3<2, ∴ -3的整数部分为1, -3的小数部分为 -3-1= -4, ∵a是 -3的整数部分,b是 -3的小数部分,∴a=1,b= -4, ∴4a+b=4×1+ -4= . 故答案为 . 13.(2025江苏南京鼓楼月考,★★☆)计算: (1) - + . (2) +(π-3)0-|1- |. (3)|1- |-(-1)2 025+ . 解析    (1) - +  =4-2+ = . (2) +(π-3)0-|1- | = +1-( -1) = +1- +1 = - . (3)|1- |-(-1)2 025+  = -1-(-1)+3 = -1+1+3 = +3. 14.(2025江苏苏州姑苏期中,★★☆)图1是一个4阶魔方,由完 全相同的64个棱长为1的小正方体组成. (1)若图1中的四边形ABCD是一个正方形,求该正方形的边长. (2)若把正方形ABCD放在数轴上,如图2,使得点A与表示1的点 重合,求点D在数轴上表示的数以及这个数的相反数. 解析    (1)正方形ABCD的面积为4×4-4× ×1×3=10, 所以正方形ABCD的边长为 . (2)∵正方形ABCD的边长为 ,∴AD= , ∵点A表示的数是1, ∴点D表示的数是1- , 这个数的相反数是 -1.   15.【新课标·推理能力】对于结论:当a+b=0时,a3+b3=0也成立.若将a看成a3的立方根,b看成b3的立方根,则可得出这样的结论:如 果两数的立方根互为相反数,那么这两个数也互为相反数. (1)举一个具体的例子来验证上述结论. (2)若 和 互为相反数,且x+3的平方根是它本身,求x +y的立方根. 解析    (1)答案不唯一,如 + =0, 则2+(-2)=0,即2与-2互为相反数. (2)∵ 和 互为相反数, ∴ + =0,∴1+y+2y-7=0,解得y=2, ∵x+3的平方根是它本身,∴x+3=0,∴x=-3. ∴x+y=-3+2=-1,∴x+y的立方根是-1. 微专题 无理数的估算 方法指引 新课标明确提出了对无理数的内容要求:“能用有理数估计一个无理数的大致范围”,要想准确地估算出无理数的取值范围,需要记住一些常用数的平方.一般情况下,从1到20的整数的平方都应牢记. 1.(2024天津中考)估算 的值在 ( ) A.1和2之间　　    B.2和3之间 C.3和4之间　     D.4和5之间     C     解析　∵ < < ,∴3< <4,∴ 的值在3和4之间, 故选C. 2.(2024重庆沙坪坝期末)估计4 -2的值在( ) A.2与3之间　    B.3与4之间 C.4与5之间　    D.6与7之间     C     解析　　∵1<3<4,∴1< <2, ∵1.52=2.25,2.25<3<4,∴1.5< <2. ∵1.752=3.062 5,2.25<3<3.062 5,∴1.5< <1.75, ∴4<4 -2<5,∴4 -2的值在4和5之间,故选C. 方法解读“夹逼法”中所谓的“夹”就是从两边确定范围, 而“逼”就是一点点加强限制,使其所处的范围越来越小,从 而达到我们想要达到的精确程度.估算无理数大小时,一般通 过乘方及开方运算,采用“夹逼法”,确定无理数在哪两个有 理数之间. 3.(2023江苏徐州中考) 的值介于 ( ) A.25与30之间　    B.30与35之间 C.35与40之间　    D.40与45之间     D     解析　∵1 600<2 023<2 025,∴ < < ,即40<  <45.故选D. 4.(2024河北中考节选)设n为正整数,若n< <n+1,则n的值为 . 3 解析　∵ < < ,∴3< <4, ∵n< <n+1,n为正整数,∴n=3. 5.(2025江苏扬州邗江期末)正整数a,b分别满足 <a< ,  <b< ,则ba=_____. 16 解析　∵a,b为正整数, <a< , <b< ,  <4< , <2< ,∴a=4,b=2, ∴ba=24=16. $