16.2 整式的乘法（导学案）2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“16.2整式的乘法”，涵盖单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式三大核心知识点。课堂导入通过复习有理数运算类比整式乘法类型，结合绿地面积、地球与太阳距离等实际问题，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步抽象运算法则。 资料以实际情境驱动探究，如绿地面积、燕几图等问题培养数学眼光的抽象能力与几何直观，法则推导过程发展数学思维的运算能力和推理意识，梯度化习题（基础到变式应用）强化数学语言的模型意识，助力学生深度理解与应用整式乘法。

16.2 整式的乘法（1） 【学习目标】 1.理解单项式乘法的法则，会用单项式乘法法则进行运算。 2.经历单项式乘法法则的形成过程，发展学生的运算能力，体会类比思想。 【学习重点】单项式的乘法法则的概括过程。 【学习难点】单项式的乘法法则的运用。 学习过程 （一）复习引入 问题1在七上学习了有理数，有理数有哪些基本运算？ 追问1我们已经学习了整式的加减，类比有理数的运算，接下来要学习哪一种运算？ 追问2整式包括单项式和多项式，思考整式的乘法有哪几种类型？ 问题2：有一块边长为a的正方形绿地，面积如何列式？ 追问1：为了扩大绿地面积，其中一边增加b，扩大后的绿地面积如何列式？ 追问2：为了进一步扩大绿地面积，另一边也增加b，扩大后的绿地面积如何列式？ 追问3 如果边长扩大到原来的倍，面积如何列式？ （二）合作探究 问题2　光的速度约是3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102 s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？ 思考1 怎样计算(3×105)×(5×102) ？计算过程中用到哪些运算律及幂运算性质？ 思考2 如果将上式中的数字改为字母，比如，ac5 ·bc2，3a2b2c5 ·5bc2怎样计算这个式子？ 思考3 根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？ 归纳 单项式与单项式的乘法法则： 一般地，单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘作为积的因式，对于 ，则连同它的指数作为积的一个因式. （三）典例分析 例1计算： (1) 3xy2·2y3 ； (2) (−5a2b)(−3a) ； (3) (2x)3(−5xy2) ； (4)(−3x2y)2(−xy3)2 . （四）巩固练习 完成课本104页练习 （五）归纳总结 整式乘法训练1 单项式乘单项式 【例1】如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为，七张桌子总面积为，则与的关系可以表示为 ． 【变式1-1】计算： 【变式1-2】规定“★”为一种新运算：．例如：．计算： 【变式1-3】如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等． （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【例2】已知，则 ， 【变式2-1】若，则求的值 ． 【变式2-2】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-3】已知单项式和的积与是同类项，求的值 ． 3.计算： ① ②（﹣xy2）•（2xy）3． ③（x2y）3•（﹣2xy2z）2． ④． ⑤（3a2b）2•（a2）4•（﹣b2）5． ⑥． ⑦ a2b•a2b3•（a2b2）2． ⑧（x3y）•（﹣3xy2）3•（x）2． ⑨﹣2x2yz•（xy2z）•（9xyz2）． ⑩（﹣5x2y3）2•（﹣2x4y2）3•（xy2）4． ⑩（3a）3•（an﹣1）2•（a2）2+n•（﹣a）2n﹣1． 16.2 整式的乘法（2） 【学习目标】 1.理解并掌握单项式乘以多项式的运算法则，会熟练地进行单项式与多项式相乘的计算. 2.经历探索单项式与多项式相乘的方法，体验单项式与多项式的乘法运算规律，通过用文字概括法则，提高学生的数学表达能力. 【学习重点】单项式乘以多项式的运算法则. 【学习难点】单项式的乘法法则的运用。 学习过程 （一）复习引入 计算下列各题，并说说你都运用了哪些运算律或运算法则? (1)6×()= ： (2) ； (3) = ： (4) = ； (5) = ； 提问：单项式乘以多项式如何进行计算呢? （二）合作探究 问题3　为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长为p m，宽为b m的长方形绿地，向两边分别加宽a m和c m，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？不同的表示方法之间有什么关系？ 追问1 你能根据乘法分配律得到这个等式吗？ 追问2 想一想如何计算单项式乘以多项式？ 归纳 单项式与多项式的乘法法则 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 ，再把 相加. （三）典例分析 例2计算： (1)(−4x2)(3x+1) ； (2)(ab2−2ab)·ab ； (3)(x−3y)(xy2)2 ； (4)x(y−z)−y(z−x)+z(x−y) . （四）巩固练习 1. 下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1)(−2x)(x2−x)=−2x3−2x2 ； (2)a(b−c)+b(c−a)+c(a−b)=0. 2. 计算： (1)3a(5a−2b) ； (2)−2xy(2xy2−3xy) ； (3)(x−3y)(−6x) ； (4)(−2ab)2(2a−b+1). 3. 化简 x(x−1)+2x(x+1)−3x(2x−5) . 4. 求值 x2(x−1)−x(x2+x−1)，其中x=. （5） 归纳总结 整式乘法训练2 单项式乘多项式 【例3】将连续的正整数1，2，3，…排成如表1所示的数表，并从中框出某些数字，例如表1中用的方框框出了8个数字．现在用如表2所示的的方框在表1中也框出一些数字，设第一行两数为a，b，最后一行两数为c，d，且，则n的值为（    ） A．405 B．406 C．407 D．410 【变式3-1】已知，，则 【变式3-2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【变式3-3】如图，正方形和长方形的面积相等，点E，F分别在边，上，过点D，连接，的面积为1．若记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【变式4-1】小郑用6个长为，宽为的小长方形按如图方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，其面积分别表示为，且．当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则应满足的关系是． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【变式4-3】已知两种商品A，B，商品成本价为元，提高后出售，商品亏本后售价为元． (1)用代数式表示商品A的售价_____元，商品B的成本价_____元， (2)若出售了件商品和件商品，则用代数式表示一共盈亏多少元（结果化简）？ (3)在（2）的条件下，说明，时的盈亏情况． 【例5】已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【变式5-1】已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 【变式5-2】若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【变式5-3】若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 6 计算： ①﹣3a•（a2﹣ab+2b2）． ②． ③9x（﹣2x2﹣xy+y2）（﹣xy）． ④（﹣2ab）2•（ab2﹣3aba）． ⑤． ⑥． ⑦ ⑧（x6y3x3y4xy5）•xy3 ⑨x2y（xn﹣1yn+1﹣xn﹣1yn﹣1+xnyn）． ⑩ 7.如果（﹣2x2+mx+1）•（﹣3x2）的展开式中不含x3项，则m的值是多少？ 16.2 整式的乘法（3） 【学习目标】 1.理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，能运用多项式与多项式相乘的法则进行计算。 2.理解算理，发展学生的运算能力和几何直观，体会转化、数形结合和程序化思想。 【学习重点】多项式与多项式相乘的法则的概括 【学习难点】多项式与多项式相乘的法则的运用 【学习过程】 （一）复习引入 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（  ） A．1 B． C． D． （二）合作探究 问题3　如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ 追问1 你能根据乘法分配律得到这个等式吗？ 追问2 想一想如何计算多项式乘以多项式？ 归纳 多项式与单项式的乘法法则： 一般地，多项式与多项式相乘，先用 ，再把 （三）典例分析 例1计算： (1) (a+3)(a−2) ； (2) (3x+1)(x+2) ； (3) (x−8y)(x−y) ； (4) (a+b)(a2−ab+b2) . （四）巩固练习 1. 计算： (1) (2x+1)(x+3) ； (2) (m+2n)(3n−m) . (3) (a−1)2 ； (4) (a+3b)(a−3b) . (5) (2x2−1)(x−4) ； (6) (x2+2x+3)(2x−5) . 2. 计算： (1) (x+2)(x+3) = (2) (x−4)(x+1) = (3) (x+4)(x−2) = (4) (x−5)(x−3) = 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： (x+p)(x+q) =( )2+( )x+( ). 3,先化简，再求值：(x−y)(x2+xy+y2)−(x+y)(x2−y2)，其中x=，y=5 . （五）归纳总结 整式乘法训练3 多项式乘多项式 1．计算： ①（x+5y）（2x﹣y）． ②（﹣7x2﹣8y2）•（﹣x2+3y2）； ③（2a﹣5b）•（3a2﹣2ab+b2）． ④（2p﹣3q）（p2+pq+q2）． ⑤（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）． ⑥（5xy）（25x2xyy2）． 【例2】将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是 【变式2-1】如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（   ）的值 A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是 【变式10-3】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为 【例3】若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【变式31】若，则 【变式3-2】若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 例4.若的展开式中不含项，求的值． 变式练习：小红准备计算题目：（x2▅x+2）（x2﹣x），发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数． 例5.若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【变式5-1】已知，则代数式的值为多少 【变式5-2】若，那么代数式. 【变式5-3】已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 6甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．求（a﹣b）（﹣2a﹣b）的值． 学科网（北京）股份有限公司 $