1.3　全等三角形的判定习题课件 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“全等三角形的判定——边角边(SAS)”，从全等三角形概念出发，通过教材变式题回顾内角和知识，结合平行线条件补充等例题，搭建从已知到新知的学习支架，帮助学生逐步掌握SAS判定方法。 其亮点在于融合学科特色与核心素养，含教材变式、中考真题及实际应用案例，如测量池塘距离问题培养数学眼光，蚂蚁爬行动态探究发展推理能力，规律探究题提升创新意识。学生能提升应用与思维能力，教师可高效开展分层教学。

第1章　三角形 1.3　全等三角形的判定 第2课时　基本事实“角边角(ASA)” 基本事实“角边角(ASA)” 1.【学科特色·教材变式】小明不小心把一块三角形的玻璃打 碎成了三块,如图,他想到玻璃店配一块大小、形状完全一样 的玻璃,则他应 ( ) A.带①去　    B.带②去     C     C.带③去　    D.带①和②去 解析　题图中玻璃③包括了两角和它们的夹边,根据三角形 全等的判定方法ASA可知,带③去能配一块大小、形状完全 一样的玻璃.故选C. 2.如图,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACF,AB=CE,则 与BC相等的线段是( )   A.AC　    B.AF　    C.CF　    D.EF     D     解析　　∵∠ACE=∠B+∠BAC=∠ACF+∠ECF,∠B=∠E= ∠ACF,∴∠BAC=∠ECF. 在△ABC和△CEF中,  ∴△ABC≌△CEF(ASA),∴BC=EF.故选D. 3.如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AC=DF,AC∥DF,∠C=∠F. 若AE=10,BD=2,则AB=_. 4 解析　∵AC∥DF,∴∠CAB=∠FDE, 在△ABC和△DEF中,  ∴△ABC≌△DEF(ASA),∴AB=DE,∵AE=10,BD=2, ∴AB= (AE-BD)= ×(10-2)=4. 4.如图,AB∥DE,且AB=DE,∠B=∠E,若AF=1,FD=4,则FC的长 是_. 3 解析　∵AB∥DE,∴∠A=∠D. 在△ABC与△DEF中,  ∴△ABC≌△DEF(ASA),∴AC=FD=4. ∵AF=1,∴FC=AC-AF=4-1=3.故答案为3. 5.(2024江苏扬州广陵月考)如图,为了测量池塘两岸的A,B两 点之间的距离,在B点同侧选取点C,经测量∠ACB=30°,然后在 BC的一侧找到一点D,使得BC为∠ABD的平分线,且∠DCB= 30°,若BD的长为8米,则池塘两岸的A,B两点之间的距离为_米. 8 解析　∵BC为∠ABD的平分线, ∴∠ABC=∠DBC, 在△ABC与△DBC中,  ∴△ABC≌△DBC(ASA),∴AB=BD=8米, 故池塘两岸的A,B两点之间的距离为8米.故答案为8. 6.(2023吉林中考)如图,点C在线段BD上,在△ABC和△DEC 中,∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E.求证:AC=DC. 证明　在△ABC和△DEC中,  ∴△ABC≌△DEC(ASA),∴AC=DC. 7.(2022湖南益阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,CD∥AB, DE⊥AC于点E,且CE=AB. 求证:△CED≌△ABC. 证明　∵DE⊥AC,∠B=90°,∴∠DEC=∠B=90°. ∵CD∥AB,∴∠A=∠DCE. 在△CED和△ABC中,  ∴△CED≌△ABC(ASA). 8.(2025江苏扬州江都期中)如图,在△ABC中,点O为BC的中 点,BD∥AC,直线OD交AC于点E. (1)求证:△BDO≌△CEO. (2)若AC=10,BD=4,求AE的长. 解析    (1)证明:∵点O为BC的中点,∴OC=OB, ∵BD∥AC,∴∠C=∠OBD, 在△BDO和△CEO中,  ∴△BDO≌△CEO(ASA). (2)∵△BDO≌△CEO,∴CE=BD=4, ∵AC=10,∴AE=AC-CE=6. 9.(2025江苏南通海安期中,★★☆)如图,在四边形ABCD中, BD平分∠ABC,CD⊥BD于点D,AC=10,BC-AB=4,则△ADC面 积的最大值为( )   A.6　　B.10　　C.12　　D.20     B     解析　如图,延长CD,BA交于点E,过点C作CH⊥BE于点H,   ∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠EBD, ∵CD⊥BD于点D, ∴∠BDC=∠BDE=90°, ∵BD=BD, ∴△BCD≌△BED(ASA), ∴BC=BE,DE=DC, ∴S△ADC= S△EAC, ∴当△EAC的面积最大时,△ACD的面积最大, ∵BC-AB=4,∴AE=BE-AB=BC-AB=4, ∵△EAC的面积= EA·CH,CH≤AC=10, ∴△EAC面积的最大值= ×4×10=20, ∴△ADC面积的最大值为 ×20=10.故选B. 10.(2024江苏连云港灌南月考,★★☆)如图,EB交AC于M,交 FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列 结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其 中正确的结论有________(填序号). ①②③ 解析　∵∠E=∠F=90°,∠B+∠BAE=90°,∠C+∠CAF=90°, 又∵∠B=∠C,∴∠BAE=∠CAF,∴∠1=∠2(①正确). ∵∠E=∠F=90°,AE=AF,∠BAE=∠CAF, ∴△ABE≌△ACF(ASA),∴AB=AC,BE=CF(②正确). ∵∠CAN=∠BAM,∠C=∠B,AC=AB, ∴△ACN≌△ABM(ASA)(③正确), 由题中所给的条件不能得出CD=DN(④不正确). ∴正确的结论有①②③. 11.(2025江苏苏州高新区一模,★★☆)如图,∠A=∠B,AE=BE, 点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O. (1)求证:△AEC≌△BED. (2)若∠1=38°,求∠BDE的度数. 解析    (1)证明:∵AE和BD相交于点O, ∴∠AOD=∠BOE. 在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∴∠BEO=∠2. 又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO, ∴∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中,  ∴△AEC≌△BED(ASA). (2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE. 在△EDC中,∵EC=ED,∠1=38°, ∴∠C=∠EDC= ×(180°-38°)=71°, ∴∠BDE=∠C=71°. 12.(2024北京八十中月考,★☆☆)如图,在四边形ABCD中, ∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD. 求证:△ABD≌△BCE. 证明　∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°. ∵∠ABC=90°,∴∠BAD=90°. ∵∠ABC=90°,BD⊥EC,∴∠BCE+∠CBD=90°,∠ABD+ ∠CBD=90°,∴∠ABD=∠BCE. 在△ABD和△BCE中,  ∴△ABD≌△BCE(ASA). 13.(2024江苏镇江丹徒月考,★★☆)如图,△ABC中,AB=AC, ∠BAC=90°,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长 线上,试探究线段BE和CD的数量关系,并证明你的结论. 解析    CD=2BE. 证明:如图,延长BE交CA的延长线于F. ∵BE⊥CD,∴∠CEF=∠CEB=90°, ∵CD平分∠ACB, ∴∠FCE=∠BCE. 在△CEF和△CEB中, ∴△CEF≌△CEB(ASA),∴FE=BE. ∵∠DAC=∠BAF=∠CEF=90°, ∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°, ∴∠ACD=∠ABF. 在△ACD和△ABF中, ∴△ACD≌△ABF(ASA), ∴CD=BF,∴CD=2BE. $第1章　三角形 1.3　全等三角形的判定 第4课时　基本事实“边边边(SSS)”  　基本事实“边边边(SSS)” 1.(2025江苏泰州海陵月考)如图,通过尺规作图得到∠A'O'B'= ∠AOB的依据是 ( ) A.SSS　　B.SAS　　C.ASA　　D.AAS     A     解析　由作法易得OD=O'D'=OC=O'C',CD=C'D', 在△COD和△C'O'D'中,  ∴△COD≌△C'O'D'(SSS),故选A. 2.如图,点A,D,B,E在同一条直线上,且AD=BE,已知AC=DF,BC =EF.若∠A=70°,∠E=60°,则∠C的度数为( ) A.30°　    B.40°　    C.50°　    D.60°     C     解析　∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB=DE, 在△ABC和△DEF中,  ∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠ABC=∠E=60°, 又∵∠A=70°,∴∠C=180°-70°-60°=50°.故选C. 3.【新考向·数学文化】(2025江苏镇江期中)如图1,油纸伞是 中国传统工艺品之一,起源于中国的一种纸制或布制伞.油纸 伞的制作工艺十分巧妙,如图2,伞圈D沿着伞柄AP滑动时,总 有伞骨BD=CD,AB=AC,从而证明△ADB≌△ADC,使得伞柄 AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC.其中证明 △ADB≌△ADC的依据是( )     A     A.SSS　　B.SAS　　C.ASA　　D.AAS 解析　在△ADB和△ADC中,  ∴△ADB≌△ADC(SSS), ∴证明△ADB≌△ADC的依据是SSS.故选A. 4.(2024江苏连云港灌云月考)如图,在△ABC和△FED中,AD= FC,AB=FE,当添加条件____________________时,就可得到 △ABC≌△FED.(填写一个你认为正确的条件) BC=ED(答案不唯一) 解析　答案不唯一.如添加条件BC=ED. ∵AD=FC,∴AD+DC=FC+DC,即AC=FD. 在△ABC和△FED中,  ∴△ABC≌△FED(SSS). 5.(2025江苏南京期中)如图,△DEF的3个顶点在小正方形的 顶点(格点)上,这样的三角形叫作格点三角形.若要在图中再 画1个格点三角形ABC,使△ABC≌△DEF,则这样的格点三角 形最多可以画_个. 7 解析　根据SSS判定两个三角形全等,可画出△ABC.如图. 6.(2023西藏中考)如图,已知AB=DE,AC=DC,CE=CB.求证:∠1 =∠2. 证明　在△ABC和△DEC中,  ∴△ABC≌△DEC(SSS),∴∠ACB=∠DCE, ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE,∴∠1=∠2. 7.(2025江苏南京秦淮月考)将△ABC和△DBE按如图所示的 方式摆放,连接DC.已知∠DBA=∠CBE,∠BDE=∠BAC,AC= DE=DC. (1)试说明△ABC≌△DBE. (2)若∠ACD=72°,求∠BED的度数. 解析    (1)证明:因为∠DBA=∠CBE, 所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE,即∠DBE=∠ABC. 在△ABC和△DBE中,  所以△ABC≌△DBE(AAS). (2)因为△ABC≌△DBE,所以BD=BA,∠BCA=∠BED. 在△DBC和△ABC中,  所以△DBC≌△ABC(SSS), 所以∠BCD=∠BCA= ∠ACD=36°, 所以∠BED=∠BCA=36°.  　三角形的稳定性 8.自行车的支架部分采用了三角形结构,是因为三角形具有___________. 稳定性     9.(2025江苏无锡江阴月考,★★☆)如图,已知AB=AC,BE=CE, BC与AE的交点为D,点P为AD上一点,下面四个结论:①BP= CP;②AD⊥BC;③AE平分∠BAC;④∠PBC=∠PCB.其中正确 结论的个数为 ( )   A.1　　B.2　　C.3　　D.4     D     解析　∵AB=AC,BE=CE,AE=AE, ∴△ABE≌△ACE(SSS), ∴∠BAE=∠CAE,即AE平分∠BAC,故③正确; ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SAS), ∴BD=CD,∠ADB=∠ADC, ∵∠ADB+∠ADC=180°, ∴∠ADB=∠ADC=90°,∴AD⊥BC,故②正确; ∵PD=PD,∠PDB=∠PDC=90°,BD=CD, ∴△PBD≌△PCD(SAS), ∴BP=CP,∠PBC=∠PCB,故①④正确. 综上,正确的结论共有4个.故选D. 10.【学科特色·手拉手模型】(2025河南信阳月考,★★☆)如 图,B,C,E三点在同一条直线上,且AB=AD,AC=AE,BC=DE,若 ∠1+∠2+∠3=94°,则∠3的度数为 ( ) A.49°　    B.47°　    C.45°　    D.43°     B     解析　在△ABC和△ADE中,  ∴△ABC≌△ADE(SSS),∴∠ABC=∠1,∠BAC=∠2.在△ABC 中,由三角形外角的性质,得∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2. ∵∠1+∠2+∠3=94°,∴2∠3=94°,∴∠3=47°.故选B. 11.(2024江苏南京玄武期中,★☆☆)如图,AB=AC,AB⊥CD,AC ⊥BE,垂足分别为D,E,则图中共有_对全等三角形.   4 解析　∵AB⊥CD,AC⊥BE,∴∠ADC=∠AEB=90°. 在△ADC与△AEB中,  ∴△ADC≌△AEB(AAS),∴AD=AE,∠B=∠C,DC=EB.∵AB= AC,AD=AE,∴BD=CE. ∵AB⊥CD,AC⊥BE,∴∠BDO=∠CEO=90°. 在△BDO与△CEO中,  ∴△BDO≌△CEO(ASA),∴OD=OE,OB=OC. 在△ADO与△AEO中,  ∴△ADO≌△AEO(SAS). 在△ABO与△ACO中,  ∴△ABO≌△ACO(SSS).综上所述,题图中共有4对全等三角 形.故答案为4. 12.【新课标·推理能力】(2025河北唐山期中)如图,在四边形 ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF,CE= CF,连接AC. (1)求证:AC平分∠DAB. (2)若AB=8,CD=6,求四边形ABCD的面积. (3)猜想∠DAB+∠ECF与∠DFC之间的数量关系,并证明你的猜想. 解析    (1)证明:在△ACE和△ACF中,  ∴△ACE≌△ACF(SSS),∴∠CAE=∠CAF, ∴AC平分∠DAB. (2)由(1)可得△ACE≌△ACF,∴∠AEC=∠AFC, ∴∠CEB=∠CFD, 在△BCE和△DCF中,  ∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,BC=DC=6, ∴AD=AF+DF=AE+BE=AB=8. ∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC= AB·BC+ AD·DC = ×8×6+ ×8×6=48. (3)∠DAB+∠ECF=2∠DFC. 证明:由(1)可得△ACE≌△ACF,∠CAE=∠CAF, ∴∠ACE=∠ACF,∴∠DAB+∠ECF=(∠CAE+∠CAF)+ (∠ACE+∠ACF)=2(∠CAF+∠ACF), ∵∠DFC=∠CAF+∠ACF, ∴∠DAB+∠ECF=2∠DFC. $第1章　三角形 1.3　全等三角形的判定 第3课时　推论“角角边(AAS)” 基本事实“角边角(ASA)”的推论“角角边(AAS)” 1.(2025江苏常州武进期中)如图,甲、乙、丙三个三角形中和 △ABC全等的是 ( ) A.甲、乙　    B.乙、丙     B     C.只有乙　    D.只有丙 解析　甲已知一角和角的对边不能确定一个三角形; 乙和△ABC符合全等三角形的判定方法SAS. 丙和△ABC符合全等三角形的判定方法AAS. 综上,乙、丙和△ABC全等,故选B. 2.如图,点B,C,D共线,AC=BE,AC⊥BE,∠ABC=∠D=90°,AB= 13,DE=6,则CD的长是 ( ) A.7　    B.8　    C.9　    D.10     A     解析　　∵AC⊥BE,∠ABC=∠D=90°,∴∠A+∠ABE= ∠ABE+∠EBD=90°,∴∠A=∠EBD. 在△ABC与△BDE中,  ∴△ABC≌△BDE(AAS),∴BC=DE=6,AB=BD=13, ∴CD=BD-BC=13-6=7.故选A. 3.(2025江苏宿迁宿城期中)如图,D,E是边BC上的两点,BD= CE,∠ADB=∠AEC,现要直接用“AAS”来证明△ABD≌ △ACE,请你再添加一个条件:___________________. ∠BAD=∠CAE 解析　在△ABD与△ACE中,  ∴△ABD≌△ACE(AAS). 故答案为∠BAD=∠CAE. 4.【学科特色·一线三等角模型】王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之 间刚好可以放进一个等腰直角三角尺(AC=BC,∠ACB=90°), 点C在DE上,点A和点B分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之 间的距离为__cm. 20 解析　根据题意,得AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°, ∵∠ACB=90°,∠ADC=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+ ∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC. 在△ADC和△CEB中,  ∴△ADC≌△CEB(AAS). ∴AD=EC=2×3=6(cm),DC=BE=2×7=14(cm), ∴DE=DC+CE=20 cm.故答案为20. 5.(2024江苏泰州泰兴期末)如图,点E在△ABC的边AC上,AE= BC,BC∥AD,∠CED=∠BAD.求证:△ABC≌△DEA. 证明　∵BC∥AD,∴∠DAE=∠C. ∵∠CED=∠BAD,∠CED=∠D+∠DAC,∠BAD=∠DAC+ ∠BAC,∴∠D=∠BAC. 在△ABC和△DEA中,  ∴△ABC≌△DEA(AAS). 6.【学科特色·拥抱型】(2024江苏镇江中考)如图,∠C=∠D= 90°,∠CBA=∠DAB. (1)求证:△ABC≌△BAD. (2)若∠DAB=70°,求∠CAB的度数. 解析    (1)证明:在△ABC和△BAD中,  ∴△ABC≌△BAD(AAS). (2)∵∠DAB=70°,∠D=90°,∴∠DBA=90°-70°=20°, 由(1)知△ABC≌△BAD, ∴∠CAB=∠DBA=20°. 7.(2024四川南充中考)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点, 过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E. (1)求证:△BDE≌△CDA. (2)若AD⊥BC,求证:BA=BE. 证明    (1)∵D为BC的中点,∴BD=CD. ∵BE∥AC,∴∠E=∠DAC,∠DBE=∠C. 在△BDE和△CDA中,  ∴△BDE≌△CDA(AAS). (2)∵△BDE≌△CDA,∴ED=AD. ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠EDB=90°, 易证△ABD≌△EBD(SAS),∴BA=BE. 8.(2023四川凉山州中考,★☆☆)如图,点E、点F在BC上,BE= CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE的是  ( ) A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC     D     C.AB=DC D.AF=DE 解析　∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE, 又∵∠B=∠C,∴当添加∠A=∠D时,利用“AAS”可得 △ABF≌△DCE,故A不符合题意; 当添加∠AFB=∠DEC时,利用“ASA”可得△ABF≌△DCE, 故B不符合题意; 当添加AB=DC时,利用“SAS”可得△ABF≌△DCE,故C不符 合题意;当添加AF=DE时,无法证明△ABF≌△DCE,故D符合 题意.故选D. 9.(2024江苏宿迁宿城期中,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AB ∥DC,E为BC的中点,连接DE,AE,AE⊥DE,延长DE交AB的延 长线于点F.若AB=5,CD=2,则AD的长为 ( ) A.5　    B.9　    C.7　    D.11     C     解析　∵E为BC的中点,∴BE=EC. ∵AB∥CD,∴∠F=∠CDE. 在△BEF与△CED中,  ∴△BEF≌△CED(AAS),∴EF=DE,BF=CD=2, ∴AF=AB+BF=7. ∵AE⊥DE,∴∠AED=∠AEF=90°,又∵AE=AE,EF=DE, ∴△AEF≌△AED,∴AF=AD=7.故选C. 10.【新课标·推理能力】(2024江苏淮安淮阴期中)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=7 cm,BC=3 cm,CD为AB边上的高,点E 从点B出发,在直线BC上以2 cm/s的速度朝固定方向匀速移动, 过点E作直线BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动_____s时, CF=AB. 2或5 解析　∵∠ACB=90°,∴∠A+∠CBD=90°. ∵CD为AB边上的高,∴∠CDB=90°,∴∠BCD+∠CBD=90°, ∴∠A=∠BCD.∵∠BCD=∠ECF,∴∠ECF=∠A, ∵EF⊥直线BC,∴∠CEF=90°=∠ACB. 在△CEF和△ACB中, , ∴△CEF≌△ACB(AAS),∴CE=AC=7 cm. ①如图,当点E在射线BC上移动时,BE=CE+BC=7+3=10(cm), ∵点E从点B出发,在直线BC上以2 cm/s的速度移动,∴点E移 动了10÷2=5(s). ②如图,当点E在射线CB上移动时,BE'=CE'-BC=7-3=4(cm). ∵点E从点B出发,在直线BC上以2 cm/s的速度移动,∴点E移 动了4÷2=2(s). 综上所述,当点E运动5 s或2 s时,CF=AB.故答案为2或5. 微专题　作垂直造全等 1.如图,∠C=90°,BE⊥AB且BE=AB,BD⊥BC且BD=BC,CB的延 长线交DE于点F.求证:点F是ED的中点. 证明　如图,过点E作EH⊥CF,交CF的延长线于H, ∵∠C=90°,BE⊥AB,EH⊥CF, ∴∠C=∠EBA=∠H=90°, ∴∠ABC+∠A=90°, ∠ABC+∠EBH=90°, ∴∠A=∠EBH. 在△ABC和△BEH中,  ∴△ABC≌△BEH(AAS), ∴EH=BC,又∵BC=BD,∴EH=BD. ∵BD⊥BC,∴∠DBF=90°, 在△HEF和△BDF中,  ∴△HEF≌△BDF(AAS),∴EF=DF, ∴点F是ED的中点. 2.如图,OC平分∠AOB,P是OC上任意一点,点M,N分别在OB和 OA上,连接PM和PN,若∠PMO+∠PNO=180°,求证:PM=PN. 证明　如图,过点P作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F, 则∠PEM=∠PFN=90°, ∵OC平分∠AOB, ∴∠EOP=∠FOP, 易证△OEP≌△OFP(AAS), ∴PE=PF, ∵∠PMO+∠PME=180°,∠PMO+∠PNO=180°, ∴∠PME=∠PNO, 在△PME和△PNF中,  ∴△PME≌△PNF(AAS),∴PM=PN. $第1章　三角形 1.3　全等三角形的判定 第1课时　基本事实“边角边(SAS)”  　基本事实“边角边(SAS)” 1.【学科特色·教材变式】如图,a,b,c分别表示△ABC的三边 长,下面三角形中与△ABC一定全等的是( )     C     A B C D 解析　在△ABC中,∠C=180°-∠A-∠B=72°,依据SAS可证 △ABC与选项C中的三角形全等.故选C. 2.(2025江苏南通启东月考)如图,已知AD∥BC,欲用“边角 边”证明△ABC≌△CDA,需补充条件 ( ) A.AB=CD　    B.∠B=∠D C.AD=CB　    D.∠BAC=∠DCA     C     解析　　添加的条件是AD=CB,理由:∵AD∥BC, ∴∠DAC=∠BCA,在△ABC和△CDA中,  ∴△ABC≌△CDA(SAS). 3.(2021江苏泰州中考)如图,P为AB上任意一点,分别以AP,PB 为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设∠CBE=α,则 ∠AFP为( ) A.2α　      B.90°-α C.45°+α　    D.90°- α     B     解析　∵四边形PBEF为正方形,∴∠PBE=90°,∵∠CBE=α, ∴∠PBC=90°-α,∵四边形APCD、PBEF是正方形,∴AP=CP, ∠APF=∠CPB=90°,PF=PB,在△APF和△CPB中,   ∴△APF≌△CPB(SAS),∴∠AFP=∠PBC=90°-α. 4.(2025江苏镇江期中)如图,已知∠1=∠2,添加条件________,可 以利用“SAS”证明△ADB≌△ADC. AB=AC 解析　∵∠1=∠2,AD=AD, ∴当添加AB=AC时,△ADB≌△ADC(SAS). 5.(2025江苏无锡锡山月考)如图,在△PAB中,∠A=∠B,M,N,K 分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=40°,则 ∠P的度数为____. 100° 解析　在△MAK和△KBN中,  ∴△MAK≌△KBN(SAS),∴∠BKN=∠AMK, ∵∠MKB是△MAK的外角,∴∠BKN+∠MKN=∠A+∠AMK, ∴∠A=∠MKN=40°,∴∠B=∠A=40°,∴∠P=180°-40°- 40°=100°,故答案为100°. 6.(2023广东广州中考)如图,B是AD的中点,BC∥DE,BC=DE. 求证:∠C=∠E. 证明　∵B是AD的中点,∴AB=BD. ∵BC∥DE,∴∠ABC=∠D. 在△ABC和△BDE中,  ∴△ABC≌△BDE(SAS),∴∠C=∠E. 7.【学科特色·教材变式】如图,为测量池塘两端的A,B两点间 的距离,小明设计了一种方案:先在平地上取一个点C,从点C 不经过池塘可以直接到达点A和B,连接AC并延长到点D,使 CD=CA,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE. (1)根据小明的设计方案画出示意图. (2)请说明DE的长就是A,B两点间的距离. 解析    (1)示意图如图所示. (2)在△ACB与△DCE中,  ∴△ACB≌△DCE(SAS), ∴AB=DE.故DE的长就是A,B两点间的距离. 8.(2025江苏南通崇川期中)如图,在△ABC和△CED中,AB= CE,∠B=∠E,BC=ED. (1)求证:AB∥CD. (2)若AB=5,AE=2,求CD的长. 解析    (1)证明:在△ABC和△CED中,  ∴△ABC≌△CED(SAS),∴∠CAB=∠DCE,∴AB∥CD. (2)∵△ABC≌△CED,∴CE=AB=5,CD=AC, ∵AE=2,∴CD=AC=CE-AE=5-2=3. 9.(2025江苏连云港实验中学月考,★★☆)如图,已知AB=AC, AD为∠BAC的平分线,D,E,F,…为∠BAC的平分线上的若干 点.如图1,连接BD,CD,图中有1对全等三角形.如图2,连接BD, CD,BE,CE,图中有3对全等三角形.如图3,连接BD,CD,BE,CE, BF,CF,图中有6对全等三角形,……依此规律,第2 025个图形 中全等三角形的对数是 ( )     B     A.2 049 300　    B.2 051 325 C.2 068 224　    D.2 084 520 解析　如题图1,△ABD≌△ACD,共有 =1对全等三角形;如 题图2,△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△BDE≌△CDE,共 有 =3对全等三角形; 如题图3,△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△BDE≌△CDE, △BEF≌△CEF,△BDF≌△CDF, △ABF≌△ACF,共有 =6对全等三角形, 由此发现规律:第n个图形中,全等三角形有 对, ∴第2 025个图形中有 =2 051 325对全等三角形, 故选B. 10.(2024江苏盐城阜宁期中,★☆☆)如图,已知∠C=∠D,CE= DE,BC=AD,A,E,B三点在同一条直线上.下列结论:①∠A=∠B; ②E是AB的中点;③∠AEC=∠BED;④AD⊥BC.其中正确的有  ( ) A.1个　    B.2个　    C.3个　    D.4个     C     解析　在△EAD和△EBC中,  ∴△EAD≌△EBC(SAS),∴∠A=∠B,AE=BE,∠AED=∠BEC, ∴∠AEC=∠BED,故①②③正确;∵∠A+∠B不一定等于90°, ∴AD与BC不一定垂直,故④不正确.故选C. 11.(2025江苏扬州月考,★★☆)如图,在等边三角形ABC中,顶 点A,C处各有一只蚂蚁,它们同时出发,分别以同样的速度由A 向B和由C向A爬行,经过t秒后,它们分别到达D,E处,请问两只 蚂蚁在爬行过程中, (1)CD与BE有何数量关系,为什么? (2)DC与BE相交所成的∠BFC的大小是否发生变化?若有变 化,请说明理由;若没有变化,求出∠BFC的大小. 解析    (1)CD=BE. 理由:∵两只蚂蚁同时出发,速度相同,∴AD=CE, ∵△ABC是等边三角形, ∴AC=BC,∠A=∠BCE=60°, 在△ACD和△CBE中,  ∴△ACD≌△CBE(SAS),∴CD=BE. (2)∠BFC大小不会发生变化. ∵△ACD≌△CBE,∴∠DCA=∠EBC, 又∵∠DCA+∠DCB=60°,∴∠EBC+∠DCB=60°, ∴∠BFC=180°-60°=120°. 12.【新课标·推理能力】(2025江苏南京玄武期中)在△ABC 中,AB=AC,点D是射线CB上一动点(不与点B,C重合),以AD为 边在其右侧作△ADE,使得AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)如图1,点D在线段CB上, 求证:△ABD≌△ACE. (2)设∠BAC=α,∠DCE=β.当点D在 射线CB上移动时,探究α与β之间的 数量关系,并说明理由. 解析    (1)证明:∵∠DAE=∠BAC, ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中,  ∴△ABD≌△ACE(SAS). (2)当点D在射线CB上移动时,α与β之间的数量关系是α+β= 180°或α=β,理由如下: ①当点D在线段CB上时, 由(1)可知△ABD≌△ACE(SAS),∴∠B=∠ACE, ∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB, ∵在△ABC中,∠BAC+∠B+∠ACB=180°. ∴∠BAC+∠DCE=180°,即α+β=180°. ②当点D在CB的延长线上时,如题图2, 同理可证:△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE, ∵∠ABD=∠ACB+∠BAC,∠ACE=∠ACB+∠DCE, ∴∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠DCE, ∴∠BAC=∠DCE,即α=β. $第1章　三角形 1.3　全等三角形的判定 第5课时　全等三角形判定方法的灵活选用 1.(2025江苏徐州泉山期末)如图,BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C =62°,∠BDE=75°,则∠AFD的度数等于 ( ) A.30°　    B.32°　    C.33°　    D.35°     B     解析　 在△BDE和△CBA中,  ∴△BDE≌△CBA(SAS),∴∠CBA=∠BDE=75°, 又∵∠C=62°,∴∠A=180°-75°-62°=43°, ∴∠AFD=∠BDE-∠A=75°-43°=32°. 2.(2025江苏南京江宁期中)如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE 于点E,AD⊥CE于点D,AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,则BE的长为  ( ) A.0.8 cm　    B.1 cm　    C.1.5 cm　    D.4.2 cm     A     解析　　∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+ ∠BCE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°,∴∠EBC =∠DCA.在△CEB和△ADC中,  ∴△CEB≌△ADC(AAS),∴BE=CD,CE=AD=2.5 cm. ∵CD=CE-DE,DE=1.7 cm, ∴CD=2.5-1.7=0.8(cm),∴BE=0.8 cm. 3.(2025江苏无锡宜兴期中)如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的 延长线交BC于点E,若∠EAC=48°,则∠BAE的度数为___. 84° 解析　∵CA平分∠DCB,∴∠BCA=∠DCA. 在△ABC和△ADC中,  ∴△ABC≌△ADC(SAS), ∴∠B=∠D.∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD. ∵∠EAC=∠D+∠ACD=48°, ∴∠B+∠ACB=48°, ∴∠BAE=180°-(∠B+∠ACB)-∠EAC=180°-48°-48°=84°. 4.【学科特色·拥抱型】如图,点E,F在线段BC上,∠A=∠D,∠B =∠C,BE=CF,AF与DE交于点M.若AM=DM,求证:ME=MF. 证明　∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE, 在△ABF和△DCE中,  ∴△ABF≌△DCE(AAS),∴AF=DE. ∵AM=DM, ∴AF-AM=DE-DM, ∴ME=MF. 5.(2023陕西中考)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°.过点A 作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点D,使AD=AC.在边AC上截取 AF=AB,连接DF.求证:DF=CB. 证明　在△ABC 中,∵∠B=50°,∠C=20°,∴∠CAB=180°- ∠B-∠C=110°.∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°.∴∠DAF=∠AEC+ ∠C=110°,∴∠DAF=∠CAB. 在△DAF和△CAB中,  ∴△DAF≌△CAB(SAS),∴DF=CB. 归纳总结 证明线段相等往往可以通过证明三角形全等后得到.证明两 个三角形全等,必须具备全等的条件,本题首先要证得∠DAF 与∠CAB相等,再利用SAS证明△DAF≌△CAB,可得DF=CB. 6.(2025江苏南京鼓楼期末,★★☆)如图,△ABC的面积为15 cm2, BP平分∠ABC,过点A作AP⊥BP于点P,连接PC,则△PBC的面积为___cm2. 7.5 解析    如图,延长AP交BC于点E,∵BP平分∠ABC, ∴∠ABP=∠EBP.∵AP⊥BP,∴∠APB=∠EPB=90°. 在△ABP和△EBP中,  ∴△ABP≌△EBP(ASA),∴AP=PE,∴S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP, ∴S△PBC=S△EBP+S△ECP= S△ABC= ×15=7.5(cm2). $第1章　三角形 1.3　全等三角形的判定 第6课时　“斜边、直角边(HL)” 斜边、直角边定理(HL) 1.下列选项中,不能判定两个直角三角形全等的是( ) A.斜边和一直角边分别相等 B.两个锐角分别相等 C.一锐角和斜边分别相等 D.两条直角边分别相等     B     解析    A选项,符合斜边、直角边定理,可以判定两个直角三 角形全等,故不符合题意; B选项,全等三角形的判定必须有边参与,只有角不能判定两 个直角三角形全等,故符合题意; C选项,符合AAS,可以判定两个直角三角形全等,故不符合题意; D选项,符合SAS,可以判定两个直角三角形全等,故不符合题 意.故选B. 2.(2025江苏苏州期中)如图,∠ACB=90°,AC=BC,AE⊥CD于点 E,BD⊥CD于点D,AE=5 cm,CE=BD=2 cm,则DE的长是( )   A.8 cm　　B.5 cm　　C.3 cm　　D.2 cm     C 解析　　∵AE⊥CD,BD⊥CD, ∴∠AEC=∠CDB=90°, 在Rt△AEC和Rt△CDB中,  ∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL),∴CD=AE=5 cm, ∴DE=CD-CE=5-2=3(cm). 3.(2025江苏泰州靖江期中)如图,AD是△ABC的高,AD=BD, ∠DAB=∠DBA,BE=AC,∠BAC=70°,则∠DBE的度数为_____.     25°     解析　∵AD是△ABC的高, ∴∠ADB=∠ADC=90°, 在Rt△BDE和Rt△ADC中,  ∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL), ∴∠DBE=∠DAC, 在Rt△ADB中,∠ADC=90°, ∴∠DAB=∠DBA=45°, ∵∠BAC=70°, ∴∠DAC=70°-45°=25°, ∴∠DBE=∠DAC=25°, 故答案为25°. 4.【学科特色·教材变式】如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE ⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F.求证:CE=DF. 证明　∵AC⊥BC,AD⊥BD, ∴∠ACB=∠BDA=90°. 在Rt△ABC和Rt△BAD中,  ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL), ∴S△ABC=S△BAD. ∵CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F, ∴ AB·CE= AB·DF, ∴CE=DF. 5.(2025江苏宿迁沭阳月考,★★☆)如图,AB⊥DB,AC⊥EC,垂 足分别为B,C,AD=AE,AC=AB,BD与CE交于点F,连接AF,则图 中共有__对全等三角形. 5 解析　题图中全等三角形共有5对, 分别是Rt△ADB≌Rt△AEC(HL), Rt△AFC≌Rt△AFB(HL),△DCF≌△EBF(SAS), △ADC≌△AEB(SSS),△AFD≌△AFE(SSS). 6.(2025江苏徐州泉山期中,★★☆)如图,DE⊥AB交AB的延长 线于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD,BE=CF. (1)求证:DE=DF. (2)已知AC=20,BE=4,求AB的长. 解析    (1)证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠E=∠DFC=90°, 在Rt△BED和Rt△CFD中,BD=CD,BE=CF, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴DE=DF. (2)在Rt△ADE和Rt△ADF中,AD=AD,DE=DF, ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), ∵Rt△ADE≌Rt△ADF,Rt△BED≌Rt△CFD, ∴AE=AF,CF=BE=4,∵AC=20,∴AE=AF=20-4=16, ∴AB=AE-BE=16-4=12. 7.【学科特色·三垂直模型】(2024江苏泰州兴化期末,★★☆) 如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D, CE⊥DE于点E. (1)若B,C在DE的同侧(如图1所示)且AD=CE,求证:AB⊥AC. 图1 (2)若B,C在DE的两侧(如图2所示),且AD=CE,其他条件不变, AB与AC是否仍然垂直?若是,请给出证明;若不是,请说明理由. 解析    (1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE, ∴∠ADB=∠AEC=90°. 在Rt△ABD和Rt△CAE中,  ∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), ∴∠DBA=∠EAC. ∵∠DAB+∠DBA=90°, ∴∠BAD+∠CAE=90°, ∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°, ∴AB⊥AC. (2)是.证明:同(1)可证Rt△ABD≌Rt△CAE, ∴∠DAB=∠ECA. ∵∠CAE+∠ECA=90°, ∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°, ∴AB⊥AC. 8.【新课标·推理能力】(2024甘肃天水一模)将两个全等的直 角三角形ABC和直角三角形DBE按图1中的方式摆放,其中 ∠ACB=∠DEB=90°,∠ABC=∠DBE=60°,点E落在AB上, DE所在直线交AC所在直线于点F. (1)求证:EF=FC. (2)如图2,若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α,且0° <α<60°,其他条件不变,证明:AF+EF=DE. (3)如图3,若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β,且60° <β<180°,其他条件不变,你认为(2)中的结论还成立吗?若成 立,写出证明过程:若不成立,请直接写出此时AF,EF与DE之间 的数量关系. 解析    (1)证明:如图1,连接BF, ∵△ABC≌△DBE,∴BC=BE, ∵∠ACB=∠DEB=90°, ∴∠BEF=∠ACB=90°, 在Rt△BCF和Rt△BEF中,  ∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),∴CF=EF.     (2)证明:如图2,连接BF, ∵△ABC≌△DBE,∴BC=BE,AC=DE, ∵∠ACB=∠DEB=90°,∴∠ACB=∠BEF=90°, 在Rt△BCF和Rt△BEF中,  ∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),∴EF=CF, ∴AF+EF=AF+CF=AC=DE. (3)不成立,AF=DE+EF. 详解:如图3,连接BF, ∵△ABC≌△DBE,∴BC=BE,AC=DE, ∵∠ACB=∠DEB=90°,∴∠BCF=∠DEB=90°, ∴△BCF和△BEF是直角三角形, 在Rt△BCF和Rt△BEF中,  ∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),∴CF=EF, ∴AF=AC+FC=DE+EF. 微专题　添加适当的条件说明两个三角形全等 1.(2023四川甘孜州中考)如图,AB与CD相交于点O,AC∥BD, 只添加一个条件,能判定△AOC≌△BOD的是 ( ) A.∠A=∠D　　　　　    B.AO=BO C.AC=BO　     D.AB=CD     B     解析　由AC∥BD可得∠A=∠B,∠C=∠D,可添加AO=BO,利 用AAS证明△AOC≌△BOD.故选B. 2.(2024江苏南京鼓楼期中)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D, 要使△ABC≌△CDA,可添加下列选项中的 ( ) A.AB=CD　    B.AD=BC C.AB∥CD　    D.∠B=∠CAB     C     解析　    由题意得∠B=∠D,AC=CA,添加AB∥CD,得出 ∠BAC=∠DCA,利用AAS证明△ABC≌△CDA故选C. $