精品解析：吉林省长春市养正高级中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

长春市养正高级中学2025－2026学年度上学期高二期中考试 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A B. C. D. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 方程所表示图形是（ ） A. 一个圆 B. 一个半圆 C. 两个圆 D. 两个半圆 8. 设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，部分答对得3分，共18分） 9. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 在轴上截距为 C. 原点到距离为1 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. C. 直线的方程为（为椭圆的半焦距） D. 的面积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知圆的方程是，则这个圆的半径是____________. 13. 已知点在以为圆心，半径为6的圆上，，若点在线段上且满足点到，两点的距离相等，则点的轨迹方程为______. 14. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为______． 四、解答题（5个小题，共77分） 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边的垂直平分线的方程； 16. 已知圆C方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 17. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 18. 已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． （1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）设点是上第一象限内的点，，求x的值． 19. 已知在平面直角坐标系内，三角形的两个顶点，，且三角形的周长为. （1）求平面内动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市养正高级中学2025－2026学年度上学期高二期中考试 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】设两平行线间的距离为，则. 故选：B 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程各参数的意义求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以. 解得. 故选： 3. 记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点坐标即可求解，进而根据渐近线方程求解. 【详解】由于为双曲线的右焦点，故，所以， 故渐近线方程为， 故选：B 4. 已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对圆方程进行变形，列出方程组，解方程组即可得到动圆恒过的两个定点，最后使用两点间距离公式解出定弦长. 【详解】由可得， 令，解得或， 故动圆恒过两个定点， 故定弦长为. 故选：A 5. 已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】代入焦点横坐标，可得到点坐标，代入条件即得答案. 【详解】将 代入椭圆方程得， 整理得， 由 ，得 ，代入上式， ， 因此，点 和 的坐标分别为 和 ， 弦长 为， 由已知 ，有， ， 离心率 ，其中 ，代入 ， 因此：. 故选：B 6. 已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据通径的性质以及等边三角形的性质即可求解. 【详解】由于是等边三角形，故, 由于通径长，所以 ， 故，进而，故，即， 故， 故选：D 7. 方程所表示的图形是（ ） A. 一个圆 B. 一个半圆 C. 两个圆 D. 两个半圆 【答案】D 【解析】 【分析】根据和，平方化简可得圆的方程，即可求解. 【详解】由于，故或， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的右半圆， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的左半圆， 故选：D 8. 设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，求得，根据椭圆的离心率为，求得，再由斜率公式，化简得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 设，由，可得， 因为椭圆的离心率为，可得，解得， 又因为，可得. 故选：C. 二、多选题（每题6分，部分答对得3分，共18分） 9. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 在轴上的截距为 C. 原点到的距离为1 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用直线的倾斜角与斜率的关系求解；选项B，利用直线的截距求解即；选项C，利用点到直线的距离公式求解；选项D，利用直线与坐标轴的围成面积求解即可. 【详解】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确； 选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确； 选项C：原点到的距离为，故选项C正确； 选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. C. 直线的方程为（为椭圆的半焦距） D. 的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用垂直以及椭圆定义得出为等腰直角三角形，即可判断ABC选项；设，再利用椭圆定义求出，在中由勾股定理可得，再利用三角形的面积公式即可. 【详解】因，则， 又，且， 则为等腰直角三角形，且，， 在中得，故，则A正确； 由对称性可知，直线斜率，则直线的方程为，故B，C正确； 设，则， 则在中，由勾股定理得，得， 则的面积为，故D错误. 故选：ABC 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知圆的方程是，则这个圆的半径是____________. 【答案】3 【解析】 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出圆半径. 【详解】圆的方程化为：， 所以圆的半径为3. 故答案为：3 13. 已知点在以为圆心，半径为6的圆上，，若点在线段上且满足点到，两点的距离相等，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何关系和椭圆的定义可知点的轨迹为以定点，为焦点的椭圆，即可求解轨迹方程. 【详解】由题意，可作图如下， 因为点到，两点的距离相等，即， 所以， 则点的轨迹为以定点，为焦点的椭圆， 其中，，解得，故其轨迹方程为. 故答案为： 14. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据双曲线C的，得左、右顶点、的坐标，设点P的坐标，列方程组求解即可. 【详解】由双曲线C的方程：，得，所以. 设点，则，化简得：， 即，解得：（增根已舍去），所以. 所以P到x轴的距离为. 故答案为：. 四、解答题（5个小题，共77分） 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边的垂直平分线的方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两点的坐标，运用两点式求边所在直线的方程； （2）先根据两点的坐标，求出边所在直线的斜率，再求出边中点的坐标，利用垂直关系求出斜率，最后利用点斜式求出边的垂直平分线的方程． 【小问1详解】 ，，由两点式方程公式得，整理得， 边所在直线方程为：，即． 【小问2详解】 ，由斜率公式得， 设边中点为，则，线段的中点为， 设过点且垂直于直线的直线为，l的斜率为，则即为边的垂直平分线， ，解得， 直线的方程为，一般式为：． 边的垂直平分线的方程为：． 16. 已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【小问1详解】 由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 17. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 18. 已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． （1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）设点是上第一象限内的点，，求x的值． 【答案】（1）顶点坐标为，；焦点坐标，；离心率为；渐近线方程 （2） 【解析】 【分析】（1）先把双曲线方程变形为标准方程，可得，根据曲双曲线的性质得到顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）根据题中向量的数量积公式列等式，解得x的值. 【小问1详解】 由题意得， 可得，，， 故顶点坐标为，，焦点坐标，， 离心率为，渐近线为； 【小问2详解】 设，则， 点Q在第一象限，，且，， ， 解得， ． 19. 已知在平面直角坐标系内，三角形的两个顶点，，且三角形的周长为. （1）求平面内动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题设得到结合椭圆定义即可求解； （2）设直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理结合和数量积定义求出参数m即可得解. 【小问1详解】 由题意知，，， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（去掉长轴的两个端点）， 所以，，， ，动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 椭圆（去掉长轴的两个端点）的右焦点为， 当时，,则，此时或，此时不满足， 故过点的直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为， 代入方程中，消去得. 设，，则，， ，即，，， 则 ， 解得， 所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $