3.1.3 简单的分段函数 课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学课件聚焦简单的分段函数，涵盖定义、求值、作图及实际应用。通过回顾狄利克雷函数导入新课，衔接上节课内容，构建从具体实例到抽象概念的学习支架，帮助学生逐步理解分段函数的本质。 其亮点在于结合电费计费、俱乐部收费等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过绝对值函数、多层分段函数例题，训练分类讨论的数学思维，提升推理能力。课堂练习分层设计，方法提炼结构化，学生能夯实基础，教师可高效教学，助力学生形成应用意识和创新意识。

3.1.3 简单的分段函数 作者编号：32006 学习目标 1.通过具体实例,了解简单的分段函数. 2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象. 3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题. 作者编号：32006 导入新课 上节课，我们在介绍其它方法表示函数时，知道了狄利克雷函数：当为有理数时，,否则.像这种自变量取不同范围，有不同解析式的函数，是什么函数呢？ 你还见过哪些这种函数？ 作者编号：32006 例题解析 例1 为推进生态优先、节约集约 、绿色低碳发展,推动形成绿色低碳的生产方式和生活方式,某地采用分段计费的方法计算用户的电费:每月用电量不超过100kwh,按0.57元/(kwh)计费；每月用电量超过100kwh,其中100kwh仍按原标准收费,超过部分按1.5元/(kwh)计费. (1)设月用电kwh,应交电费元,写出关于的函数解析式. (2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表:   月 份 1 2 3 合 计 计费金额/元 114 75 45.6 234.6 问:小赵家第一季度共用电多少? 分几部分计算？ 作者编号：32006 例题解析 解：（1）当0≤≤100时,月电费=月用电量×标准电价,可得； 当>100时,月电费=100kWh的电费+超过100kWh部分的电费，可得 所以 （2）由（1）可知,当电费不超过57元时,说明月用电量不超过100kWh；当电费超过57元时，说明月用电量超过100kWh.因此,用电量应使用函数的不同关系式来计算． 作者编号：32006 因为1月份、2月份电费超过57元,所以按第二个函数关系式计算,即,,分别计算出1月份用电138kwh,2月份用电112kwh；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，有0.57=45.6,算出3月份用电80kwh.因此,小赵家第一季度共用电330kwh. 例题解析 作者编号：32006 新课学习 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数. 思考 1.分段函数是几个函数？ 2.分段函数怎么求函数值？ 作者编号：32006 （1）分段函数是一个函数而不是几个函数.解决分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系. 新课学习 （3）分段函数在书写时要用“{”把各段函数合并写成一个函数的形式，并且指明各段函数自变量的取值范围. （2）作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象. 作者编号：32006 例2 画出函数的图象,并求的值. 例题解析 解：因为 =3， 怎么去绝对值 ， 0 所以函数的图象为过原点且平分第一、第二象限的一条折线，如图所示 先画后裁再组合 作者编号：32006 例题解析 解:为了去掉绝对值符号，需分段讨论： 当时， 当-1≤≤2时，； 当＞2时， 例3 画出函数的图象. 怎么去绝对值 -1 2 -1≤≤2 ＞2 分类讨论的思想 ∴= 作者编号：32006 分段画出的图象. 3 -1 2 先画后裁再组合 作分段函数的图象，一段一段地按表达式画是基本方法．本例可更简单：因为和不论在哪一段中,去掉绝对值符号后所得的都是一次函数，其和(或差)是一次函数或常数函数,图象都是直线,每段都是线段或射线,要作出其图象,只要在每段上取两个点就够了,为了简单,尽可能取分段点.绝对值函数的分段点,就是绝对值符号中的量为0的点,所以的分段点在和之处.为了画出第一段和第三段的射线,再取和这样,即使不去掉绝对值符号,也能画图. 作者编号：32006 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 方法提炼 分段函数图象的画法 作者编号：32006 课堂练习 1.判断正误： （1）分段函数由几个函数构成.（ ） （2）分段函数有多个定义域.（ ） （3）函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( ) （4）函数可以用分段函数表示.( ) × × × √ 2.函数的定义域为_________________________, 值域为________________________. (-∞,0)∪(0,+∞) {-2}∪(0,+∞) 作者编号：32006 课堂练习 3.已知函数=, (1)求，，的值； 解：(1)由-5(-∞,-2]，(-2,2)，, 知 ∴== . ∵=,且-2＜＜2. 思考 自变量属于哪个区间？代入哪个解析式？ 作者编号：32006 (2)若求实数的值； 课堂练习 在哪个区间？ 分类讨论 要不重不漏 解：①当≤-2时，+1=3，即=2＞-2，不合题意，舍去； ②当-2＜＜-2时，，即=1或=-3.1(-2,2) ∴=1符合题意. ③当≥2时，1=3，即=2符合题意. 综上可得：当时，=1或=2. 作者编号：32006 (3)若＞2,求的取值范围. 课堂练习 ①当≤-2时,＞2可化为＞2,即＜1，所以≤-2； ②当-2＜＜2时，＞2可化为＞2,即， 所以-2＜＜0，或0＜＜2； ③当≥2时,＞2可化为＞2,则 综上可得，的取值是(-∞，0)∪(0,2). 作者编号：32006 (1)分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求得． (2)含有多层“”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时,应在各段中分别求解． 1.分段函数求值 方法提炼 2.解分段函数不等式 要注意分类讨论，分类标准是分段函数的分段区间．先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，最后取并集即可． 作者编号：32006 课堂练习 4.已知函数的图象如图所示,求的解析式. 解：由题图可知，图象由两条线段组成， 线段 ①当-1≤＜0时，设, 将（-1,0）,（0,1）代入解析式,则 ∴ ②当0≤≤1时,设，将（1，-1）代入，则=-1. ∴ 作者编号：32006 方法提炼 由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 定类型 设函数式 列方程(组) 下结论 根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型 设出函数解析式 根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式 最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围 作者编号：32006 课堂练习 5.某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家俱乐部的设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元,某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时. (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动小时的收费为元(12≤≤30),在B俱乐部租一块场地开展活动小时的收费为g()元(12≤≤30),试求与g()的解析式； (2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？ 作者编号：32006 课堂练习 解：（1）由题意得 （2）①当时，令=90，解得=15. 即当＜15时，＜；当=15时， 当≤20时，＞. ②当≤30时，＞. 综上，当12＜15时，选A俱乐部划算；当=15时，两家俱乐部一样合算；当≤20时，选B俱乐部合算. 作者编号：32006 课堂总结 分段函数 定义域 值域 图象 实际应用 每段上自变量取值范围的并集 每段因变量取值范围的并集 先画后裁再组合 求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理 作者编号：32006 在前面，我们介绍了f(x）=|x|是一个分段函数（|x|也写作abs（x），在数学里，还有几个很常用的分段函数，例如，常用[x]表示不大于x的最大整数，如[4]一4，[4.1]=4，[-3.14]=-4等，[x]叫作整数部分函数．对应地，{x}=x-[x]叫作小数部分函数，例如{4}=0，{4.1}=0.1，{一3.14}=0.86等.还有一个符号函数sgn(x)，当x>0时，sgn(x)=l；当x=0时，sgn(x)=0；当x<0时，sgn(x)=-1. 多知道一点 常用的分段函数 作者编号：32006 $