精品解析：云南省昆明市第三中学2025--2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

昆明市第三中学初2027届初二年级上学期期中考试 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共15小题，每小题2分；共30分． 1. 在以下四个标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 周长相等的两个三角形一定全等 B. 全等的两个三角形周长一定相等 C. 任意两个三角形一定不全等 D. 等边三角形一定全等 8. 如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　） A. 10 B. 16 C. 8 D. 5 9. 如果等腰三角形的其中一个角为，那么它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 小王做了4道题：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 1道 B. 2道 C. 3道 D. 4道 11. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A. B. C. D. 12. 如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 14. 如图，从边长为的正方形纸片中前去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形（不重叠、无缝隙），则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 二、填空题：本大题共4个小题，每小题2分，共8分． 16. 已知直角坐标系中点和点关于轴对称，则____________． 17. 如图，，若，，则的长度是___________． 18. 若是某个整式的平方，则________． 19. 如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则________ ． 三、解答题：本大题共8个小题，共62分． 20. 计算： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 已知：如图，在同一直线上，，，，求证：． 23. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 24. 已知点，． （1）若点M、N关于x轴对称，试求a，b的值； （2）若点M、N关于y轴对称，试求． 25. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）若是的中线，求证：是的中点． 26. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． （1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式___________； （2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为___________； （3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，可得的值为___________； （4）如图3，两个正方形的边长分别为a、b，若，，求阴影部分的面积？ 27. 为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． （1）如图1，作，求证：； （2）在图2中，连接交于M，若，，求的值． （3）如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学初2027届初二年级上学期期中考试 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共15小题，每小题2分；共30分． 1. 在以下四个标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟知定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C. 是轴对称图形，故本选项正确； D. 不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：C． 2. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果．找准对应角是解题的关键． 【详解】解：由图可知，为边长为的对角， ∵两个三角形全等， ∴； 故选D． 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据整式的运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A． ，故本选项不符合题意； B． ，故本选项不符合题意； C．不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D． ，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图的原理可证明求解． 本题考查了作图—基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 在和中， ， ∴ ∴， 故选：A． 5. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 【解析过程简要分析】根据平方差公式的结构特征，逐一分析各选项的两个二项式是否满足 “一项相同，一项互为相反数”，判断能否用平方差公式计算。 【详解】解：A、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，能用平方差公式进行计算，符合题意； C、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 周长相等的两个三角形一定全等 B. 全等的两个三角形周长一定相等 C. 任意两个三角形一定不全等 D. 等边三角形一定全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只有三边长都相等的两个三角形全等（或满足其他全等条件），据此可判断A、C、D，根据全等三角形对应边相等即可判断B． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，例如一个三角形的三边长为，另一个三角形的三边长为，但是这两个三角形不全等，原说法错误，不符合题意； B、全等的两个三角形周长一定相等，原说法正确，符合题意； C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　） A. 10 B. 16 C. 8 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】证明，则，，由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 由题意知，， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 9. 如果等腰三角形的其中一个角为，那么它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分角为顶角和底角两种情况解答即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当角为顶角时，底角为； 当为底角时，底角为； ∴底角为或， 故选：． 10. 小王做了4道题：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 1道 B. 2道 C. 3道 D. 4道 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简，完全平方公式，平方差公式等知识点，解决此题的关键是正确的计算；根据相关知识点一步步计算，分别判断即可得到答案； 【详解】解：①和不是同类项无法合并，故①错误； ②根据积的乘方可知：，故②正确； ③由平方差公式可得：，故③错误； ④由完全平方公式可得：，整式化简可得：，故④错误； 共1个正确， 故选：A． 11. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点在的平分线上，点到边的距离等于5， ∴点到的距离为5， ∵点是边上的任意一点， ∴． 故选：B． 12. 如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到花园的长为，宽为，根据公式计算即可． 本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，正确列式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得花园的长为，宽为， 故面积为． 故选：D． 13. 如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质． 先由是等边三角形，推出，由此可以证明是等边三角形．接着在中，由“所对的直角边等于斜边的一半”求出，再用证明，得到，最后即可求出的周长． 【详解】解：， ， 是等边三角形， ，， ， ∵， ， 同理：， 是等边三角形． ． 在中，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 的周长为． 故选：B． 14. 如图，从边长为的正方形纸片中前去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形（不重叠、无缝隙），则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景和多项式乘多项式，先根据正方形的面积公式进行列式，再进行计算即可． 【详解】解：由题可知，矩形的面积为： ． 故选：B． 15. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题2分，共8分． 16. 已知直角坐标系中点和点关于轴对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标互为相同，纵坐标互为相反数，求出的值，进一步计算即可． 【详解】解：∵和点关于轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 如图，，若，，则的长度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，可证，那么可证，从而可算得的长度，最后利用算得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故答案为：． 18. 若是某个整式的平方，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则________ ． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用整体思想求解是解题的关键．由线段垂直平分线的性质知，得，从而得出答案． 【详解】解：∵和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，共62分． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算多项式乘以多项式，然后去括号合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先由计算括号里的，由完全平方和公式、平方差公式展开，再结合整式加减运算化简，最后由整式除法运算求解得到，再将，代入运算后的结果求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查整式混合运算求值，涉及完全平方和公式、平方差公式、整式加减运算、整式除法运算等知识，熟记整式混合运算法则及代数式求值方法是解决问题的关键． 22. 已知：如图，在同一直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由得到，再根据“”可得，即得，然后根据平行线的判定方法即可得到结论． 【详解】略 23. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； ； （2） 解：如图，点P即为所求． ； （3） 解：如图，点Q即为所求． ． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的画法和等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）根据等腰三角形三角形合一即可得到点Q． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 已知点，． （1）若点M、N关于x轴对称，试求a，b的值； （2）若点M、N关于y轴对称，试求． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． （1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求解即可． 【小问1详解】 解：、关于轴对称， ， 解得； 【小问2详解】 解：、关于轴对称， ， 解得， ． 25. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）若是的中线，求证：是的中点． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，是的中线， ∴， ∴， ∵， 由（1）知：，， ∴， ∴， ∴，即是的中点． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边是解题的关键： （1）等边对等角，得到，平行线的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）根据三线合一和等角的余角相等，得到，进而得到，结合（1）中结论，得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． （1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式___________； （2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为___________； （3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，可得的值为___________； （4）如图3，两个正方形的边长分别为a、b，若，，求阴影部分的面积？ 【答案】（1） （2） （3）21 （4）26 【解析】 【分析】本题考查了几何背景下的完全平方公式的应用，代数式求值，多项式乘多项式与图形面积，熟练掌握以上知识点，理解题意，准确识图是解题的关键． （1）根据大正方形的边长为，而大正方形由两个边长为，的正方形和两个长为，宽为的长方形组成，那么阴影部分的面积可以直接用边长为，的正方形面积之和表示，也可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积，从而得出答案； （2）分别表示出大正方形中每一个小正方形的面积及长方形的面积，然后根据这些小正方形的面积及长方形的面积等于大正方形的面积即可得出答案； （3）结合（2）可知，，然后代入求值即可； （4）根据，可得，然后代入求值即可． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积，阴影部分的面积， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：大正方形的面积，大正方形的面积， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ，， ， 故答案为：21； 【小问4详解】 解：如图所示： ，， ， ， ，， ． 27. 为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． （1）如图1，作，求证：； （2）在图2中，连接交于M，若，，求的值． （3）如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由． 【答案】（1） 证明：为等腰直角三角形，． ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）2 （3）不变，1 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择恰当的判定条件证明三角形全等，并添加适当辅助线构造全等三角形． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据“”可证明； （2）由得到，再利用等腰直角三角形得到，得到，，接着利用“”证明，得到即可求解； （3）在上截取，先利用“”证明得到，，然后由，得到，进而求得，从而利用“”证明，得到，然后即可计算出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：的值不会发生变化，且， 在上截取，如图， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $