2.3 二次根式 讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第三节 二次根式 一、思维导图 二、知识梳理 1、二次根式的概念 二次根式：一般地，形如的式子叫做二次根式，a叫做被开方数. 注意：（1）二次根式应同时满足两个条件：①含有二次根号“”；②被开方数是非负数. （2）形如的二次根式表示b与的乘积，与单项式的书写方式类似，当b是假分数时，不要写成带分数的形式. 2、二次根式的性质 （1） （积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.） （2）（商的算术平方根，等于算术平方根的商.） 注意：性质中的a、b可以是数，也可以是代数式，但只有满足括号内取值范围要求时，才能用此性质进行化简、计算. 3、最简二次根式 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根数，叫做最简二次根式. 识别最简二次根式的方法：凡是出现下列情形之一的，一定不是最简二次根式 （1）被开方数中含能开得尽方的因数或因式； （2）被开放数中含有分母； （3）分母中出现二次根式. 4、二次根式的乘除法法则 （1）（两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.） （2）（两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.） （3）运算结果若含有“”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 5、二次根式的加减 （1）运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式（即同类二次根式）合并. （2）运算步骤： ①化：将算式中的各个二次根式均化为最简二次根式； ②找：找出被开方数相同的最简二次根式； ③合：合并被开方数相同的最简二次根式——系数相加减，根指数和被开方数保持不变.如. 6、二次根式的混合运算 （1）运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的（或按照去括号法则先去掉括号）同级运算按照从左往右的顺序进行，与整式的混合运算顺序相同. （2）二次根式混合运算的几种常见类型 ① ② ③； ④. 三、夯实基础 （一）选择题 1.下列各式中属于最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.计算的结果是  (    ) A. B. C. D. 3.下列结论正确的是． A. B. 不是最简二次根式 C. D. 4.若，则化简的结果是  (    ) A. B. C. D. 5.下列各组二次根式中，可以合并的一组是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6.若，则的值为  (    ) A. B. C. D. 7.下列运算正确的是 A. B. C. D. （二）填空题 8.若是正整数，则整数的最小值为          ． 9.已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：          ． 10.我们规定运算符号“”的意义是：当时，；当时，，其它运算符号的意义不变，计算：           ． 11.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ． （三）解答题 12.计算： 13.下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请仔细阅读，并完成任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 任务： 从第二步到第三步运用的乘法公式是           填“完全平方公式”或“平方差公式”． 上述解题过程中，最开始出现错误的步骤是第           步． 请写出正确的解题过程． 请根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项． 14.对于任意的正实数和，我们定义新运算：例如：求的值． 四、拓展提升 （一）选择题 1.下列各数中，与的乘积不含二次根式的是  (    ) A. B. C. D. 2.如果，则化简的结果是(    ) A. B. C. D. 3.当时，代数式的值是(    ) A. B. C. D. 4.已知非零实数，满足，的值为(    ) A. B. C. D. （二）填空题 5.若，，则            ． 6.计算：            ． 7.已知，则 ． 8.化简： . （三）解答题 9.阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，， 发现规律：为正整数，并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例； 例 任务一：化简． 化简： 猜想：______为正整数． 任务二：应用 计算：； 任务三：探究 已知，，比较和的大小，并说明理由． 10.已知，是的小数部分． 求的值； 求的值．   11.小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以． 所以，即． 所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 计算：______． 计算：； 若，求的值． 12.阅读材料，并回答问题： 形如，的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化． 我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式． 问题：的有理化因式是______，的有理化因式是______． 应用：分母有理化． 拓展：比较大小与． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $第三节二次根式 参考答案： 三、夯实基础 题号12 3 45 6 7 8 9 10 11 答案 B D B C C D 3 0 5+4 x≥3 12.(1)解：原式V48÷3-V2×12+2W6=4-V6+2V6=4+V6. 2解：原式号号+25+2-35=2 (3)解：原式=3-2W6+2-3-26-2=-4V6 (④解：原式=6+V18-V2-V6-3V2=V6+3V2-V2-V6-32=-V2 13.(1)平方差公式 (2)三 (3)正 确 的 解 题 过 程 下 (W5-V2)2×(5+26)=(3-2V6+2)×(5+2V6)=(5-26)×(5+2W6)=25-24=1. (④)二次根式的运算，最后结果应化为最简二次根式（答案不唯一）· 14.解：：5>2,18<45， ·(5*2)×(18*45)=(W5-V2)×W18+V45)=(W5V2)×(32+3V5)=3×(W5V2)×(5+V2)=3×(5-2 四、拓展提升 题号 12 34 5 6 7 8 答案 0 V5+2±2y3-abV-ab 万-5 9解：(2)原式5s方55575（店方）。 1 (2)原式-V2+1)(21-1)6a+1+Va1-1) V21+1-21-1 V(2+1)(2m-1)W21+1+y(2m-1)(W2m+1-V(2m-1) 故答案为：（中， 3)原式=+5十5后+N5+57+5+·+20349+4列 -B++5-5+5-5+…+49=回 232N15235 22303 第1页共3页 (1店坊店+店方+店南】 =x(1-》=9 5-5 7-5 V2025-√2023 (4)y=1+5+5+sx5+五W5+7+5x7 十十 1+V2023+V2025+V2023×2025 1 1 5+15+15+17+1 V2023+1V2025+1 1 V3+1V2025+1 x=5, 2 x-y=i>0, 故x>y. 2+1 =2+1. 10解：(4)m=2点2-1x2+ “1≤2<2，：2<2+1<3，则n=2+1-2=2-1, n+情5-1+5-1+(5+)E-1+W2+1-25 2m3-m2-3m+n2+h=m(m2-m-3)+(n+h)2-2 =65+1)×[W2+12-(2+1)-3]+(22)2-2=(W5+1)×(2+1+22-V2-1-3)+8-2 =(V2+1)×(W2-1)+8-2=2-1+8-2=7. 1解：(12-1： (2)原式=(W2-1)+(65V2)+6W4V5)+…+(W1009)=00-1=10-1=9: 阅由西5+1. 所以a-1-2.所以(a-1)2=2,即a2-2a+1=2. 所以a2-2a=1. 所以4a2-8a+1=4(a2-2a)+1=4×1+1=5. 12解：(40：V万-2： 26 2(3+W5)3+W5 2 3+2 @)可7s8-5+5. 第2页共3页 连E并连E熊 -< 0<趴？0<： · ++z四 ‘g42-4e坠2- S+2