23.3.1 相似三角形 课件2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形概念及预备定理，通过复习相似多边形旧知搭建认知支架，引导学生从定义过渡到“平行截线得相似”的定理探究，形成完整知识脉络。 其亮点在于融合动手度量（几何直观）、演绎推理（推理意识）与情境练习（模型意识），如通过度量验证三角形相似、严格证明预备定理，结合矩形、平行四边形等实例题。助力学生提升探究与应用能力，为教师提供结构化教学流程与多样化实践素材。

23.3 相似三角形 第23章 图形的相似 华东师大版九年级上册 23.3.1 相似三角形 复习旧知 1.相似多边形的定义 各角分别______，各边_______ 的两个多边形叫做相似多边形 2.相似多边形性质 相似多边形对应角______，对应边______。 相等 成比例 相等 成比例 学习目标 1.了解相似三角形的概念 2.理解并掌握相似三角形的预备定理，即“平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”. 2025/11/8 3 探究新知 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形,它们是对应边成比例、对应角相等的三角形.相似用符号“ ”来表示，读作“相似于”.如图所示的两个三角形中， ∠A=∠A′, ∠B=∠B′,∠C=∠C′, 2025/11/8 4 探究新知 此时△ABC与△A′B′C′相似，记作 如果记 那么，这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比. △ABC与△A′B′C′的相似比是k，△A′B′C′与△ABC的相似比是____. △ABC∽△A′B′C′， 当k=1时，两个相似三角形有什么特点？ 全等 2025/11/8 5 探究新知 如图，在△ABC中，D为边AB上的任一点，作DE∥BC，交边AC于点E，用刻度尺和量角器量一量，看看△ADE与△ABC的边角之间有什么关系，进而判断这两个三角形是否相似． 2025/11/8 6 探究新知 显然，∠ADE＝∠ABC，∠AED＝ ∠ACB，∠A＝∠A. 又由平行线分线段成比例的基本事 实，可推得 通过度量，还可 以发现 因而有△ADE∽△ABC. 我们可以用演绎推理证明这一结论． 如果取点D为边AB的中点，那么可以发现△ADE和△ABC的相似比为k＝ 2025/11/8 7 探究新知 2025/11/8 8 探究新知 2025/11/8 9 探究新知 2025/11/8 10 探究新知 思考 如图，DE与BC平行， AED与 ∆ABC是否还是相似的? ∆ 相似 2025/11/8 11 探究新知 由此，可以得出下面常用的结论： 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 2025/11/8 12 探究新知 例1 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点， DE∥BC，DE＝5.求BC的长． 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC(平行于三角形 一边的直线，和其他两边相交所 构成的三角形和原三角形相似)， ∴ ∴ BC＝3DE＝15. 2025/11/8 13 1.已知△ABC∽△DEF，若AB＝1，DE＝2，则△ABC与△DEF的相似比是( ) A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.3∶2 A 巩固练习 2.如图，△ADE∽△ABC，AD∶DB＝2∶1，那么△ADE与△ABC的相似比为________. 2∶3 3.如图，△ABC∽△DAC，∠B＝35°，∠D＝115°，则∠BAD的度数为( ) A.115° B.125° C.150° D.155° C 4.如图，已知△ABC∽△ADB，D是AC的中点，CD＝2，则AB的长为_______. 2 5.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长. 解：∵△ABE∽△DEF， ∴＝. ∵AB＝6，AE＝9，DE＝2， ∴＝，解得DF＝3. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠EDF＝90°， ∴EF＝＝＝. 6.(教材P63例1变式)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶BD＝3∶4，则DE∶BC＝( ) A.3∶4 B.4∶3 C.3∶7 D.3∶5 [变式] 求比值→求长度 在第6题的条件下，若BD＝8，则AB＝______. C 14 7.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G.若＝，BE＝4，求EC的长. 解：∵DF＝BE，BE＝4， ∴DF＝4. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴DF∥EC，∴△DFG∽△CEG，∴＝. ∵＝，∴＝， ∴CE＝＝4×＝6. 8.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形(不含全等三角形)共有_____对. 5 9.(2024·潍坊期中)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC，则下列结论正确的 是( ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ B 10.如图，若△AED∽△ACB，且AE＝6，EB＝3，AD＝7，则DC＝______. 11.如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF∶AB＝2∶3. (1)若CE＝4，求AE的长； 解：∵AB∥EF，∴△CEF∽△CAB， ∴EF∶AB＝2∶3＝CE∶CA. ∵CE＝4，∴2∶3＝4∶CA，∴CA＝6， ∴AE＝CA－CE＝6－4＝2. 11.如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF∶AB＝2∶3. (2)若CD＝6，求AB的长. 解：∵AB∥EF∥CD，∴△ABE∽△CDE， ∴AB∶CD＝AE∶CE. ∵EF∶AB＝2∶3＝CE∶CA， ∴CE∶EA＝2∶1， ∴AE∶CE＝AB∶CD＝1∶2. ∵CD＝6，∴AB∶6＝1∶2， ∴AB＝3. 12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，经过点B的直线l(不与直线AB重合)与直线BC的夹角∠DBC＝∠ABC，分别过点C，A作直线l的垂线，垂足分别为D，E. (1)[问题发现] ①如图1，若∠ABC＝30°，则＝____； ②如图2，若∠ABC＝45°，则＝____. 12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，经过点B的直线l(不与直线AB重合)与直线BC的夹角∠DBC＝∠ABC，分别过点C，A作直线l的垂线，垂足分别为D，E. (2)[拓展探究] 当0°＜∠ABC＜90°，的值有无变化？请仅就图3的情形给出证明. 解：的值无变化. 证明：如图3，延长AC与直线l交于点G. ∵∠ABC＝∠CBG，∠ACB＝∠GCB＝90°， ∴∠AGB＝∠BAG，∴BA＝BG. ∵BC⊥AG，∴C是AG的中点，∴CG＝AG. ∵AE⊥l，CD⊥l，∴CD∥AE， ∴△GCD∽△GAE，∴＝＝. $