期中押题密卷02【培优卷】（测试范围：第一章-第三章）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

期中押题密卷02 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．已知，，，则 C．若，则 D．若，则 3．下列各组函数中，和表示相等函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．若幂函数是偶函数，则的图象大致为（    ） A．B．C． D． 5．如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数与函数的图象关于轴对称.若在区间内单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．设，若是的最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（    ） A．-6 B．2 C．4 D．6 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（ ） A．是关于的方程有一正一负根的充要条件 B．若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 C．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 10．下列命题正确的是（    ） A．已知，则有最大值 B．已知，则 C．的最小值是2 D．最小值为 11．设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 ，则 13．已知，且，则的最小值是 ． 14．已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 16．幂函数为偶函数，． (1)求函数的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 17．已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数m的最小值. 18．已知函数，. (1)若方程的根为和，求和的值； (2)若函数在区间上的最小值，与函数在区间上的最小值相同，求的值； (3)若函数的图象总在函数图象的上方，求的取值范围. 19．若函数在定义域上满足，且时，，定义域为的为偶函数. (1)求证：（i）函数为奇函数； （ii）函数在定义域上单调递增； (2)若在区间上；在上的图象关于点对称.求函数和函数在区间上的解析式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中押题密卷02 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解出，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 2．下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．已知，，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】A选项：当时，，A选项错误； B选项：因为，，， 所以， 所以，则，B选项正确； C选项：若，则，C选项错误； D选项：当，时，，D选项错误． 故选：B. 3．下列各组函数中，和表示相等函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A：定义域为，与的定义域不同，不符合题意； B：定义域为，与的定义域不同，不符合题意； C：，显然与对应法则和定义域都相同，符合； D：定义域为，与的定义域不同，不符合题意. 故选：C 4．若幂函数是偶函数，则的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数及偶函数定义可得答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 若，则是偶函数，符合题意； 若，则是奇函数，不符合题意. 即 ，据此可得大致图象符合选项A. 故选：A 5．如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据二次函数的单调性，将对称轴和进行大小比较即可. 【详解】由于的对称轴为， 根据二次函数的性质可知，在上单调递增， 于是，故. 故选：B. 6．已知函数与函数的图象关于轴对称.若在区间内单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称以及的单调性可得在区间上递增，将写成分段函数的形式，分析可得在区间上为增函数，据此可得的取值范围． 【详解】根据题意，函数与函数的图象关于轴对称．若在区间内单调递减， 则在区间上递增， 而，在区间上为增函数， 则有，即的取值范围为 故选：B． 7．设，若是的最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式和基本不等式，求得分段函数各段的最小值，列出关系式，即可求解. 【详解】由题意，函数，若是的最小值， 可得，对称轴为，若是的最小值， 则，即得，可得， 当时，可得，当且仅当时等号成立， 要使得函数的最小值为，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故选：A. 8．给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（    ） A．-6 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】先利用条件可求得，进而可求的最大值. 【详解】由，得，解得或， 由，得，解得， 又， 所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以的最大值为. 故选：C. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（ ） A．是关于的方程有一正一负根的充要条件 B．若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 C．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由韦达定理即可判断，对于B，参变分离即可判断，对于C，由条件确定，即可求解，对于D，由，再结合基本不等式即可求解. 【详解】对于A，若的根一正一负，则，解得：； 反之，当时，，方程有一正一负根，也成立， 所以是关于x的方程，有一正一负根的充要条件，A对； 对于B，若关于的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于的不等式的解集是，则， 所以关于的不等式或，故C正确； 对于D，若，则，可得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确， 故选：ACD 10．下列命题正确的是（    ） A．已知，则有最大值 B．已知，则 C．的最小值是2 D．最小值为 【答案】AD 【详解】对于A：因为，所以所以，当且仅当及x=-1时取等号. 所以，即有最大值.故A正确； 对于B：已知，即，所以，当且仅当时，即时取等号. 所以.故B错误. 对于C：，取等号的条件，无解，等号不能取得.故C错误； 对于D：，取等号的条件是，即，所以最小值为.故D正确. 故选：AD 11．设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 【答案】ACD 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，，即， 所以函数为减函数，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，由得到，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：ACD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 ，则 【答案】 【分析】先证明，再利用分组求和法即可得解. 【详解】因为，所以， 而，则， 所以 . 故答案为：. 13．已知，且，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】方法一：变形得到，利用基本不等式“1”的变换得到，从而得到的最小值是6；方法二：由，得，故，得到答案. 【详解】方法一： 因为，所以．所以， 其中， 当且仅当，即时，等号成立．故的最小值是6． 方法二： 因为，所以．由，得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以．故的最小值是6． 故答案为：6 14．已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据单调性的性质可判断是上的增函数，即可将问题转化为在上恒成立，对讨论，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由，可知是上的增函数， 则由不等式在上恒成立，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 当时，，解得． 当时，在上恒成立． 当，且，解得． 当，且，解得． 当，且，解得． 故的取值范围为． 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】(1) (2)当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故； （2）当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 16．幂函数为偶函数，． (1)求函数的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，，定义域为R，， 所以为偶函数，符合条件； 当时，，定义域为R，， 所以为奇函数，舍去； 所以. （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 因为， 所以不等式等价于对于恒成立，所以， 设，，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故. 17．已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数m的最小值. 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递减，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递减. （3）由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，， 所以m的最小值为. 18．已知函数，. (1)若方程的根为和，求和的值； (2)若函数在区间上的最小值，与函数在区间上的最小值相同，求的值； (3)若函数的图象总在函数图象的上方，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）因为的两个根分别是-1和b， 所以，解得； （2）在上的最小值为， 所以在上的最小值为2， 当，即时，，解得（舍）； 当，即时，，解得（舍）； 当，即时，，解得； 综上：； （3）因为函数的图象总在函数图象的上方，所以恒成立， 因此恒成立， 所以，解得. 19．若函数在定义域上满足，且时，，定义域为的为偶函数. (1)求证：（i）函数为奇函数； （ii）函数在定义域上单调递增； (2)若在区间上；在上的图象关于点对称.求函数和函数在区间上的解析式. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 (2),； 【详解】（1）（i）对于，，令，可得， 再令，可得，即， 故函数为奇函数. （ii）任取，且，则，，由 ，可得， 故函数在定义域上单调递增. （2）因是定义在上的偶函数，则时，. 由时，①， 可得②， 由，可得，即得：； 由，可得，即得：； 因时，，则当时，， 由可得； 当时，，故. 综上，可知当时，都有. 又因时，，且在上的图象关于点对称， 则当时，，； 又是定义在上的偶函数， 故时，，. 综上，可知当时， 2 学科网（北京）股份有限公司 $