精品解析：上海市第五十四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市第五十四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 已知l，m为直线，α为平面，lα，m⊂α，则l与m之间的关系是___________. 2. 已知直线与平面相交，则它们所成角的范围为__________.（角度单位用弧度） 3. 在空间直角坐标系中，向量若，则____. 4. 已知圆锥底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 5. 如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于______． 6. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为________． 7. 、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 8. 已知P为所在平面外一点，且在平面上的射影为O，若P到的三边距离相等，则O为的_____心． 9. 如图，在四面体中，，直线与直线所成角为，､分别为､的中点.则直线和直线所成角的大小为__________. 10. 中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为________. 11. 如图，甲站在水库底面上点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距_________m． 12. 已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为______. 二、单选题（本大题共4题，每4分，满分16分） 13. 已知直线、和平面，且.则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 14. 已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A. B. C. D. 15. 如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 B. 不存在点，使得平面 C. 当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么点的轨迹长度为 三、解答（本大题共5满分48分） 17. 在正方体中，为棱中点，为棱的中点. （1）求证：四点共面； （2）求异面直线与所成角的大小. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小． 19. 宁化农村做饭常用一种叫饭甑的容器，随着时代的变化，饭甑也走向小型化，制作材料也有部分变化.如图所示，这种饭甑都是用杉木制作的，木桶可以看作一个圆台，其尺寸如下：桶口直径为30 cm，桶底直径为24 cm，桶高为24 cm， （1）求该饭甑木桶的容积；（不计容器的厚度） （2）若要做一个球形容器，把该饭甑放入容器内，求当该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离？（不计容器的厚度） 20. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. （1）求直线与底面所成角大小； （2）求点到侧面距离； （3）在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 21. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市第五十四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 已知l，m为直线，α为平面，lα，m⊂α，则l与m之间的关系是___________. 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】在正方体里举例说明线线关系即可. 【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， A1B1平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD， A1B1与AB平行，A1B1与BC异面， ∴l，m为直线，α为平面，lα，m⊂α， 则l与m之间的关系是平行或异面. 故答案为：平行或异面. 2. 已知直线与平面相交，则它们所成角的范围为__________.（角度单位用弧度） 【答案】 【解析】 【分析】结合直线与平面所成角的定义即可求出角的取值范围． 【详解】因为直线与平面相交， 所以直线不在平面内且直线不平行于平面，故所成角不能取得最小值0， 当直线与平面垂直时，所成角取最大值， 故直线与平面相交时，则它们所成角的范围为. 故答案为：. 3. 在空间直角坐标系中，向量若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】若，则， 解得，，故. 故答案为：. 4. 已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的底面直径得出圆锥的底面半径，再利用母线长和底面半径结合侧面积公式求解． 【详解】圆锥的底面直径， 圆锥的底面半径， 又母线长， ． 故答案为：． 5. 如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，分析出原图形中的位置及数量关系，再根据三角形面积公式计算即可. 【详解】在直观图的中，由，，得， 因此在原图形的中，，，且， 所以. 故答案为： 6. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接,交于,根据线面垂直的判定定理可以证明平面,所以的长即为所求.由正方体的棱长为1求出结果即可. 【详解】如图所示,连接,交于, ,,,平面,平面, 平面, 的长即为所求. 正方体的棱长为1, , 即点到平面的距离为. 故答案为:. 7. 、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 8. 已知P为所在平面外一点，且在平面上的射影为O，若P到的三边距离相等，则O为的_____心． 【答案】内 【解析】 【分析】作出图象，由线面垂直可得，，再由三角形全等可得，结合三角形的内心的定义即可得答案. 【详解】 过分别作于， 因为到距离相等， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，所以， 同理可证， 因为， 所以两两全等， 所以， 即到距离相等， 所以为的内心． 故答案为：内． 9. 如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，､分别为､的中点.则直线和直线所成角的大小为__________. 【答案】75°或15° 【解析】 【分析】取中点，得出，，结合边长关系及异面直线所成角计算求解. 【详解】因为､分别为､的中点，取中点， 所以，， 因为直线与直线所成的角为， 所以或，又因为，所以， 所以或， 所以直线和直线所成角为或. 故答案为：或. 10. 中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据梯形面积公式求出斜高，再利用勾股定理求出正四棱台的高，最后根据正四棱台体积公式计算体积. 【详解】取正四棱台的上下底面的中心，，棱，的中点，， 连接，，，，则，分别是正四棱台的高和斜高， 依题意，，解得， 在直角梯形中，，，，， 则， 所以正四棱台的体积. 故答案为： 11. 如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距_________m． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再由空间向量的模长的计算，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为， 可知，又， 故， 故（m）, 故答案为： 12. 已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】把面沿展开与在一个平面上如图，连接，则的长度即为的最小值，即可得周长的最小值. 【详解】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为， 在原图中，所以周长最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于空间中线段和最值问题，常常把两个平面折叠成一个平面，再结合平面的性质运算求解. 二、单选题（本大题共4题，每4分，满分16分） 13. 已知直线、和平面，且.则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】直线，和平面，且， 当时，不能得到，可能，可能，也可能和只相交不垂直，即充分性不成立； 当时，由，则存在直线，使， 有，所以一定成立，即必要性成立. “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可． 【详解】依题意，得， 则， 故选：D 15. 如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的外接圆半径即为球的半径可求解. 【详解】因为四边形为正方形，且边长为2. 所以正方形外接圆半径为：，即为已知半球的半径. 所以半球的表面积为：. 故选：C 16. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 B. 不存点，使得平面 C. 当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么点的轨迹长度为 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行与面面平行的判定定理与性质定理判断A；建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而利用线面垂直的向量表示可判断B；利用空间向量法求得点到平面的距离关于的表达式，分类讨论的取值范围求得三棱锥的体积，从而判断C；利用勾股定理求得为定值，从而判断Q的轨迹，进而求其长度判断D. 【详解】选项A，分别取中点，连接， 由与，平行且相等得平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 同理平面，又平面， 所以平面平面， 当时，平面， 所以平面，即点轨迹是线段，故A正确； 选项B，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 设是平面的一个法向量，则， 取，则， 若平面，则， 所以存在，使得，则，解得， 因此正方形内（含边界）不存在点，使得平面，故B正确； 选项C，面积为定值，当且仅当点到平面的距离最大时， 三棱锥的体积最大，又， 则到平面的距离为， 当时，，则当时，有最大值； 当时，，则当时，有最大值， 综上，当时，取得最大值1， 即与重合时，取得最大值，三棱锥的体积最大，故C正确； 选项D，平面平面，所以， 所以， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是， 则其轨迹长度为，故D错误. 故选：D. 三、解答（本大题共5满分48分） 17. 在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. （1）求证：四点共面； （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析.（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行线的传递性,可证,即可推证结论; （2）由直线间的平行关系,可得异面直线与所成角就是角. 【详解】（1）连接, 为棱的中点,为棱的中点, 正方体 四边形是平行四边形, , 确定一平面. 四点共面； （2）由（1）得 或补角为异面直线与所成角， 在中， 异面直线与所成角为. 【点睛】本题考查点共面,关键要对确定平面的条件要熟练掌握;考查空间角,空间角用几何法求,要体现作、证、算三步骤. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得. （2）由（1）的信息确定二面角的平面角，利用锥体体积公式求出，再在直角三角形中求出解即可. 【小问1详解】 由底面，平面，得， 由，得，而平面， 所以平面． 【小问2详解】 由（1）知，平面，而平面，则，又， 因此是二面角的平面角， 在中，， 显然，四边形为矩形，于是， 而四棱锥的体积，解得， 在中，，因此， 所以二面角的大小为. 19. 宁化农村做饭常用一种叫饭甑容器，随着时代的变化，饭甑也走向小型化，制作材料也有部分变化.如图所示，这种饭甑都是用杉木制作的，木桶可以看作一个圆台，其尺寸如下：桶口直径为30 cm，桶底直径为24 cm，桶高为24 cm， （1）求该饭甑木桶的容积；（不计容器的厚度） （2）若要做一个球形容器，把该饭甑放入容器内，求当该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离？（不计容器的厚度） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆台的体积公式，代入数值，求出结果即可； （2）根据几何体的外接球的概念，列出方程组，求出结果即可. 【小问1详解】 由圆台体积公式可知， 所以该饭甑木桶的容积为 【小问2详解】 如图所示，设球半径为，球心距离下底面的距离为， 可得，解得， 所以该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离为. 20. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. （1）求直线与底面所成角大小； （2）求点到侧面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据几何体的性质，以及线面角的平面角的定义，找出线面角的平面角，求出结果即可. （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据求点到平面距离的向量方法，求出结果即可. （3）根据向量共线，写出坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据线面角正弦值的向量方法，求出结果即可. 【小问1详解】 因为点在底面上的投影为的中点，所以面， 所以直线与底面所成角就是， 因为侧面为菱形，的中点是，所以， 所以，则. 【小问2详解】 如图所示，底面是以为斜边的等腰直角三角形，点在底面上的投影为的中点， 所以以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 底面是以为斜边的等腰直角三角形，，所以， 因为侧面为菱形，，所以. 可得， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，解得，即平面一个法向量， 则点到侧面的距离为. 【小问3详解】 设，由（2）可知， 则， 由（2）可知平面的一个法向量， 设直线与侧面所成角为，则， 可得，解得， 因为，所以，即，所以. 21. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 【答案】（1）2 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用多面体在各顶点处的离散曲率计算公式计算即得； （2）①过点作交于，连接，可推得即为直线与直线所成角或其补角，依次求出，，利用求出，即得利用离散曲率计算公式即可求得； ②先证明平面平面，过作于，过作于，连接，证明平面，可推得为与平面所成角，为二面角的平面角，即，计算得到，利用差角的正切公式化简得到，借助于基本不等式即可求得其最大值. 【小问1详解】 因为，，，内角和均为，四边形内角和为， 则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为； 【小问2详解】 ① 过点作交于，连接， 则即为直线与直线所成角或其补角， 因，平面多边形的外接圆圆心为与的交点， 则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有， 所以，，所以， 中，因，解得． 即，可得： 则得， 即四棱锥在顶点处的离散曲率为 ②因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以，则平面平面． 过作于，过作于，连接， 因平面，平面平面，故平面， 因平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故为与平面所成角， 为二面角的平面角，则， 因为，所以， 则得，因，则， 故， 当且仅当时，等号成立． 则的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $