10.2实数 举一反三讲义2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

10.2实数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】无理数的定义 8 【题型2】无理数的估算 9 【题型3】无理数估算的应用 11 【题型4】实数的概念与分类 14 【题型5】实数与数轴 16 【题型6】实数的性质 18 【题型7】利用估算比较实数大小 19 【题型8】利用数轴比较实数的大小 21 【题型9】作差法比较实数的大小 23 【题型10】实数的运算 25 【题型11】根据运算程序计算 25 【题型12】新定义运算 28 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1.（2025春•新会区校级月考）在下列实数，，，-3.1415，，1.212212221…（相邻两个1之间一次多一个2）中，无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：，， ∴无理数有：，1.212212221…，共2个， 故选：B． 【知识点2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 1.（2025春•路北区期中）在实数，，，中，有理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这几个数中，能化去根号的数即是有理数，据此判断． 【解答】解：∵=2，∴是有理数， ，，都不能化去根号，∴是无理数， ∴有理数有． 故选：B． 2.（2025•姜堰区二模）在下列实数中，有理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】有理数包括整数和分数；无理数是无限不循环小数． 【解答】解：A、是无限不循环小数，是无理数； B、是无限不循环小数，是无理数； C、=2，是有理数； D、是无限不循环小数，是无理数． 故选：C． 【知识点3】实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 1.（2025•宁波模拟）有理数-2025是2025的（　　） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根 【答案】B 【分析】根据相反数、绝对值、倒数、平方根的概念逐项判断即可． 【解答】解：根据相反数、绝对值、倒数、平方根的概念逐项分析判断如下： A、∵-2025×2025≠1， ∴-2025不是2025的倒数，故此选项不符合题意； B、∵-2025与2025互为相反数， ∴-2025是2025的相反数，故此选项符合题意； C、∵2025的绝对值是2025， ∴-2025不是2025的绝对值故此选项不符合题意； D、∵2025的平方根是±45， ∴-2025不是2025的平方根，故此选项不符合题意； 故选：B． 2.（2025•市北区校级模拟）-的倒数是（　　） A． B．- C．- D．-2 【答案】B 【分析】直接利用算术平方根化简，再利用倒数的定义得出答案． 【解答】解：∵-=-2， ∴-的倒数是：-． 故选：B． 【知识点4】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春•铁西区校级月考）如图，数轴上点C所表示的数是（　　） A． B．3.7 C．3.8 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出OB的长，得出，即可得出数轴上点C所表示的数是． 【解答】解：∵OA=3，AB=2，∠OAB=90°， ∴， ∴， 故D正确． 故选：D． 【知识点5】实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春•阳新县校级月考）在-1，0，1，这四个数中，最小的数是（　　） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】A． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵-1＜0＜1＜， ∴最小的数是：-1． 故选：A． 【知识点6】估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 1.（2025春•岳阳楼区期末）估计在哪两个整数之间（　　） A．1～2 B．2～3 C．3～4 D．4～5 【答案】C 【分析】由于32=9，42=16，由此可得的近似范围，然后分析选项可得答案． 【解答】解：由于32=9，42=16； 可得3＜＜4； 故选：C． 【知识点7】实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 1.（2025春•红桥区期中）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C．3 D．-1 【答案】C 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：若开始输入x的值为-， ∵-＜-1， ∴y=（-）2+1=2+1=3， 故选：C． 2.（2025•杭州开学）a,b为有理数，且满足等式a+b=•，则a+b的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用完全平方公式将逐步化简为（+1），代入等式得出a+b=3+，从而得出答案． 【解答】解：∵===+1， ∴=====（+1）， 则•=×（+1）=（+1）=3+， ∴a+b=3+， 则a=3，b=1， ∴a+b=4， 故选：B． 【题型1】无理数的定义 【典型例题】在0，，0.，，3.1415，0.6060060006…（每两个6之间多一个0）中，无理数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】，0.6060060006…（每两个6之间多一个0）是无限不循环小数，它们是无理数，共2个， 故选：B． 【举一反三1】已知a是有理数，b是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（　　） A.a+b B.ab C. D. 【答案】A 【解析】a是有理数，b是无理数，则a+b必定为无理数； 当a＝0时，ab、，均为有理数． 故选：A． 【举一反三2】假设m，n都是无理数，且满足m+n＝3．请写出满足以上条件的一组值m＝_________，n＝_________． 【答案】3+π，﹣π（答案不唯一） 【解析】m，n都是无理数，且满足m+n＝3， 则满足条件的一组值m＝3+π，n＝﹣π． 故答案为：3+π，﹣π（答案不唯一）． 【举一反三3】已知实数x、y满足关系式|y2﹣9|＝0． （1）求x、y的值； （2）判断是有理数还是无理数？并说明理由． 【答案】解：（1）由题意，得 解得或； （2）当x＝2，y＝3时，3是有理数， 当x＝2，y＝﹣3时，是无理数． 【题型2】无理数的估算 【典型例题】已知2的整数部分等于a，则a等于（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】∵16＜17＜25， ∴， ∴， ∴2的整数部分为2，即a＝2． 故选：C． 【举一反三1】若，且m为整数，则m的值是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵9＜11＜16， ∴， ∴m＝3． 故选：C． 【举一反三2】设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则（　　） A.32 B.46 C.64 D.65 【答案】D 【解析】∵1.52＝2.25，2.52＝6.25，3.52＝12.25，4.52＝20.25，[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数）， ∴； ； ； ； ， ∴ ＝1×2+2×4+3×6+4×8+5 ＝2+8+18+32+5 ＝65， 故选：D． 【举一反三3】设n为整数，若介于n和n+1连两个整数之间，则n的值为_________． 【答案】2 【解析】∵， ∴， ∵介于n和n+1连两个整数之间， ∴n＝2， 故答案为：2． 【举一反三4】先阅读材料，后解答问题：∵，即，∴在比小的所有整数中，2为其中最大的整数．若规定不超过实数m的最大整数记为[m]，则有． （1）计算：①_________；②_________；③_________； （2）若，直接写出符合条件的所有整数解． 【答案】解：（1）①∵，即5， ∴[]＝5， 故答案为：5； ②∵3， ∴﹣4， ∴6， ∴[10]＝6， 故答案为：6； ③∵4， ∴﹣5， ∴[]＝﹣5， 故答案为：﹣5； （2）∵，即5， ∴[]＝5， ∴， ∴﹣5＜x＜5， ∴满足﹣5＜x＜5的所有整数解有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4． 【题型3】无理数估算的应用 【典型例题】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】由题意可得t， ∵82＝64，8.52＝72.25， ∴88.5， 即该物体所经过的时间秒数与8接近， 故选：C． 【举一反三1】如图，用面积为16的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A.8 B.7 C.6 D.5 【答案】C 【解析】由题意得，大正方形的面积为：16×2＝32， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴5.56， ∴大正方形的边长最接近的整数是6， 故选：C． 【举一反三2】若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（　　） A.5.0＜a＜5.2 B.5.2＜a＜5.5 C.5.5＜a＜5.7 D.5.7＜a＜6.0 【答案】B 【解析】∵边长为a正方形的面积为30， ∴边长a， ∵52＝25，62＝36，而25＜30＜36， ∴56， ∵5.52＝30.25＞30，5.42＝29.16＜30， ∴5.45.5， 故选：B． 【举一反三3】如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是_________． 【答案】3 【解析】∵正方形的面积为12， ∴正方形的边长为， ∵9＜12＜16， ∴34， ∵9＜12＜12.25， ∴33.5， ∴最接近的整数为3． 故答案为：3． 【举一反三4】有一块面积为79 cm2的正方形纸片，小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为54 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他的这一想法能不能实现？答：_________（填能或不能）． 【答案】不能 【解析】设长方形的长宽分别为3x，2x，由题意可得： 3x•2x＝54， 解得x＝3或﹣3（舍去）， 长为3x＝9， ∵9， ∴不能． 【举一反三5】小明将一个长为10 cm，宽为8 cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75 cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由． 【答案】解：不能，理由如下： 设较大的正方形的边长为4x，则较小的正方形的边长为3x， 由于两个正方形的面积和为75 cm2， 所以有16x2+9x2＝75， 解得x， 即大正方形的边长为4cm，小正方形的边长为3cm， 因为43710， 所以不能裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75 cm2． 【举一反三6】如图，有一个面积为400 cm2的正方形． （1）正方形的边长是多少？ （2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360 cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明． 【答案】解：（1）∵正方形的面积为400 cm2， ∴正方形的边长是20（cm）； （2）设长方形纸片的长为5x cm，宽为4x cm， 则5x•4x＝360， 解得：x＝3， 则5x＝1520， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360 cm2． 【题型4】实数的概念与分类 【典型例题】我们把M＝（1，3，x）叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，3}，我们说M＝N．已知集合A＝{0，|x|，y}，集合B＝{x，xy3，}，若A＝B，则x+y的值是（　　） A.4 B.2 C.0 D.﹣2 【答案】D 【解析】由题意可得0， 则x＝y， 那么|x|＝xy3＝x4， 则x＝±1， 根据题意可得x＝1不符合题意，舍去， 则x＝y＝﹣1， 则x+y＝﹣1﹣1＝﹣2， 故选：D． 【举一反三1】下列为正数的是（　　） A.﹣|﹣2| B. C.0 D.﹣（﹣5） 【答案】D 【解析】﹣|﹣2|＝﹣2，是负数；0既不是正数也不是负数；﹣（﹣5）＝5是正数； 故选：D． 【举一反三2】已知a，b均属于同一类数，a+b不一定属于该类数，则这类数可以是（　　） A.正有理数 B.负实数 C.整数 D.无理数 【答案】D 【解析】由题意得，两个正有理数的和为正有理数；两个负实数的和为负实数；两个整数的和为整数．但是两个无理数的和不一定是无理数，如与的和是0，和是有理数． ∴A、B、C选项均正确，不符合题意．D选项不正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三3】了解无理数与实数的概念 （1）_________小数叫做无理数； （2）有理数和_________统称为实数． 【答案】无限不循环；无理数 【解析】（1）无限不循环小数叫做无理数； （2）有理数和无理数统称为实数． 故答案为：无限不循环，无理数． 【举一反三4】在下列数中：①π，②﹣|﹣3|，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 _________；无理数有 _________.（填写序号） 【答案】⑥⑧；①⑤⑦ 【解析】非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦； 故答案为：⑥⑧；①⑤⑦． 【举一反三5】把下列各数的序号写入相应的集合中： ①，②，③，④，⑤0，⑥﹣0.5050050005…（相邻两个5之间0的个数逐次加1）． （1）负数集合{ _________…}； （2）有理数集合{ _________…}； （3）无理数集合{ _________…}． 【答案】解：，， （1）负数集合{①④⑥…}； （2）有理数集合{①③④⑤…}； （3）无理数集合{②⑥…}． 故答案为：①④⑥；①③④⑤；②⑥． 【题型5】实数与数轴 【典型例题】与数轴上的点一一对应的是（　　） A.有理数 B.无理数 C.整数 D.实数 【答案】D 【解析】与数轴上的点一一对应的是实数． 故选：D． 【举一反三1】若将2，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数有（　　）个． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】2＜1，在0和1之间，不符合题意； ，即23，符合题意； ，即3＞6，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意； ，即1＞3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意； 故选：A． 【举一反三2】如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是_________． 【答案】2 【解析】∵以A为圆心的圆交数轴于B，C两点， ∴AC＝AB． ∵A，B两点表示的数分别为1，， ∴AB1， ∴AC1， ∴则点C表示的数是1﹣（1）＝2． 故答案为：2． 【举一反三3】如图，数轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等，设A、B、C三点表示的三个数之和为p. （1）求AB的长； （2）求p； （3）点D在点O的左侧，且DO＝10，若以点D为原点，直接写出点C表示的数． 【答案】解：（1）∵表示1和 的对应点分别为A、B， ∴； （2）∵点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等， ∴， ∵点C在原点左侧， ∴点C所表示的数为：， ； （3）∵点D在点O的左侧，且DO＝10， ∴点D表示的数为：﹣10， ∴以点D为原点，点C表示的数为：． 【题型6】实数的性质 【典型例题】下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A.﹣3与 B.﹣3与 C.3与 D.|﹣3|与3 【答案】A 【解析】A．﹣3与3，两数是互为相反数，故此选项符合题意； B．﹣3与3，两数相等，故此选项不合题意； C．3与，两数不是互为相反数，故此选项不合题意； D．|﹣3|＝3与3，两数相等，故此选项不合题意； 故选：A． 【举一反三1】的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵1.414， ∴1.50． ∴1.5的绝对值是它本身． 故选：A． 【举一反三2】的倒数是____________，|π﹣11|＝____________，3的相反数是______________． 【答案】；11﹣π； 【解析】，4的倒数是，所以的倒数是； |π﹣11|＝11﹣π； 的相反数是； 故答案为：，11﹣π，． 【举一反三3】已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x的值． 【答案】解：7， ∵a、b互为相反数， ∴a+b＝0， ∵c、d互为倒数， ∴cd＝1， ∵x的绝对值为． ∴x＝±7， 当x＝7时，原式＝（0+1）×7＝7﹣1＝6， 当x＝﹣7时，原式＝（0+1）×（﹣7）＝﹣7﹣1＝﹣8， ∴所求代数式的值为6或﹣8． 【举一反三4】已知|x|，y是3的平方根，且|y﹣x|＝x﹣y，求x+y的值． 【答案】解：由题意得，x＝±，y＝±， ∵|y﹣x|＝x﹣y， ∴x＞y ∴x，y或x，y． ∴x+y或x+y． 【题型7】利用估算比较实数大小 【典型例题】四个实数π，6，，中，最大的无理数是（　　） A.π B.6 C. D. 【答案】C 【解析】π，6，，中的无理数有：π，，， ∵3＜π＜4，4，2，3， ∴3＜π＜4，4，23， ∴23， ∴四个实数π，6，，中，最大的无理数是． 故选：C． 【举一反三1】已知，则a与b的大小关系是（　　） A.a＜b B.a＞b C.a＝b D.无法确定 【答案】A 【解析】a＝﹣5，b＝﹣2， ∵50＞20， ∴， ∴， ∴﹣52， ∴a＜b． 故选：A． 【举一反三2】下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.是分数，不是无理数，故此选项不符合题意； B.是负无理数，故此选项不符合题意； C.∵π＞3，∴，故此选项不符合题意； D.∵，即，∴，故此选项符合题意； 故选：D． 【举一反三3】比较大小：____________． 【答案】＞ 【解析】∵1.4， ∴1＞1.4+1， ∴1＞2.4， ∴1.2， ∵1.2， ∴． 故答案为：＞． 【举一反三4】阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5． 根据上面的材料回答下列问题： （1）____________； （2）当时，求x的取值范围． 【答案】解：（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：﹣2； （2）根据题意，得， 解得， ∴x的取值范围是． 【题型8】利用数轴比较实数的大小 【典型例题】已知实数a，b，c，满足|a|＞|b|＞|c|，这三个数在数轴上的位置可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵|a|＞|b|＞|c|， ∴表示a，b，c三个实数的点到原点的距离最大的是表示a的点，其次是表示b的点，最近的是表示c的点， ∴这三个数在数轴上的位置可能是：， 故选：A． 【举一反三1】实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（　　） A.a B.b C.c D.d 【答案】D 【解析】根据图示，可得2＜|a|＜3，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，3＜|d|＜4， 所以这四个数中，绝对值最大的是d． 故选：D． 【举一反三2】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则a，b，﹣c的大小关系是_____________（用“＜”连接） 【答案】b＜﹣c＜a 【解析】由数轴可得b＜0＜c＜a，且|b|＞|c|， 则b＜﹣c＜0＜a， 故答案为：b＜﹣c＜a． 【举一反三3】现有五个实数：π，﹣3.5，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用点A，B，C，D表示． （1）点A表示数_____________；点B表示数_____________；点D表示数_____________． （2）①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形EFGH的面积） ②将上列五个数按从小到大的顺序用“＜”连接_____________． （3）将上列各数分别填入相应的横线上： 无理数：____________； 负数：____________． 【答案】解：（1）根据A、B、D在数轴上的位置， 可知，点A表示数﹣3.5，点B表示数π，点D表示数； 故答案为：﹣3.5，π，； （2）如图， 由数轴可知，﹣3.5π＜4； 故答案为：﹣3.5π＜4； （3）无理数：π； 负数：﹣3.5，． 故答案为：无理数：π； 负数：﹣3.5，． 【举一反三4】在同一个数轴上分别作出以下各数所对应的点：，0，﹣1.5，；并用“＜”连接各数． 【答案】解：作图如下： 根据数轴上左边的数总比右边的数小可知：﹣1.5＜0． 【题型9】作差法比较实数的大小 【典型例题】若M，N，则M，N的大小关系是（　　） A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.无法比较 【答案】A 【解析】， ∵10＞9， ∴3， ∴3＞0， ∴0， ∴． ∴M＞N． 故选：A． 【举一反三1】5，2，2的大小关系是（　　） A.225 B.522 C.252 D.522 【答案】D 【解析】∵5＜8， ∴， ∴， ∴22， ∵（5）﹣（2）＝3﹣20， ∴52； 故选：D． 【举一反三2】比较大小：____________． 【答案】< 【解析】 ， ∵5， ∴0， ∴， 故答案为：＜． 【举一反三3】比较实数与的大小． 【答案】解：， 因为94＞81，所以， 所以， 所以， 所以． 【题型10】实数的运算 【典型例题】若实数a满足0＜a＜1，则的化简结果是（　　） A.2 B.2a C.2a﹣2 D.2﹣2a 【答案】A 【解析】∵0＜a＜1， ∴原式＝a+2﹣a＝2． 故选：A． 【举一反三1】化简的结果是（　　） A.5 B.1 C.22 D.2 【答案】A 【解析】 ＝23＝5， 故选：A． 【举一反三2】设x、y是有理数，且x，y满足等式，则x﹣y＝____________． 【答案】9或﹣1 【解析】由x2+2yy＝17﹣4， 得到x2+2y＝17，y＝﹣4， 解得：x＝±5， 则x﹣y＝9或﹣1． 故答案为：9或﹣1． 【举一反三3】计算：． 【答案】解：． 【题型11】根据运算程序计算 【典型例题】根据以下程序，当输入x＝2时，输出的y值为（　　） A.0.5 B.2 C. D. 【答案】D 【解析】∵x＝2＞1， ∴． 故选：D． 【举一反三1】按如图所示运算程序，输入x，y＝﹣，则输出结果为（　　） A.﹣6 B.6 C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴输入x，y＝﹣时，（）2﹣（﹣）2＝2﹣8＝﹣6． 故选：A． 【举一反三2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A. B. C.2 D.3 【答案】A 【解析】由所给的程序可知，当输入64时，8， ∵8是有理数， ∴取其立方根可得到，2， ∵2是有理数， ∴取其算术平方根可得到， ∵是无理数， ∴y． 故选：A． 【举一反三3】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A. B. C.2 D.3 【答案】A 【解析】由所给的程序可知，当输入64时，8， ∵8是有理数， ∴取其立方根可得到，2， ∵2是有理数， ∴取其算术平方根可得到， ∵是无理数， ∴y． 故选：A． 【举一反三4】按如图所示运算程序，输入x，y＝﹣，则输出结果为（　　） A.﹣6 B.6 C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴输入x，y＝﹣时，（）2﹣（﹣）2＝2﹣8＝﹣6． 故选：A． 【题型12】新定义运算 【典型例题】定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则△1的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得△． 故选：C． 【举一反三1】若a※b＝|b|﹣（b），则3※2的值为（　　） A.4 B. C.﹣4 D. 【答案】D 【解析】由a※b＝|b|﹣（b）可得： 3※2＝|2|﹣（2）＝22＝﹣2． 故选：D． 【举一反三2】若对于实数x、y定义一种新运算：，则（4⊕8）⊕2＝____________． 【答案】4 【解析】原式⊕2＝6⊕2 ＝4． 故答案为：4． 【举一反三3】在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“Δ”如下：当x≤y时，xΔy；当x＞y时，xΔy＝y，则[﹣9Δ（﹣3）]×[4Δ（﹣3）]的值为____________． 【答案】﹣9 【解析】∵﹣9＜﹣3，4＞﹣3， ∴原式（﹣3）＝3×（﹣3）＝﹣9， 故答案为：﹣9． 【举一反三4】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2． 例如：7※4＝7+42＝23． （1）求5※3的值； （2）求13※（1※）的平方根． 【答案】解：（1）∵a※b＝a+b2， ∴5※3＝5+32＝5+9＝14； （2）∵a※b＝a+b2， ∴1※＝1+5＝6， ∴13※（1※）＝13※6＝13+62＝13+36＝49． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2实数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】无理数的定义 5 【题型2】无理数的估算 5 【题型3】无理数估算的应用 6 【题型4】实数的概念与分类 7 【题型5】实数与数轴 8 【题型6】实数的性质 9 【题型7】利用估算比较实数大小 9 【题型8】利用数轴比较实数的大小 10 【题型9】作差法比较实数的大小 11 【题型10】实数的运算 11 【题型11】根据运算程序计算 11 【题型12】新定义运算 13 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1.（2025春•新会区校级月考）在下列实数，，，-3.1415，，1.212212221…（相邻两个1之间一次多一个2）中，无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 1.（2025春•路北区期中）在实数，，，中，有理数是（　　） A． B． C． D． 2.（2025•姜堰区二模）在下列实数中，有理数是（　　） A． B． C． D． 【知识点3】实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 1.（2025•宁波模拟）有理数-2025是2025的（　　） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根 2.（2025•市北区校级模拟）-的倒数是（　　） A． B．- C．- D．-2 【知识点4】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春•铁西区校级月考）如图，数轴上点C所表示的数是（　　） A． B．3.7 C．3.8 D． 【知识点5】实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春•阳新县校级月考）在-1，0，1，这四个数中，最小的数是（　　） A．-1 B．0 C．1 D． 【知识点6】估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 1.（2025春•岳阳楼区期末）估计在哪两个整数之间（　　） A．1～2 B．2～3 C．3～4 D．4～5 【知识点7】实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 1.（2025春•红桥区期中）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C．3 D．-1 2.（2025•杭州开学）a,b为有理数，且满足等式a+b=•，则a+b的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型1】无理数的定义 【典型例题】在0，，0.，，3.1415，0.6060060006…（每两个6之间多一个0）中，无理数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】已知a是有理数，b是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（　　） A.a+b B.ab C. D. 【举一反三2】假设m，n都是无理数，且满足m+n＝3．请写出满足以上条件的一组值m＝_________，n＝_________． 【举一反三3】已知实数x、y满足关系式|y2﹣9|＝0． （1）求x、y的值； （2）判断是有理数还是无理数？并说明理由． 【题型2】无理数的估算 【典型例题】已知2的整数部分等于a，则a等于（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【举一反三1】若，且m为整数，则m的值是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三2】设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则（　　） A.32 B.46 C.64 D.65 【举一反三3】设n为整数，若介于n和n+1连两个整数之间，则n的值为_________． 【举一反三4】先阅读材料，后解答问题：∵，即，∴在比小的所有整数中，2为其中最大的整数．若规定不超过实数m的最大整数记为[m]，则有． （1）计算：①_________；②_________；③_________； （2）若，直接写出符合条件的所有整数解． 【题型3】无理数估算的应用 【典型例题】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 【举一反三1】如图，用面积为16的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A.8 B.7 C.6 D.5 【举一反三2】若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（　　） A.5.0＜a＜5.2 B.5.2＜a＜5.5 C.5.5＜a＜5.7 D.5.7＜a＜6.0 【举一反三3】如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是_________． 【举一反三4】有一块面积为79 cm2的正方形纸片，小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为54 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他的这一想法能不能实现？答：_________（填能或不能）． 【举一反三5】小明将一个长为10 cm，宽为8 cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75 cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由． 【举一反三6】如图，有一个面积为400 cm2的正方形． （1）正方形的边长是多少？ （2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360 cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明． 【题型4】实数的概念与分类 【典型例题】我们把M＝（1，3，x）叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，3}，我们说M＝N．已知集合A＝{0，|x|，y}，集合B＝{x，xy3，}，若A＝B，则x+y的值是（　　） A.4 B.2 C.0 D.﹣2 【举一反三1】下列为正数的是（　　） A.﹣|﹣2| B. C.0 D.﹣（﹣5） 【举一反三2】已知a，b均属于同一类数，a+b不一定属于该类数，则这类数可以是（　　） A.正有理数 B.负实数 C.整数 D.无理数 【举一反三3】了解无理数与实数的概念 （1）_________小数叫做无理数； （2）有理数和_________统称为实数． 【举一反三4】在下列数中：①π，②﹣|﹣3|，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 _________；无理数有 _________.（填写序号） 【举一反三5】把下列各数的序号写入相应的集合中： ①，②，③，④，⑤0，⑥﹣0.5050050005…（相邻两个5之间0的个数逐次加1）． （1）负数集合{ _________…}； （2）有理数集合{ _________…}； （3）无理数集合{ _________…}． 【题型5】实数与数轴 【典型例题】与数轴上的点一一对应的是（　　） A.有理数 B.无理数 C.整数 D.实数 【举一反三1】若将2，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数有（　　）个． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是_________． 【举一反三3】如图，数轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等，设A、B、C三点表示的三个数之和为p. （1）求AB的长； （2）求p； （3）点D在点O的左侧，且DO＝10，若以点D为原点，直接写出点C表示的数． 【题型6】实数的性质 【典型例题】下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A.﹣3与 B.﹣3与 C.3与 D.|﹣3|与3 【举一反三1】的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】的倒数是____________，|π﹣11|＝____________，3的相反数是______________． 【举一反三3】已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x的值． 【举一反三4】已知|x|，y是3的平方根，且|y﹣x|＝x﹣y，求x+y的值． 【题型7】利用估算比较实数大小 【典型例题】四个实数π，6，，中，最大的无理数是（　　） A.π B.6 C. D. 【举一反三1】已知，则a与b的大小关系是（　　） A.a＜b B.a＞b C.a＝b D.无法确定 【举一反三2】下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】比较大小：____________． 【举一反三4】阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5． 根据上面的材料回答下列问题： （1）____________； （2）当时，求x的取值范围． 【题型8】利用数轴比较实数的大小 【典型例题】已知实数a，b，c，满足|a|＞|b|＞|c|，这三个数在数轴上的位置可能是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（　　） A.a B.b C.c D.d 【举一反三2】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则a，b，﹣c的大小关系是_____________（用“＜”连接） 【举一反三3】现有五个实数：π，﹣3.5，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用点A，B，C，D表示． （1）点A表示数_____________；点B表示数_____________；点D表示数_____________． （2）①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形EFGH的面积） ②将上列五个数按从小到大的顺序用“＜”连接_____________． （3）将上列各数分别填入相应的横线上： 无理数：____________； 负数：____________． 【举一反三4】在同一个数轴上分别作出以下各数所对应的点：，0，﹣1.5，；并用“＜”连接各数． 【题型9】作差法比较实数的大小 【典型例题】若M，N，则M，N的大小关系是（　　） A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.无法比较 【举一反三1】5，2，2的大小关系是（　　） A.225 B.522 C.252 D.522 【举一反三2】比较大小：____________． 【举一反三3】比较实数与的大小． 【题型10】实数的运算 【典型例题】若实数a满足0＜a＜1，则的化简结果是（　　） A.2 B.2a C.2a﹣2 D.2﹣2a 【举一反三1】化简的结果是（　　） A.5 B.1 C.22 D.2 【举一反三2】设x、y是有理数，且x，y满足等式，则x﹣y＝____________． 【举一反三3】计算：． 【题型11】根据运算程序计算 【典型例题】根据以下程序，当输入x＝2时，输出的y值为（　　） A.0.5 B.2 C. D. 【举一反三1】按如图所示运算程序，输入x，y＝﹣，则输出结果为（　　） A.﹣6 B.6 C. D. 【举一反三2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A. B. C.2 D.3 【举一反三3】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A. B. C.2 D.3 【举一反三4】按如图所示运算程序，输入x，y＝﹣，则输出结果为（　　） A.﹣6 B.6 C. D. 【题型12】新定义运算 【典型例题】定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则△1的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】若a※b＝|b|﹣（b），则3※2的值为（　　） A.4 B. C.﹣4 D. 【举一反三2】若对于实数x、y定义一种新运算：，则（4⊕8）⊕2＝____________． 【举一反三3】在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“Δ”如下：当x≤y时，xΔy；当x＞y时，xΔy＝y，则[﹣9Δ（﹣3）]×[4Δ（﹣3）]的值为____________． 【举一反三4】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2． 例如：7※4＝7+42＝23． （1）求5※3的值； （2）求13※（1※）的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $