精品解析：内蒙古赤峰市松山区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

松山区2025-2026学年度上学期期中质量监测 八年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题3分，计24分） 1. 甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，P为上的一个动点（不与顶点A、B重合），则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为（ ） A. B. C. 0 D. 4. 如图，中，角平分线，，相交于点H，过H点作，垂足为G，那么和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不一定 5. 点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 三角形的重心是指( ) A. 三边高的交点 B. 三角角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边中垂线的交点 7. 如图，在中，，，是的平分线，过点D作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，若，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 8. 如图，中，，，的垂直平分线交于D，交于E．下述结论：①平分；②；③的周长等于；④D是中点．其中正确的命题是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是________． 10. 分别剪一些边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形、⑤正八边形，如果用其中的一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图案（填序号即可）______． 11. 如图，工人师傅在木门板上钉了一个加固板，从几何学的角度看，这样做的原理是______； 12. 如图，在直角三角形中，，，，P、Q两点分别在和的垂线上移动，且线段，则当______时，才能使与A、P、Q三点构成的三角形全等． 三、解答题（共64分） 13. 小明生日这天，妈妈给他买一块直角三角形蛋糕，其中一个锐角是，妈妈要求将此三角形分成三块形状、大小完全相同的蛋糕．需要聪明的你帮助小明用尺规作图（保留作图痕迹并用黑色水笔描一下，不写作法）来解决这个问题；同时用逻辑推理证明你的作法正确． 14. 如图，八年一班的同学在学校操场由西向东跑步，在M处测得旗杆顶P的方位是北偏东，又继续跑步米，在N处测得旗杆顶P的方位是北偏东． （1）此时队伍到旗杆底部的距离是多少米． （2）若旗杆周围米内有施工围帐，如果该班级队伍继续向东跑步，请问围帐对跑步线路有没有影响？请说明理由． 15. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）若在y轴上有一点P，使得线段的值最小，请你在图中标出点P的位置，并直接写出点P的坐标． 16. 如图，要测量池塘两岸的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长与有何关系？为什么？ 17. 如图，分别以的边，向外作等边三角形 和等边三角形，线段与相交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：平分． 18. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______； A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是______； A． B． C． D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是的中线，BE交AC于E，交AD于F，且．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松山区2025-2026学年度上学期期中质量监测 八年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题3分，计24分） 1. 甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 2. 如图，在中，，，P为上的一个动点（不与顶点A、B重合），则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由等边对等角，得，运用三角形内角和性质，列式计算得，根据三角形外角性质，得，又因为P为上的一个动点（不与顶点A、B重合），得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∵， ∴， ∵P为上的一个动点（不与顶点A、B重合）， ∴ ∴，， ∴， 故选：C． 3. 已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的符号，进而化简表达式。 【详解】∵ a, b, c 是 的三条边长， ∴，即， ∴； 又 ∵ ，即， ∴； ∴. 故答案选：B 4. 如图，中，角平分线，，相交于点H，过H点作，垂足为G，那么和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不一定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得，由此即可得． 【详解】解：∵在中，角平分线，，相交于点， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质．关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为， 故选：C 6. 三角形的重心是指( ) A. 三边高的交点 B. 三角角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边中垂线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据重心的概念：三角形三边中线的交点是三角形的重心进行解答即可． 【详解】解：三角形三边中线的交点是三角形的重心， 故选：． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形三边中线的交点是三角形的重心是解题的关键． 7. 如图，在中，，，是的平分线，过点D作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，若，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握的角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键． 先求出，由角平分线的定义可求，进而求出，，然后利用角的性质依次求解即可． 【详解】解：， ∴ ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，中，，，的垂直平分线交于D，交于E．下述结论：①平分；②；③的周长等于；④D是中点．其中正确的命题是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的顶角为，求出各角的度数，然后对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ∴平分，故①正确； ∴， ，故②正确； ∴的周长，故③正确； ∵， ∴不是的中点，故④错误． 综上所述，其中正确的命题是①②③． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：根据全等三角形的对应角相等，得 ． 故答案为： 10. 分别剪一些边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形、⑤正八边形，如果用其中的一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图案（填序号即可）______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意分别求出每一种正多边形的内角的度数，然后判断能否被360°整除进而可得答案． 【详解】解：∵正三角形的内角为60°，能被360°整除， ∴①正三角形可以镶嵌成一个平面图案； ∵正方形的内角为90°，能被360°整除， ∴②正方形可以镶嵌成一个平面图案； ∵正五边形的内角为，不能被360°整除， ∴③正五边形不可以镶嵌成一个平面图案； ∵正六边形的内角为，能被360°整除， ∴④正六边形可以镶嵌成一个平面图案； ∵正八边形的内角为，不能被360°整除， ∴⑤正八边形不可以镶嵌成一个平面图案； 综上所述，①正三角形、②正方形、④正六边形可以镶嵌成一个平面图案， 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查了正多边形的内角性质，解题的关键是熟练掌握正多边形的内角和定理以及内角性质． 11. 如图，工人师傅在木门板上钉了一个加固板，从几何学的角度看，这样做的原理是______； 【答案】利用三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，根据三角形的稳定性求解即可． 【详解】解：工人师傅在木门板上钉了一个加固板，从几何学的角度看，这样做的原理是利用三角形的稳定性． 故答案为：利用三角形的稳定性． 12. 如图，在直角三角形中，，，，P、Q两点分别在和的垂线上移动，且线段，则当______时，才能使与A、P、Q三点构成的三角形全等． 【答案】5或8 【解析】 【分析】本题考查了本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，分两种情况：当运动到时，证明，得到，当运动到与重合时，证明，得到，从而得到答案． 【详解】解：当运动到时， 在和中， ， ， ； 当运动到与重合时， 在和中， ， ， ， 综上所述：或， 故答案为：或． 三、解答题（共64分） 13. 小明生日这天，妈妈给他买一块直角三角形蛋糕，其中一个锐角是，妈妈要求将此三角形分成三块形状、大小完全相同的蛋糕．需要聪明的你帮助小明用尺规作图（保留作图痕迹并用黑色水笔描一下，不写作法）来解决这个问题；同时用逻辑推理证明你的作法正确． 【答案】 解：尺规作图保留痕迹： （二）已知：在中，，，平分，，垂足为G． 求证： 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 同理：， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和性质，全等三角形的判定与性质，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．充分理解题意，先作出的平分线，再作出的垂直平分线．然后先运用三角形内角性质，得，由角平分线的定义得，又因为，则，证明，同理：，即可作答． 【详解】解：①以A为圆心，任意长为半径画弧：交于点E，交于点F． ②分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧：两弧交于内部一点G． ③作射线：交于点D，即为的平分线（）． ④以D为圆心，适当长为半径画弧：交于两点H、I．分别以H、I为圆心，大于长为半径画弧：两弧交于下方一点J． ⑤作直线：交于点G，此时（）． 连接线段，得到三个全等三角形 连接、，则、、即为所求的三个全等直角三角形（均含角，大小形状相同）． 14. 如图，八年一班的同学在学校操场由西向东跑步，在M处测得旗杆顶P的方位是北偏东，又继续跑步米，在N处测得旗杆顶P的方位是北偏东． （1）此时队伍到旗杆底部的距离是多少米． （2）若旗杆周围米内有施工围帐，如果该班级队伍继续向东跑步，请问围帐对跑步线路有没有影响？请说明理由． 【答案】（1）（米） （2） 不影响跑步路线， 理由： 在中，∵， ∴（米）， ∵P点周围米有围帐，P到直线的距离米， ∴不影响跑步路线． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握含度直角三角形的性质是解题的关键， （1）过点P作的垂线，由题意得，从而得到，即可求解； （2）在中，由于，再根据直角三角形的性质得到，从而得到答案． 【小问1详解】 解：过点P作的垂线，垂足为C，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， 【小问2详解】 略 15. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）若在y轴上有一点P，使得线段的值最小，请你在图中标出点P的位置，并直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，点 （2）2 （3） 如图所示，在轴上取点，连接， 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，根据轴对称求线段和最小问题，求三角形的面积， 对于（1），先作三个顶点关于x轴的对称点，再依次连接即可； 对于（2），根据矩形的面积减去三个三角形的面积解答； 对于（3），先作点A关于y轴的对称点，可得，根据三角形两边之和大于第三边得，即可得出最小值，观察图象得出坐标即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：作点A关于y轴的对称点，可得， ∴点三点共线时，交y轴于点，此时的点即为所求点的位置， 则， ∴线段的最小值为， 点P的坐标为． 16. 如图，要测量池塘两岸的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长与有何关系？为什么？ 【答案】 ，理由如下： ∵，， ∴． ∵E、C、A三点在同一条直线上， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得，，又因为，证明，即可作答． 【详解】略 17. 如图，分别以的边，向外作等边三角形 和等边三角形，线段与相交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：平分． 【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）的度数为； （3） 证明：过点分别作，，垂足为点，， 由（）知：， ∴， ∴， ∴， ∴点在的平分线上，即平分． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用． （）根据等边三角形性质得出，，，求出，根据证即可； （）根据全等求出，在中根据三角形的内角和定理和即可求出答案； （）过点分别作，，垂足为点，，根据三角形的面积公式求出，根据角平分线的判定即可求证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）知：， ∴， ∴， ∴在中， ； 【小问3详解】 略 18. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______； A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是______； A． B． C． D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是的中线，BE交AC于E，交AD于F，且．求证：． 【答案】（1）B． （2）C． （3）证明：如图2 延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． (1)根据，，推出和全等即可． (2)根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可． (3)延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】(1) 是中线， ， 在和中， ． 故选B． (2)由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故选C． (3)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $