期中复习专题4 分式-2025-2026学年青岛版数学八年级上册

专题4 分式 一、选择题:本题共5小题,每小题3分,共15分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列代数式是分式的是( ) A. B. C. 2xy D. 2.下列各式,,,,,中,分式共有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.与分式相等的是( ) A. B. C. D. 4.下列分式中,属于最简分式的是( ) A. B. C. D. 5.甲乙两个码头相距s千米,某船在静水中的速度为a千米/时,水流速度为b千米/时,则船一次往返两个码头所需的时间为小时. A. B. C. D. 二、多选题:本题共1小题,共4分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 6.下列各式变形正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。 7.若分式的值为零,则x的值为_. 8.若,且,则分式的值为_. 9.不改变分式的值,使分子分母中的最高次项系数都是正数,则 . 10.若分式的值为0,则x的值为_. 11.已知,则_. 12.定义:若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这个分式为“和谐分式”.例如:,则是“和谐分式”.若分式的值为整数,则整数x的值为 . 四、解答题:本题共7小题,共56分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 13.本小题8分 先化简,再从1,,中选择合适的x值代入求值. 14.本小题8分 计算: 15.本小题8分 计算: ; ; 16.本小题8分 先化简,再求值:,且a的值满足; 17.本小题8分 阅读理解: 材料1:我们为了研究分式的值与分母x的关系,制作如下表格: x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察,当时,随着x的增大,的值随之减小,并无限接近0;当时,随着x的增大,的值也随之减小. 材料2:对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式. 例如:;再如: 请根据上述材料完成下列问题: 当时,随着m的增大,的值_填“增大”或“减小”; 当时,随着m的增大,的值_填“增大”或“减小”; 当时,随着m的增大,的值无限接近一个数,请求出这个数. 18.本小题8分 阅读下列等式… 请解决下面问题: 【探索发现】 请用含n的等式总结以上的规律,并说明等式成立的理由; 【结论应用】 求的值; 【拓展提升】试一试,解方程: 19.本小题8分 我们给出定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如:,则称分式是“巧分式”,4x为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题. 下列分式中是“巧分式”的有_填序号; ①;②;③ 若分式为常数是一个“巧分式”,它的“巧整式”为,求m的值; 若分式的“巧整式”为 ①求整式 ②是“巧分式”吗? 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解:A、不是分式,故此选项不符合题意; B、是分式,故此选项符合题意; C、2xy不是分式,故此选项不符合题意; D、不是分式,故此选项不符合题意; 故选: 一般地,如果A、表示两个整式,且B中含有字母,那么式子就叫做分式,由此判断即可. 本题考查了分式的定义,熟知分式的定义是解题的关键. 2.【答案】D 【解析】解:,,,的分母中含有字母,是分式,共有4个. 故选: 判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式. 本题主要考查分式的定义,在解答此题时要注意分式是形式定义,只要是分母中含有未知数的式子即为分式. 3.【答案】B 【解析】解:改变分子分母的符号,分式的值不变, 故选: 根据分式的分子、分母、分式的值,改变其中的两个的符号,分式的值不变,可得答案. 本题考查了分式的性质,分式的分子、分母、分式的值,改变其中的两个的符号,分式的值不变. 4.【答案】C 【解析】解:A、,不是最简分式,不符合题意; B、,不是最简分式,不符合题意; C、,是最简分式,符合题意; D、,不是最简分式,不符合题意; 故选: 根据最简分式的概念判断即可. 本题考查的是最简分式,一个分式的分子与分母没有公因式时,叫最简分式. 5.【答案】D 【解析】解:根据题意得: 故选: 根据顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度,分别表示出船往返的速度,由时间=路程时间表示出往返所需的时间即可. 此题考查了列代数式,弄清题意是解本题的关键. 6.【答案】BC 【解析】解:,则A不符合题意; ,则B符合题意; ,则C符合题意; ,则D不符合题意; 故选: 利用分式的加减法则及性质逐项判断即可. 本题考查分式的加减法及性质,熟练掌握其性质及运算法则是解题的关键. 7.【答案】2 【解析】解:根据题意,得 ,且, 解得, 故答案是: 分式的值为零:分子,且分母 本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:分子为0;分母不为这两个条件缺一不可. 8.【答案】 【解析】【分析】 此题主要考查了分式的值,正确将已知代入是解题关键.直接利用已知代入分式化简得出答案. 【解答】 解:,且, , 则分式 故答案为: 9.【答案】 【解析】解:由题意, 依据题意,由,即可得解. 本题主要考查了分式的基本性质,解题时要熟练掌握并利用分式的基本性质进行变形是关键. 10.【答案】 【解析】解:由题意可得,解得, 又, 分式的值为0的条件是:分子;分母两个条件需同时具备,缺一不可. 由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件,所以常以这个知识点来命题. 11.【答案】3 【解析】解:由可知: ; 化简得:; 则,即, 所以, 故答案为: 先将等式右边的式子进行通分化简,再与右边的式子进行比较即可求解. 本题主要考查了分式的加减,掌握分式的加减法则是解题的关键. 12.【答案】 【解析】解: , 分式的值为整数, 的值为整数, 的值为整数, , 或, 当时,分式无意义, 故答案为: 先根据新定义,对原分式进行化简整理得到为整数,则可得到,解得或,又因时,分式无意义,故可得到x为 本题考查了分式的运算,涉及到分式有意义的条件的应用,熟练掌握分式的运算法则是解题的关键. 13.【答案】解:原式 , 且, 可以取, 当时,原式 【解析】先把括号内通分,再进行同分母的减法运算,接着约分得到原式,然后根据分式有意义的条件把代入计算即可. 本题考查了分式的化简求值,解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为 14.【答案】解: ; 【解析】先通分,再进行加减运算即可; 先算括号里的运算,再算分式的乘除法即可. 本题主要考查分式的混合运算,解答的关键是对相应的运算法则的掌握. 15.【答案】解:原式 ; 原式 ; 原式 【解析】先通分,再进行同分母的减法运算,然后约分即可; 先把分子分母因式分解,再把除法运算化为乘法运算,然后约分即可; 先把括号内通分,再进行同分母的减法运算,接着把除法运算化为乘法运算,然后约分即可. 本题考查了分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但有时应先根据题目的特点,运用乘法的运算律进行灵活运算. 16.【答案】解: , , , 原式; 【解析】先通分括号内的式子,同时将括号外的除法转化为乘法,再约分,然后根据可以得到,再将代入化简后的式子计算即可; 先算分式的乘方,然后将除法转化为乘法,再约分即可. 本题考查整式的混合运算、分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 17.【答案】减小;减小; 【解析】解:当时,随着m的增大,的值随之减小, 当的值减小时,的值也随之减小, 当时,的值也随之减小, 故答案为:减小; , 当时,随着m的增大,的值随之减小, 当的值减小时,的值随之减小, 当时,随着m的增大,的值 随之减小, 故答案为:减小; , 当时,随着m的增大,的值随之减小,并无限接近0; 的值也随之减小,并无限接近3, 即:当时,随着m的增大,的值无限接近3, 答:当时,随着m的增大,的值无限接近 根据示例,可得到当时,随着m的增大,的值随之减小,从而得到的值也随之减小,得到结果; 当时,随着m的增大,的值随之减小,的值随之减小,从而得到结果; 当时,随着m的增大,的值随之减小,并无限接近0;从而得到随着m的增大,的值无限接近 本题考查了分式运算,规律的探究,能从材料中得到相应规律并加以应用是解题的关键. 18.【答案】解:由题知, 因为,,,…, 所以第n个等式可表示为:为正整数 理由如下: 右边 左边, 所以此等式成立. 由知, 原式 因为… , 所以原方程可化为:, 则, 解得, 经检验是原方程的解. 【解析】根据所给等式,发现各部分的变化规律即可解决问题. 根据中发现的规律进行计算即可. 根据中发现的规律进行计算即可. 本题主要考查了数字变化的规律,能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键. 19.【答案】解:①③; 分式为常数是一个“巧分式”,它的“巧整式”为, , , ; ①分式的“巧整式”为 , ,即; ②, 又是整式, 是“巧分式”. 【解析】解:,是整式, ①是“巧分式”; ,不是整式, ②不是“巧分式”; ,是整式, ③是“巧分式”; 故答案为:①③; 分式为常数是一个“巧分式”,它的“巧整式”为, , , ; ①分式的“巧整式”为 , ,即; ②, 又是整式, 是“巧分式”. 根据“巧分式”的定义,逐个判断得结论; 根据“巧分式”的定义,得到关于的方程,求解即可; ①根据给出的“巧分式”的定义求解即可;②将A代入,约分后看是否是一个整式,即可得出结论. 本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算.解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $