2.5.2椭圆的几何性质（第一课时） 教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学教案聚焦椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率），通过问题串导入，类比指数函数学习路径，从椭圆标准方程出发，引导学生认识用代数方法研究几何性质的必要性，搭建前后知识联系的学习支架。 此教案以问题驱动探究，如通过具体方程分析范围、对称性等几何特征，再推广到一般标准方程，离心率探究体现从特殊到一般的逻辑推理，培养数学抽象与逻辑推理核心素养。采用引导启发与讲练结合，学生自主总结方法，例练结合巩固知识，为教师提供清晰教学路径，助力学生掌握解析几何研究方法。

课题 2.5.2 椭圆的几何性质 （一） 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第一册 章节 第二章第五部分第二小节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 1.掌握椭圆的范围、对称性、中心、顶点、轴、离心率等几何性质，能够应用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。 2.会根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程。 重点：应用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质. 难点：椭圆的离心率. 教材分析 本节课选自《 人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习椭圆的几何性质。根据曲线的方程研究其几何性质，并正确地画出图形，是解析几何研究的基本问题之一.本小节是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，第一次较为系统地学习在解析几何中如何用代数方法研究曲线的性质，对后续双曲线、抛物线，乃至一般曲线的研究，起到重要的示范与标杆作用. 教学方法和手段 教学方法：观察思考、引导启发、讲练结合 教学手段：PPT课件 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 新课 导入 创设问题情境：在指数函数的学习中，研究了定义之后，接着研究什么问题？学习了椭圆的标准方程之后，接下来该研究什么？如何研究椭圆的性质？ （学生思考讨论，部分学生可能会想到借助图象研究性质，教师适时引导学生：图象观察得出的性质受图形准确性的影响，而要确保图形的准确性并非易事，由此发现直观判断的不严谨，对图形的认识需要转化为对方程的研究） 过渡：椭圆在我们的生活中经常出现，下面我们由椭圆的方程来研究椭圆具有的几何性质。 通过问题串的方式引入，从体系的需要出发，让学生分析研究的路径并找出合适的方法，激发进一步探索的欲望。 新课 讲解 知识点：椭圆的几何性质 【问题1】 已知椭圆C的方程为+=1，根据这个方程完成下列任务： （1） 观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出椭圆C在平面直角坐标系中的位置特征； （2）指出椭圆C是否关于x轴、y轴、原点对称； （3）指出椭圆C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标。 （教师引导学生先分析方程的代数特征，并把每个代数特征用几何语言表示，之后回答上述三个问题，教师进行评析） 教师提问：接下来给大家时间先阅读教材P136页上半部分的内容，之后找学生总结出从方程的角度观察曲线的对称性、曲线的顶点、曲线的范围的思想方法。 学生阅读教材，回答问题： (1)在曲线方程里，如果以-y代替y方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，它关于x轴的对称点(x，-y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。同理，如果以-x 代替x方程不变，那么曲线关于y轴对称；如果同时以-x代替x，以-y代替y方程不变，那么曲线关于原点对称. (2)如果曲线具有对称性，方程在对称处的x或y值存在，就能得到曲线的顶点或对称中心，它们与x或y的值有关. (3)由方程中的x²≥0或y²≥0可以得到曲线的范围. 教师引导：一般地，如果椭圆C的标准方程是+＝1（a>b>0）①，请大家按照刚才的思路方法总结得出焦点在x轴上的一般的椭圆的几何性质. （学生总结，教师完善，得出结论） 【问题2】 （1）根据椭圆离心率的定义，椭圆离心率的取值范围是什么？ （2）椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系？并尝试证明. （对于第（1）问，学生根据a>c>0，不难得出0<e<1；对于第（2）问，教师引导学生先从特殊情况入手分析，可以先在演算纸上画出几个特殊的椭圆的简图，分别求出它们的离心率，观察离心率大小与椭圆形状的关系，之后鼓励学生归纳猜想得出一般结论，最后结合教师给出的图片师生共同对结论进行证明） 预设答案： （1）因为a>c>0，所以 ，即椭圆的离心率0<e<1 . （2）因为 ， 这说明e越趋近于1，则 的值越小，因此椭圆越扁； 反之，e越趋近于0，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆. 当固定a不变时，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从图中看出来. 即e越趋近于1，椭圆越扁； 越趋近于0，椭圆就越接近于圆. 【问题3】如果椭圆的标准方程是=1（a＞b＞0）②，那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中，哪些与焦点在x轴上的椭圆是有区别的？ （学生自主探究焦点在y轴上的椭圆的几何性质，之后师生共同总结结论） 学生回答：②式表示的椭圆，焦点坐标为（0，-c），（0，c），椭圆上点的坐标的取值范围是-a≤y≤a且-b≤x≤b；长轴的两个端点是A1(0，－a)，A2(0，a)；短轴的两个端点是B1(－b，0)，B2(b，0).除此以外，对称性、长轴长、短轴长、离心率等都与焦点在x轴上的椭圆是一致的。 【例1】求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 【答案】：10，8；；F1(－3,0)和F2(3,0)；A1(－5,0)，A2(5,0)；B1(0，－4)和B2(0,4)． 用具体的问题对椭圆方程进行探究，让学生体会研究方法及蕴含的数学思想，继而从特殊到一般，用这些思想和方法研究一般的椭圆的几何性质. 探索离心率的范围和作用，探究过程遵循从特殊到一般再到特殊的原则，符合事物认知的规律，有利于培养学生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理的核心素养。 当堂 练习 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 设计一系列练习题，让学生在实际操作中巩固和应用所学的椭圆的几何性质。 课堂 总结 回顾本节知识，总结概括. 总结本节课的学习重点和难点，强调椭圆的几何性质。 板书设计 标题 2.5.2 椭圆的几何性质 第一课时 主要内容 一、椭圆的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 二、例题讲解 三、当堂练习 四、小结 教学设计反思 在本节课中，我主要致力于帮助学生理解椭圆的标准方程以及椭圆的几何性质，如范围、对称性、顶点、焦点和离心率等。从课后作业和课堂表现来看，大部分学生能够掌握这些基本概念，并能够初步应用它们解决一些简单问题。然而，也有部分学生在理解和应用离心率这一性质时存在一些困难。 然而，我也意识到在授课过程中，有些地方的讲解可能不够深入或清晰，导致学生难以完全理解。例如，在介绍离心率时，我可能没有充分解释其与椭圆形状的关系，导致部分学生难以把握这一概念的实质。 学科网（北京）股份有限公司 $