导数及其应用 专项提升训练-2026届高三数学一轮复习

2026一轮复习数学专练：导数及其应用（提升版） 一、单选题 1．已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．若函数满足：对任意非零实数，均有，则我们称函数为“倒数偶函数”．若是倒数偶函数，则的所有极值点的乘积为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线l上方，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．设函数满足，且在上单调递增，则的范围是（为自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（   ） A．函数有两个极值点 B．函数在单调递增 C．，函数恰有两个零点 D．，函数在上有最大值 10．已知定义域为R的奇函数满足：当时，；当时，．下列说法正确的有（    ） A．的周期为2 B．当时， C．若，，则 D．若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是 11．已知，函数的图象记为，的图象记为.则（    ） A．函数只有一个零点 B．与没有共同的切线 C．当时，曲线在曲线的下方 D．当时， 12．瑞士数学家Jakob Bernoulli于17世纪提出如下不等式：，有，请运用以上知识解决如下问题：若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知函数，若存在，使得，则实数a的最小值为 ． 14．已知对任意实数都有，且，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 . 15．已知函数，若存在，且，，使得恒成立，则实数的取值范围是 . 16．若对一切恒成立，则的最大值为 . 四、解答题 17．已知函数. （1）当时，不等式成立，求整数的最大值；（参考数据：）； （2）证明：当时，. 18．设． (1)求函数的单调区间； (2)若的三个顶点均在半径为的圆周上，求面积的最大值． 19．已知函数． （1）恒成立，求a的取值范围； （2）当时，求在区间的最小值； （3）证明：当时，． 20．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数的最大值为，求证：. 21．已知函数． (1)当时，求的极值． (2)讨论的单调性； (3)当时，求证：． 22．已知函数在处的切线和直线垂直. (1)求实数的值； (2)若对任意的，，都有成立（其中为自然对数的底数），求实数m的取值范围. 23．设函数，． (1)若函数在点处的切线方程为，求a，b； (2)若方程有两个不同的实数根，求b的取值范围． 24．已知函数，其中为实数，是自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若为的导函数，在上有两个极值点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026一轮复习数学专练：导数及其应用（提升版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D B D C A ACD BD 题号 11 12 答案 AC ABC 1．A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】由题意可说明0为的唯一零点,然后求函数的导数，并令导数等于0，求得，根据导数的正负判断函数的单调性，说明，进而说明的最小值为，从而可得，结合对数的运算，求得答案． 【详解】由题意知函数有且只有1个零点， 而，故0即为的唯一零点， 因为，且， 故 ，所以 有唯一解， 令，则， 对于任意 ，都有， 故在R上单调递增， 则时，，时，， 故函数在时单调递减，在时单调递增， 故 ； 若，当时，， ， 则 ，因此当 且 时，， 此时在内有零点，则至少有两个零点，与题意不符； 故，则的最小值为， 因为由题意知0为的唯一零点，故 ， 即，则， 即值为1. 故选：A 2．C 【知识点】根据极值点求参数、函数新定义 【分析】利用可得出关于、的方程组，解出、的值，可得出函数的解析式，利用导数求出，根据极值点的定义可得结果. 【详解】因为， 由于，即， 整理可得 ， 所以，，即，解得或， 当，或，时， 则， 由，可得，， 故方程有两个不等的实根、，不妨设，易知， 且当或时，；当或时，. 因此，函数的极值点之积为. 故选：C. 【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算，求得的值，再验证极值点．由于导数为的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误． 3．C 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、利用导数研究函数图象及性质、直线过定点问题 【分析】由定义域得为正整数，由导数法研究的图象，直线l过定点，由数形结合可判断的值，进而列不等式组确定参数范围. 【详解】点在直线l上方，即，因为，所以有且仅有一个正整数解. 设，则单调递增；单调递减，所以. 又，故可得图象如下图， 直线过定点， 当，有无数个正整数解，不合题意，故， 又有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：直线l过定点，则原命题可转化为直线l绕定点旋转，从而满足条件，可由导数法研究的图象，由数形结合列式求解. 4．D 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】导数研究单调性，将题设转化为成立，即上递减，进而有恒成立，导数研究右侧最大值，即可求参数范围. 【详解】当时，， 故， 故， 令，则， 令，故， 令，故， 故当时，， 当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故，解得， 故实数的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用导数研究单调性，将问题最终转化为恒成立. 5．B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、柯西不等式求最值 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到与的关系，然后对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由得，则，即， 则，得， 所以，代入得， 因为，所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即等号成立. 故选：B. 6．D 【知识点】指数式与对数式的互化、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题意令，易得，令，应用导数研究单调性，进而求其最大值即可. 【详解】由题意，令， ∴，，则， 令，则，而， ∴当时，，即单调增；当时，，即单调减， ∴当时，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：令用t表示m、n，构造，利用导数求最值. 7．C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较函数值的大小关系 【解析】构造函数，利用导数判断其单调性，由已知可得，， ，；，，进而利用单调性可得答案. 【详解】令， ， 时，，则在上递减， 时，，则在上递增， 由可得， 化为 ∴，则， 同理，；，， 因为，所以， 可得， 因为在上递减，， ∴， 故选：C． 【点睛】方法点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内分别令求得的范围，可得函数增区间，由求得的范围，可得函数的减区间. 8．A 【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出，根据函数的单调性得到在上恒成立，即可求出的范围. 【详解】令，由，得， 所以，，令. 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，故. 因为函数在上单调递增，故在上恒成立， 即，得. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题． 9．ACD 【知识点】求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导函数分析函数的极值点及单调性可判断A，B；取特殊值，可解得函数的零点个数，从而判断C；利用函数单调性求得极大值，再与端点值比较大小确定最大值，可判断D. 【详解】由求导可得， 令， 则， 所以方程有两个不相等的实数根，设为，不妨令； 对于A，则时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以函数有两个极值点，故A正确； 对于B，根据韦达定理，， 若，则，则， 所以，时，，单调递减； 时，，单调递增，故B错误； 对于C，取时，， 令，解得或， 此时，函数恰有两个零点，故C正确； 对于D，因为，所以，则， 所以，时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以，函数在处取得极大值， 又，则， 又因为， 所以， ， 所以，即， 则函数在处取得极大值就是在上的最大值， 故D正确. 故选：ACD. 10．BD 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围、求过一点的切线方程、求等比数列前n项和 【分析】根据所给条件求出函数在上的解析式，再根据奇偶性求出函数在上的解析式，即可判断A、B，根据等比数列求和公式求出，再求出其最大值，即可求出的取值范围，即可判断C，将方程的根问题转为与在上恰有三个交点，画出函数图象，利用导数的几何意义求出参数的取值范围，即可判断D； 【详解】解：因为当时，；当时，， 所以当时， 又是定义在上的奇函数，所以当时，故A错误，B正确； 因为 ， 所以，因为在上单调递减，所以， 所以，故C错误； 因为方程在上恰有三个根，则与在上恰有三个交点， 因为直线恒过定点，所以， 其中为点和连线的斜率，所以； 为与曲线相切时的斜率，设切点为，则， 因为，所以，所以切线方程为， 将点代入可得，解得， 所以，所以，故D正确； 故选：BD 【点睛】关键点点睛：对于方程的根的个数通常转化为函数与函数的交点问题，数形结合法是解决这类问题较好的选择. 11．AC 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数，根据函数零点、切线、最值、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，， ，在区间上，单调递减； 在区间上单调递增， 由于，所以函数只有一个零点，A选项正确. C选项，由上述分析可知恒成立， 所以恒成立，且当时，， 所以当时，曲线在曲线的下方，C选项正确. B选项，， 所以和在点处的切线方程为，所以B选项错误. D选项，当时，， 令， ，由于，所以， 即，所以D选项错误. 故选：AC 【点睛】关键点睛：利用导数研究函数的零点，主要是利用导数求得函数的单调区间、极值点等，部分题目要结合零点存在性定理来判断函数零点的个数.求解曲线的切线方程，关键点是切点和斜率，斜率可利用导数求解，也可以利用切线上两个点的坐标来求得. 12．ABC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由不等式的性质比较数（式）大小、导数新定义 【分析】不妨设，根据选项C的结构构造函数，利用导数研究其单调性，结合题目不等式结论即可判定正确，再根据题目不等式结论证明得及，相加即可判断B正确，结合C判断A正确，得解. 【详解】不妨设，先证明C：证明在上单调递减即可. ，即要证明， 即要证明， 因为，得证， 所以，即，故选项C正确，D错误； 再证明B：，因此， 同理，故，且，所以AB正确. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 13．4 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】应用导数研究函数的单调性，求得函数的最值，结合条件，求得结果，将题的条件转化是解题的关键 【详解】解：由题意知：， 即，使得成立， 则令， ， ， ∴使得，可得， 时，递减， 时，递增， ， 即可， 又，． 故答案为4． 14． 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题设中导数与原函数的关系可求得，利用导数讨论其符号后可得其图象，结合图象可求参数的取值范围. 【详解】设，则， 故即即， 而，故，所以，故， 当时，，当，， 故在上单调递减，在上单调递增，， 而时，，时，， 令，则的图象如图所示， 因为不等式的解集中恰有两个整数，且， 故结合图象可得即，故    故答案为：. 【点睛】方法点睛：不等式的整数解个数问题，应利用导数刻画函数的单调性后刻画函数的图象，结合不同图象的位置求出参数的取值范围. 15． 【知识点】利用导数研究函数图象及性质 【分析】作出图象，观察可知关于对称，设，构造关于的函数，求解最值可得. 【详解】 作出图象，如图所示，设，则，，. 令，则，所以， 所以当时，，所以在上单调递增，所以当时，， 所以，所以由函数图象可知，所以. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题，数形结合是求解函数问题的常用法宝，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 16．/ 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，再构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，即可得解. 【详解】由题意可得对一切恒成立， 令，则， 当时，，故在上单调递减， 此时在上无最小值，不符合题意， 当时，令，有，令，有， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 当满足题意，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而得到，即可得，再构造函数，求出其最大值即可得. 17．（1）最大值为3；（2）见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】（1）先求导可得,设,由可判断在上为增函数,由可得使得,则,进而求解即可； （2）要证,即证,设,利用导函数判断的单调性,由,进而求解即可. 【详解】（1）当时,, 令,则, 因此在上为增函数, 又, ∴使得,即, 当时,,为减函数；当时,,为增函数； ∴,所以整数的最大值为3 （2）法一：要证,即证, 令,则, 令,则,, ∵,∴在上为增函数,又,∴, ∴在上为增函数,又,∴, ∴在上为增函数,又,∴,即, ∴在上为增函数,∴,故. 【点睛】本题考查利用导函数处理函数恒成立问题,考查利用导函数证明不等式,考查利用导函数判断函数的单调性. 18．(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间； （2）结合三角形面积公式和三角函数的性质求出面积的最大值. 【详解】（1），令，，，的单调增区间为； 令，，，的单调减区间为 ． 综上所述，函数的单调增区间为，单调减区间为 ． （2）不妨设为锐角，设为圆心，如图所示，   ，． 由第（1）问可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，． 当为等边三角形时，． 综上所述，面积的最大值为． 19．（1）；（2）见解析；（3）证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）运用参变分离将问题转化为在上恒成立．令，，求导，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和最值，可求得a的范围； （2）当时，，求导，分，两种情况分别讨论其导函数的符号，得到原函数的单调性和最小值； 当时，，，单调递增，； （3）将原问题转化为当时，．令．求导，分析导函数的符号，得出原函数的单调性，求得最值，由此可得证. 【详解】解：（1），恒成立，即为，也就是在上恒成立． 令，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 在时，取到极小值也是最小值，， 所以； （2）当时，， 当时，时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴时取到极小值也是最小值，即， 当时，，，单调递增，； （3）证明：要证当时，．即证当时，． 由（2）知当时，函数在处的最小值为， 令．∴，由得， 所以在得函数，在为减函数，所以， 当时，． 即当时，． 【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式. 总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现. 20．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导之后，按和分类讨论即可（2）利用（1）的结论，先求得，从而得到不等式，再赋值累加，求和之后放缩即可证明 【详解】（1）的定义域为 当时，在上恒成立，故在上单调递减 当时，，且时，，时， 即在上单调递增，在上单调递减 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）由（1）知，当时，在上单调递减，无最值 当时，在上单调递增，在上单调递减 则依题意， 设， 则，则且当时，；时， 所以当时，单调递减；当时，单调递增 所以 所以，当且仅当时取等号 所以 所以 令 ，则 不等式得证 21．(1)极大值为，无极小值 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、二项展开式的应用、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求出函数的极大值和极小值； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出函数的增区间和减区间； （3）当时，计算得出，然后利用二项式定律结合基本不等式可证得所求不等式成立. 【详解】（1）当时，，其中， 则， 令可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，函数的极大值为，无极小值. （2）的定义域为， ， 当时，对任意的，，此时，函数的增区间为，无减区间； 当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为. （3）当时，，其中，则， ， 记， 则 ，当且仅当时，等号成立， 故，故. 22．(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求得，得到，根据题意得到，即可求解； （2）不妨设，根据题意转化为，设，转化为在单调递增，即在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得，可得 因为函数在处的切线l和直线垂直，所以， 即，解得. （2）解：不妨设，则， 因为对任意的，，都有成立， 可得，即， 设，则，故在单调递增， 从而有，即在上恒成立， 设，则， 因为， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 又因为，故在上最小值，所以， 实数的取值范围是. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 23．(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）方程即为，设，利用导数求出函数的单调区间及最值，进而可得出答案. 【详解】（1），则切线的斜率为， 又，所以函数在点处的切线方程为， 即，所以，解得； （2）方程即为，即， 设， 则“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零点”， ， 当时，恒成立，所以在上是增函数，至多有一个零点，不合题意； 当时，由得， 此时：若，则，单调递减； 若，则，单调递增， 所以， 由函数有两个零点得，解得， 当时，有， 因为，所以在内有一个零点． 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，故． 所以在上单调递增， 所以， 所以，所以在内也有一个零点， 即当时，函数有两个零点， 所以实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 24．(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）分析可知在上有两个变号零点，分、两种情况讨论，在时，由在上单调递增可知结论不成立；在时，可得出，，利用导数分析函数的单调性，根据函数在上有两个异号零点可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）解：当时，，则， 则，，切点坐标为， 切线方程为，即． （2）解：，则， 令，则， 由在上有两个极值点知在上有两个变号零点， ①当时，时，，则函数在上单调递增， 不可能有两个零点，舍去； ②当时，，令， 则， 由于，则，令，即，可得，即， 当时，，，则， 所以，在上单调递增， 当时，，则，则， 所以，在上单调递减， 所以，， 又因为，， 要使在上有两个变号零点，则，解得. 【点睛】关键点点睛：本题第2问考查利用函数的极值点个数求参数的取值范围，在时，通过变形，构造，将问题转化为函数在上有两个异号零点，将函数解析式由难变易，简化了计算与分析. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $