专题三导数及其应用 专项训练——2026届高三数学一轮复习

2026年山东省高考一轮复习专题成果检测----专题三导数及其应用 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 2．（本题5分）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数是上的增函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，且，则（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 11．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．在上单调递减 B．的极大值为2 C．有三个零点 D．曲线在处的切线斜率为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 13．（本题5分）若直线（k为常数）是曲线的一条切线，则 ． 14．（本题5分）已知函数，若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 16．（本题15分）（1）已知函数，求在上的单调区间； （2）若，证明：． 17．（本题15分）已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 18．（本题17分）已知函数． (1)若函数在处的切线垂直于直线，求a的值； (2)若函数在单调，求a的取值范围； (3)当时，若（其中是函数的导函数），求证：． 19．（本题17分）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 2．D 【分析】对函数求导，应用导数的几何意义求切线方程. 【详解】由题设，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D 3．B 【分析】根据题意结合奇函数的定义可得，求导代入运算求解即可. 【详解】因为是奇函数， 则， 可得，即， 则，， 可得，解得. 故选：B. 4．C 【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围. 【详解】由，，可得：，令， 依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点. 又，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故时，取得极大值，且当时，，当时，， 故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得. 故选：C. 5．C 【分析】把问题转化为：存在，使得成立，再设，，分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【详解】由， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由， 问题转化为存在，使得成立， 设，， 则， 由；由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 故选：C 6．D 【分析】求出函数的导数，由在上有两个变号零点求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 7．A 【分析】根据导函数大于等于零建立不等关系，分类讨论参数的范围进行确定. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以恒成立， 不等式化为， 若时，， 则时，，不符合题意； 当时，令， 得，或， 若，即时， 不等式的解为或者， 不符合题意； 当，即时， 不等式恒成立，符合题意； 若，即时， 不等式的解为或者， 不符合题意. 综上知，. 故选： 8．C 【分析】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【详解】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 9．CD 【分析】利用初等函数的导数公式以及复合函数求导法则、导数的运算法则，可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，，A错误； 对于B选项，，B错误； 对于C选项，，C正确； 对于D选项，，D正确. 故选：CD. 10．ACD 【分析】根据可判断A；根据可判断B；求导即可研究其单调性判断C；根据单调性求其最小值即可判断D. 【详解】因，则，故A正确； ，则，故不是奇函数，B错误； ，令，则， 则在上单调递增，则， 故在上单调递增，C正确； 的定义域为，由C选项可知，在上单调递增， 因，， 则存在使得，即，， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因，则，则，等号成立时， 故，则，故D正确. 故选：ACD 11．ABCD 【分析】对函数求导，根据导数的区间符号研究单调性，进而确定极值、零点及切线斜率判断各项的正误. 【详解】由题设，则，D对， 当或时，，当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减，A对， 所以极大值为，极小值为，时，时， 所以在、、上各有一个零点，共有3个零点，B、C对. 故选：ABCD 12． 【分析】设，求得，得出单调性和最小值，再设，求得，得出的单调性与最大值，结合不等式恒成立，得到实数的取值范围. 【详解】设函数，可得， 当时，可得，在上单调递减； 当时，可得，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值，所以， 再设函数，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也是最大值，所以， 要使得不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13． 【分析】先求曲线在点处的切线斜率，再利用“切点的双重属性”建立方程，最后解联立后的方程得到切点横坐标，代入斜率表达式，最终求出切线斜率. 【详解】因为，则， 设切点为，则切线斜率为，同时切点既在曲线上，也在切线上，则： 曲线方程：， 切线方程：； 联立方程得， 化简得 ， 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又， 故解得 ， 将代入，得：. 故答案为：2. 14． 【分析】根据题意，求得的定义域为，且，分，，和，四种情况讨论，求得函数的单调性，结合函数极值点的概念，即可求解. 【详解】由函数的定义域为， 且， 若，即，则，此时单调递减，无极值点，不符合题意； 若，当时，0；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，此时只有一个极值点，不符合题意； 若，则方程有两个实数根， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时只有一个极值点，不符合题意； 若，则方程有两个实数根为， 当或时，； 当时，， 所以的单调递减区间为，，单调递增区间为， 所以当时，函数有两个极值点， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）由指数函数和对数函数的关系即可直接得解； （2）先由题设分析得到，再利用导数工具研究函数的单调性和最值，结合即可求解. 【详解】（1）依题意得； （2）由题对恒成立， 当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且， 则函数无最小值，不符合，所以， 所以为增函数，令， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，所以. 综上所述，. 16．（1）递增区间为，无递减区间；（2）证明见解析 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可得解； （2）由，得，则要证，只需证明，令，构造函数，求出函数的最小值即可得证. 【详解】（1）， 求导得， 由，得， 令函数，则， 函数在上单调递增， 则当时，，即， 因此函数在上单调递增， 所以函数在上的递增区间为，无递减区间； （2）由，得， 则要证，只需证明， 令，即证， 令，求导得， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 又， 则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则， 所以当时，. 17．(1)极小值为1，无极大值 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值与导数的关系，即可求得答案； （2）先判断出，即可将方程有两个不等实根，转化为与有2个交点的问题，结合函数的导数判断函数单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为R，， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为，无极大值． （2）方程，当时，显然方程不成立， 所以，则，方程有两个不等实根， 即与的图象有2个交点， ，当或时，， 在区间和上单调递减，且时，， 当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得极小值也即最小值，， 所以与有2个交点时，， 故a的取值范围为． 18．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，结合两直线垂直的斜率关系，利用导数的几何意义列式即可求解； （2）由已知得在上恒成立，参变分离得在上恒成立，利用基本不等式求解即可； （3）由题意，利用韦达定理得，进而利用基本不等式得，，令，则，利用导数法求解值域即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 由直线的斜率为，得，， ，解得． （2）由已知得在上恒成立， 即，即在上恒成立，， ，当且仅当时即等号成立，， a的取值范围为． （3）当时，，， 令，得， ，是方程的两个根． 由根与系数的关系得：，即， 又，， ， 令，，则， ， 在上为增函数，， 从而． 19．(1)极大值为，无极小值. (2) (3). 【分析】（1）若，则，利用导数研究函数的单调性即可求解； （2）若对任意的恒成立，即,只需，利用导数研究函数的单调性，求出该函数的最大值，即可求解； （3）存在零点等价于与轴有交点，结合（2）知，当且仅当时等号成立，所以当时，，不符合题意；当时，利用零点存在定理即可判断. 【详解】（1）（1）若，则，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）若对任意的恒成立，即， 令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的取值范围是. （3）令，得，令， 令，所以，所以当时，， 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 由（2）知，，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，，不符合题意； 当时，， 所以存在，使得，符合题意. 综上，的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $