23.1.2 正弦和余弦 课件 2025-2026学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦锐角正弦、余弦的定义及计算，通过复习正切导入，结合“梯子倾斜程度”等情境，以相似三角形探究为支架，构建从正切到正弦余弦的知识脉络，帮助学生衔接旧知学习新知。 亮点在于以数学眼光观察生活情境，通过相似三角形推理培养数学思维，结合坐标系、函数图像等实例渗透数学语言。如用梯子问题抽象数量关系，变式题结合函数求cosα，新考法“正对”定义题发展创新意识，既助学生理解本质，又为教师提供系统梯度化教学资源。

23.1 锐角的三角函数 第23章 解直角三角形 1 锐角的三角函数 第2课时 正弦和余弦 1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算； 2.在直角三角形中求正弦值、余弦值. 学习目标 在直角三角形中，如果一个锐角确定，则它的对边与邻边的比值便随之确定：在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A, 即 tan A= A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 斜边 复习导入 探究 如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其他边之间的比也确定吗? 【结论】在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定. B ┌ 斜边 A C ∠A的对边 ∠A的邻边 探究新知 锐角A的对边 与邻边之比 BC AC B1C1 AC1 B2C2 AC2 = = 锐角A的对边 与斜边之比 BC AB B1C1 AB1 B2C2 AB2 = = 锐角A的邻边 与斜边之比 AC AB A1C1 AB1 A2C2 AB2 = = 在上图中， 这些直角三角形都是相似的， 当锐角A的大小确定后， 对边与 邻边的比 邻边与斜边的比 而且∠A的对边与斜边 的比、 由此你得出什么结论? 随之确定， 分别 思考：当锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 不仅∠A的 也是确定的. A B B1 B2 C C1 C2 如图，在Rt△ABC中， 我们把锐角A的 对边 与斜边的比 叫做 ∠A的正弦 (sine)， 记作： sinA， A C B ∠A的对边a ∠A的邻边b 斜边c 即 sinA= ∠A的对边 斜边 BC AB = a c = 即 同理，在Rt△ABC中， 我们把锐角A的 邻边 与斜边的比 叫做 ∠A的余弦 (cosine)， 记作： cosA， cosA= ∠A的邻边 斜边 AC AB = b c = 正弦，余弦的定义 知识归纳 ① sinA，cosA中常省去角的符号“∠”； ② sinA、cosA是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. ④ 若两锐角相等， 则正弦值和余弦值相等； 若正弦值和余弦值 则这两个锐角相等. 相等, 在初中阶段的sinA， cosA中， (注意数形结合，构造直角三角形). ③ sinA 和 cosA 都是一个比值， 而且是正数， 没有单位， 其 而与其所在的直角三角形的大小无关. 只与锐角的大小有关， 大小 拓 展 思考：梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关？ cos A的值越小，梯子越陡. sin A的值越大，梯子越陡； 如图,梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关吗? A C B ∠A的对边a ∠A的邻边b 斜边c 锐角A的正弦、余弦、正切 sinA= ∠A的对边 斜边 BC AB = a c = cosA= ∠A的邻边 斜边 AC AB = b c = tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 BC AC = a b = cosA、tanA也是锐角A的函数. 对于锐角A的每一个确定的值， sinA有唯一确定的值与它对应， 所以sinA是锐角A的函数. 同理， 都叫做锐角A的三角函数. 三角函数值 1、如图，在Rt△ABC中，两直角边 AC=12，BC=5，求∠A的各个三角函数. A C B 5 12 ∴ AB= =13 ∴ sinA= BC AB 5 13 = 13 cosA= AC AB 12 13 = tanA= BC AC 12 13 = 解： ∵ 在Rt△ABC中，AC=12，BC=5，∠C=90° 【方法总结】 再利用锐角三角函数的定义 解决这类问题的关键 是利用勾股定理 求出直角三角形 的其他边的长， 求三角函数的值. 例 题 1.锐角三角函数定义: A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 斜边 sin A= cos A= 即在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦. 2.在Rt△ABC中,sin A=cos B. tan A= ∠A的对边 ∠A的邻边 课堂小结 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B等于 (　　) A. B. C. D. B 随堂练习 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，1)，则sin α的值为(　　) A. B. C. D. B 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，则sin B的值 为(　　) A. B. C. D. [变式] (易错)在Rt△ABC中，CA＝6，CB＝8，则sin B＝_____. A 或 4.(2024·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是(　　) A.3 B.6 C.8 D.9 B 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15，求△ABC的周长. 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝＝， ∴BC＝AB＝12， ∴AC＝＝＝9， ∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝36. 6.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则cos A的值 是(　　) A. B. C. D. A 7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos B＝，则BC＝(　　) A.6 B.8 C.9 D.15 B 8.【转化思想】如图，A为∠α边上的任意一点，过点A作AC⊥BC于点C，过点C作CD⊥AB于点D.下列用线段比表示的cos α的值中，错误的是(　　) A. B. C. D. C 9.(2024·六安金寨期末)如图，△ABC的顶点都是网格中的格点(网格线的交点)，则cos∠ABC＝____.　 [变式] 如图，在4×4的方格中，cos B的值为____. 10.(教材P116练习T3变式)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.求∠A的各个三角函数. 解：∵∠C＝90°， ∴AB＝＝3， ∴sin A＝＝＝， cos A＝＝＝， tan A＝＝＝. 11.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝2，sin B＝，则AC的长 为(　　) A.3 B. C.2 D.4 B 12.(本课时T8变式)如图，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB所对应的函数表达式为y＝－x＋，则cos α＝(　　) A. B. C. D. C 13.已知正方形ABCD的边长为2，P是直线CD上一点.若DP＝1，则cos∠BPC的值是_______. 或 14.如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AC的中点，连接BD，求∠DBC的正弦值. 解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N. ∵AB＝AC＝5，BC＝8，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝4， ∴AM＝＝＝3. ∵D是边AC的中点，AM∥DN， ∴CD＝AC＝，DN是△ACM的中位线， ∴DN＝AM＝，CN＝CM＝2， ∴BN＝BC－CN＝8－2＝6. ∵在Rt△DBN中，BD＝＝＝， ∴sin∠DBN＝＝＝， 即sin∠DBC＝. 知道一个角的度数与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据角的正对的定义，解答下列问题： (1)sad 60°的值为(　　) 15.【新考法·新定义】学习过三角函数后，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定.因此，边长与角的大小之间可以相互转化. 类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图， B 在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A＝＝.容易 A. B.1 C. D.2 知道一个角的度数与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据角的正对的定义，解答下列问题： (2)当0°＜∠A＜180°时，∠A的正对值 sad A的取值范围是____________. 15.【新考法·新定义】学习过三角函数后，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定.因此，边长与角的大小之间可以相互转化. 类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图， 在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A＝＝.容易 0＜sad A＜2 知道一个角的度数与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据角的正对的定义，解答下列问题： 15.【新考法·新定义】学习过三角函数后，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定.因此，边长与角的大小之间可以相互转化. 类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图， 在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A＝＝.容易 (3)已知sin α＝，其中α为锐角，试求sad α的值. 解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α，sin α＝. 令CH＝3k，则AC＝5k， ∴AH＝＝4k， ∴BH＝AB－AH＝AC－AH＝k， ∴BC＝＝k，∴sad α＝＝＝. $