23.1.1 正切 课件 2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“锐角的正切”第一课时，从坡面陡缓、梯子倾斜角等生活实例切入，通过实验操作引导学生观察直角三角形中锐角对边与邻边比值的固定性，逐步抽象出正切定义及坡度应用，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实验探究发展数学眼光（几何直观、空间观念），通过问题链推导规律培养数学思维（推理意识），结合坡度等实际应用强化数学语言（模型意识、应用意识）。例题涵盖基础、变式及综合题（如网格、折叠问题），小结明确正切本质，助力学生提升探究与应用能力，为教师提供结构化教学流程和多样化素材。

23.1 锐角的三角函数 第23章 解直角三角形 1 锐角的三角函数 第1课时 正切 A B C 30 D F 哪个坡面更陡？ 60 E 坡角越大，坡面就越陡 坡面 铅直高度 水平长度 坡面与水平面的夹角叫做坡角（或倾斜角） 探究 探究新知 梯子与地面的夹角(倾斜角) 实验工具：课本、两把直尺(一长一短) 实验过程：用课本做墙壁，尺子当梯子，进行模拟探究. 模拟梯子由“坡”变“陡”的过程. 实验思考：1、梯子在上升变“陡”的 过程中，直角三角形中哪些量发生了变化？ 2、什么量决定梯子的倾斜程度？ C A B 请思考： 梯子在上升变“陡”的过程中，哪些量发生了变化？ 倾斜角 100 20 100 30 问题1： 有两个直角三角形，直角边AC与DF表示水平面，AB与DE表示两个不同的坡面，坡面AB与DE哪个更陡？你是怎么判断的？ B1 C1 B2 C2 有什么关系？从中你能得到什么结论？ 问题2： 在这些直角三角形中，当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与邻边的比值总是一个固定的值. 如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即 tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 ∠A的邻边b ∠A的对边a 斜边c 说明： 1. tanA是一个完整的符号，不表示tan乘以∠A. 2.它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号∠. 3. tanA没有单位，它表示一个比值. ∠B的正切怎么表示？ 知识归纳 l h 如图： 坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)记作i，即 (坡度通常写成 的形式) 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 ， 于是有 . 正切也常用来描述坡面的坡度   B A C 6 8 10 1. 例 题 即 tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 BC AC = a b = 如图，在Rt△ABC中， 我们把锐角A的 对边 与邻边的比 叫做 ∠A的正切 (tangent)， 记作： tanA， A C B ∠A的对边a ∠A的邻边b 斜边c 拓展延伸： ① tanA表示一个比值， 是一个没有单位的正数 其大小 (tanA>0)， 而与其所在的直角三角形的大小无关. 只与锐角的大小有关， ② 若两锐角相等， 则正切值相等； 若两锐角的正切值相等, 则这两个 即 ③ 若两个锐角互余， 那么它们正切值的 乘积等于1 若∠A+∠B=90°， 则tanA·tanB=1 锐角相等. 课堂小结 1.(2025·淮北月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值为(　　) A. B. C. D. D 随堂练习 [变式] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tan A＝___. 2.(教材P115例3变式)如图，在平面直角坐标系中，直线OC过点P(1，3)，则tan α的值是(　　) A. B. C.3 D. D [变式] 如图，点P(12，a)在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，PH⊥x轴于点H，则tan∠POH的值为____. 3.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角B的正切 值(　　) A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.保持不变 D.缩小 C 4.(教材P114 练习T2变式)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB的长为___. 8 5.在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则tan B＝___. 解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. ∵CD⊥AB， ∴∠BCD＋∠B＝90°， 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，tan∠DCB＝，AC＝12，求BC的长. ∴∠BCD＝∠A. ∵在Rt△ACB中，tan A＝tan∠BCD＝＝， ∴BC＝AC＝×12＝9. 7.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m.若坡比i＝1∶2.5，则此斜坡的水平距离AC为(　　) A.75 m B.50 m C.45 m D.30 m A 8.如图，河坝的横断面AB的坡度是1∶2，坝高BC＝3 m，则坡面AB的长度是_____m. 3 9.下列斜坡最陡的是(　　) A.斜坡AB的坡度为 B.斜坡CD的倾斜角是45° C.斜坡EF的坡比为1∶3 D.斜坡GH的坡角为α，tan α＝ B 10.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点.若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C＝(　　) A. B. C. D. A 11.(2024·内江)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝____. 12.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD.若BD＝CD，＝，则tan B＝____. 13.如图，在△ABC中，AB＝4 ，BC＝5，AC＝7，求∠A的正切值. 解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D. 设AD＝x，则CD＝7－x. 根据题意，得(4)2－x2＝52－(7－x)2， 解得x＝4，∴AD＝4， ∴BD＝＝＝4， ∴tan A＝＝1. 14.【新考法·过程性学习】求一个锐角的正切值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形. (1)如图1，在由边长为1的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做 格点.△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为____. 14.【新考法·过程性学习】求一个锐角的正切值，我们往往需要找出(或 构造出)一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形. (2)如图2，在由边长为1的小正方形组成的网格中，分别连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，结合下面的分析，直接写出tan∠CPN的值为___. 2 14.【新考法·过程性学习】求一个锐角的正切值，我们往往需要找出(或 构造出)一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形. [分析]观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转换，从而解决此类问题，比如找一格点M，连接MN，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中. (3)如图3，在由边长为1的小正方形组成的网格中，AN与CM相交于点P，则tan∠CPN的值为___. 1 $