专题05 投影与视图（压轴题专项训练）数学沪科版九年级下册

专题05 投影与视图 目录 1 类型一、投影与相似三角形综合 1 类型二、画几何体三视图 7 类型三、已知一种或两种视图，判断其它视图 9 类型四、由三视图还原几何体 12 类型五、由三视图求表面积/体积 15 类型六、已知三视图求最多或最少得小立方体个数 19 24 类型一、投影与相似三角形综合 物体的投影分为中心投影和平行投影.一般来说，中心投影中，物体影子的长短主要取决于物体所处的位置，而平行投影中，影子的长短主要取决于物体的高度.投影中难度较大的题目往往是与相似三角形、解直角三角形等知识相结合的综合题.其主要解题思路是由投影的特点构造相似三角形，并利用相似三角形、直角三角形的性质求解相关问题. 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，人行道旁有两个高度相等的路灯，．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子顶端恰好落在处，他自己影子的顶端恰好落在路灯的底部处；晚自习放学时，小明站在与上午相同的地方，发现在路灯的灯光下自己影子的顶端恰好落在处． (1)在图中画出小明站的位置（用线段表示，保留画图痕迹，不写画法）． (2)已知小明身高为，若上午上学时，高的木棒的影子为，小明距离处恰好，求路灯的高． 【答案】(1)见解析 (2)路灯的高为 【分析】（1）作出太阳光线，过作的平行线，与的交点即为小明的位置； （2）易得小明的影长，利用可得路灯的长度． 【详解】（1）解：如图，作出太阳光线，过作的平行线，与的交于点，过作于点，线段即为所求． （2）解：上午上学时，高的木棒的影子为， ． ， ， ， ， ，即路灯的高为． 【点睛】本题综合考查了中心投影和平行投影的应用，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 2．（2025九年级·全国·专题练习）下图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD．若，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为． (1)求点O，M之间的距离， (2)转动时叶片外端离地面的最大高度为_________m． 【答案】(1)10m (2) 【分析】（1）过点作，交CD于点H．利用三角形相似，可求距离； （2）过点作水平线交于点，过点作，垂足为，延长到点，使得．证明，得到再四边形OHDJ是平行四边形，求得长，在利用勾股定理求得长后，可求得高度． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点H． 由题意可知，是的中点，， ∴是的中点． ， ． 又由题意可知，， ，解得， ∴点O，M之间的距离为． （2）解：如图，过点作水平线交于点，过点作，垂足为I，延长到点，使得． ． ， ， ， ． ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ， ， ， ∴叶片外端离地面的最大高度为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 3．（2025九年级·全国·专题练习）在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量山坡上的一棵大树的高度，如下图．已知大树与地面垂直，山坡与地面的夹角为，站立在水平地面上身高1.7m的小明（看作）在地面上的影长为1.2m，此刻大树在斜坡上的影长为5m．求大树的高度． 【答案】大树的高度为 【分析】此题主要考查了平行投影的应用，根据题意得出的长是解题关键． 根据题意过点作于点．由题意可得：，进而得出，，的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点． 由题意，得， ． 大树与地面垂直，， ， ． ， ，， ， 解得， ． 故大树的高度为． 4．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 5．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为．    【解决问题1】根据常识猜想小明在沿方向从向前进时，小明的影长如何变化________． 【解决问题2】求灯杆的高度． 【答案】[解决问题1]：逐渐变长；[解决问题2] 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． [解决问题1]：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； [解决问题2]：根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【详解】[解决问题1]：由题意，可知：小明在沿方向从向前进时，小明的影长逐渐变长； [解决问题2]：解：由题意，可知：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：．    类型二、画几何体三视图 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体 1）确定主视图的位置，画出主视图； 2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实线. 6．（24-25九年级上·全国·期末）补全下列几何体的三视图． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了作几何体的三视图，通过从正面、侧面和上方三个不同角度观察几何体，绘制相应的视图即可 【详解】解：三视图如图所示： 7．（2025九年级·全国·专题练习）请画出如图所示的立体图形的三视图． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了物体的三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的轮廓线画成虚线，不能漏掉．分别从物体正面、左面和上面看，画出所得到的图形即可． 【详解】解：如图所示． 8．（2025九年级下·浙江·专题练习）请根据下面提供的几何图形，画出它的三视图． (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键，画三视图时，要根据几何体合理想象，看得见的轮廓线用实线画，看不见的轮廓线用虚线画． （1）根据从正面，左面，上面看到的平面图形画图即可； （2）根据从正面，左面，上面看到的平面图形画图即可； 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：画图如下： 类型三、已知一种或两种视图，判断其它视图 1）若已知左视图和俯视图，将左视图中每一列小正方形的个数填入俯视图中对应行的每个小正方形内，此时俯视图的每个小正方形内都填入了1个数字，将这些数字相加就得到所求的最多个数. 2）若已知主视图和俯视图，将主视图中每一列小正方形的个数填入俯视图中对应列的每个小正方形内，此时俯视图的每个小正方形内都填入了1个数字，将这些数字相加就得到所求的最多个数. 9．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，看到这个几何体俯视图的形状图如图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．      (1)请在网格内分别画出这个几何体的主视图和左视图； (2)若小正方体的棱长为，请计算该几何体的体积． 【答案】(1)见解析； (2)该几何体的体积为． 【分析】（）根据主视图和左视图画图即可； （）根据体积等于立方体的个数单个的体积即可； 本题考查了从不同方向看物体，几何体体积，正确理解确定小正方体的个数是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， （2）解：该几何体的体积为 ， 答：该几何体的体积为． 10．（2024九年级·全国·竞赛）由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示．        (1)在备用图中画出所有可能的左视图； (2)求组成这个几何体的小正方体的个数，并写出必要的分析过程． 【答案】(1)见解析； (2)8个或9个或10个或11个，过程见解析． 【分析】本题考查了对三视图的理解应用及空间想象能力， （1）由俯视图可得该几何体有2行，则左视图应有2列，由主视图可得共有3层，那么其中一列必为3个正方形，另一列最少是1个，最多是3个； （2）由题意可底层有5个正方体，由主视图可得第二层最少有2个正方体，第三层最少有1个正方体，第二层最多有4个正方体，第三层最多有2个正方体，分别相加得到组成组合几何体的最少个数及最多个数即可得到最多小正方体的个数的可能值． 【详解】（1）解：如图． （2）解：∵俯视图有5个正方形， ∴最底层有5个正方体， 由主视图可知第二层最少有2个正方体，第三层最少有1个正方体， 由主视图可知第二层最多有4个正方体，第三层最多有2个正方体， ∴该几何体最少有5＋2＋1＝8(个)正方体，最多有5＋4＋2＝11(个)正方体， ∴组成这个几何体的小正方体的个数有8个或9个或10个或11个． 11．（22-23七年级上·江西吉安·期末）已知一个几何体由大小相同的小立方体组成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方体个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】根据正面看列，找最多，左面看行，找最多，画出从正面看和从左面看到的形状图即可． 【详解】解：从正面和左面看到的这个几何体的形状图，如图所示： 【点睛】本题考查从不同的方向看由小正方体堆砌的几何体．熟练掌握正面看列，找最多，左面看行，找最多，画由小正方体堆砌的几何体的形状图，是解题的关键． 类型四、由三视图还原几何体 由三视图还原几何体，一般先根据各视图想象几何体可能的形状，然后综合起来确定几何体的形状， 解题过程中要注意左视图的高、主视图的长、俯视的宽，通常与几何体的边长相对应，口诀为“长对正,高平齐,宽相等”，即主视图的长与俯视图的长相等，从而确定轮廓线的位置以及各个面的尺寸. 12．（2025九年级·全国·专题练习）画出如图所示的三视图所表示的几何体． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由主视图和左视图可以判断该几何体是柱体，再根据俯视图可以确定是正五棱柱； （2）由主视图和左视图可以判断该几何体是台体，再根据俯视图可以确定是圆台． 【详解】（1）解：∵主视图和左视图都是矩形， ∴该几何体是柱体， 又∵俯视图是正五边形， ∴该几何体是正五棱柱． 如图： （2）解：∵主视图和左视图都是梯形， ∴该几何体是台体， 又∵俯视图是圆环， ∴该几何体是圆台． 如图： 【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，解题关键是利用空间想象能力，结合三视图还原几何体． 13．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）由若干个棱长为1的相同小立方块搭成的几何体的三视图如图所示． (1)请在俯视图中标出相应位置小立方块的个数；该几何体是由多少个小立方块搭成的？ (2)计算这个几何体的表面积． 【答案】(1)位置见详解，8个 (2)32 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握其概念、特点及如何根据三视图还原几何体是解题关键． （1）由俯视图可得该组合几何体最底层的小立方块个数，由主视图或左视图可得第二层和第三层的小立方块个数，相加即可，再根据得到的小立方块个数，在俯视图上标出来即可； （2）将几何体的各个面的面积相加即可得到其表面积． 【详解】（1）解：在俯视图上标出相应位置的小正方体的个数如图所示，该几何体是由8个小正方体组成． （2）解：表面积为， 即这个几何体的表面积为32． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 【答案】(1)此模型由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体 (2)这个模型的质量为 (3)需要的油漆 【分析】（1）根据模型的三视图可以直接判断出模型的形状；（2）根据模型三视图知道模型组成图形的长、宽、高，然后计算出体积，再乘以木料的密度就可以得出模型的质量；（3）计算出模型的表面积，再除以每千克油漆可以涂抹的面积，即可计算出所需要的油漆数量. 【详解】（1）解：∵模型的三视图图， ∴模型是由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体. （2）解：模型的体积（立方分米） 这个模型的质量为． （3）解：模型的表面积为， 需要的油漆． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出长方体的长、宽、高． 类型五、由三视图求表面积/体积 1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体； 2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长； 3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体； 4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解. 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． (1)该几何体的主视图是 ，左视图是 ；（填序号） (2)若大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积． 【答案】(1)①，② (2)， 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体，几何体的表面积以及体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据分别从正面、左面看到的图形，得出几何体的主视图和左视图，进行作答即可． （2）根据三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变，根据面积计算公式即可得到这个几何体的表面积；根据体积计算公式利用大正方体体积减去切去的小正方体体积即可得到这个几何体的体积． 【详解】（1）解：由题意可得，该几何体的主视图是①，左视图是②； 故答案为：①，②； （2）解：结合三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变， 则这个几何体的表面积为：， 这个几何体的体积为：， 答：这个几何体的表面积与体积分别为，． 16．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的圆柱组成的几何体． (1)请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）； (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——三视图，几何体的表面积等知识，解题关键是理解三视图的定义． （1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）根据表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：该几何体的三视图如图所示 （2）解：由图可知，该几何体的表面积． 17．（23-24九年级上·山东烟台·期末）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积． 【答案】体积为：，表面积为： 【分析】本题主要考查根据三视图求立体几何图形的体积，表面积，理解三视图中的数量关系，根据体积，表面积的计算公式即可求解，掌握三视图的特点，立体图形体积，表面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据主视图可得，圆柱体底面圆的直径为， ∴圆柱体底面圆的半径为， 根据俯视图可得，立体图形的长为，宽为，结合左视图可得，立体图形的高为， ∴立体图形，半圆柱体， ∴图示模型的体积为， ∴体积为：； 图示立体图形的表面积： 主视图中：，，则； 左视图中：； 俯视图中：； ∴图示模型的表面积为：， ∴表面积为：． 18．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，是由一个长方体和圆柱组合而成的几何体，长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等，圆柱的高是长方体的高的2倍． (1)画出该几何体的主视图和左视图； 主视图：                                               左视图： (2)若长方体的长为，宽为，高为，求该几何体的表面积和体积（取3）． 【答案】(1)见解析 (2)表面积是；体积是 【分析】本题考查了三视图及求几何体的表面积和体积，掌握三视图的概念及观察出几何体的结构是解题关键． （1）根据“对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前往后观察物体的视图，叫做主视图；在侧面内得到的由左往右观察物体的视图，叫做左视图”相关概念，画出对应视图的图形即可； （2）根据几何体的表面积=长方体的表面积+圆柱体的侧面面积，几何体的体积=长方体的体积+圆柱体的体积，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：主视图和左视图，如图所示． （2）解：长方体的长为，宽为，高为，长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等，圆柱的高是长方体的高的2倍， 圆柱底面圆的直径是，圆柱的高为， 设长方体的表面积是，圆柱体的侧面积为，则 ， ， 圆柱体的表面积为：， 设长方体的体积是，圆柱体的体积为，则 ， , 圆柱体的体积为: 答：几何体的表面积是，体积是． 类型六、已知三视图求最多或最少得小立方体个数 19．（2025九年级·全国·专题练习）用小立方块搭一个几何体，使其主视图与俯视图如下图所示，俯视图上的字母表示在该位置上小立方块的个数．试回答下列问题： (1)_______，_______． (2)这个几何体最少由_______个小立方块搭成，最多由_______个小立方块搭成． (3)请在网格图中，画出小立方块最多时的左视图． 【答案】(1)1；1 (2)10；15 (3)小立方块最多时的左视图如图所示． 【分析】此题主要考查了画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． （1）根据主视图，俯视图判断即可； （2）利用俯视图，主视图判断即可； （3）根据左视图的定义画出图形． 【详解】（1）解：观察主视图，俯视图可知：，， 故答案为：，． （2）解：要使小立方块个数最少，那么在满足主视图和俯视图的情况下，每列尽量少放小立方块，结合主视图和俯视图， 最少时，，，，，，，，且、、、中至少有一个为，此时最少有个小立方块； 要使小立方块个数最多，那么在满足主视图和俯视图的情况下，每列尽量多放小立方块，结合主视图和俯视图， 最多时，，，，，，，，此时最多有个小立方块； 故答案为：，． （3）解：小立方块最多时的左视图如图所示． 20．（25-26七年级上·全国·期中）由大小相同（棱长为1分米）的小立方块搭成的几何体如下图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)图中有 块小正方体，它的表面积（含下底面）为 ； (3)用小立方块搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在图中方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要_______个小立方块，最多要_______个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)，平方分米 (3)； 【分析】本题是几何体三视图的问题，考查了画几何体的三视图，根据由小立方体堆成的几何体的三视图得到原几何体所需最小立方体数或最多立方体数，掌握几何体三视图的性质是解题的关键． （1）根据俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，即可作出图形； （2）观察图形可知有两层，下面一层有4个小正方体，上面一层有1个小正方体，即可得共有5个小正方体，有顺序的计算上下面，左右面，前后面的表面积之和即可； （3）先根据俯视图可得第一层有4个小立方块，再结合左视图可得第二层的前面一排没有小立方块，后面一排最少有1个小立方块，最多有3个小立方块，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：观察图形可知有两层，下面一层有4个小正方体，上面一层有1个小正方体， 共有个小正方体， 表面积为：（平方分米）， 故答案为：；平方分米． （3）解：先根据俯视图可得第一层有4个小立方块，再结合左视图可得第二层的前面一排没有小立方块，后面一排最少有1个小立方块，最多有3个小立方块， ∴这样的几何体最少要5个小立方块，最多要7个小立方块， 故答案为：；． 21．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，由若干个完全相同棱长为1厘米的小正方体堆成一个几何体， (1)请分别画出该几何体从正面看、从左面看、从上面看所得到的图形． (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加 个小正方体； (3)如果在这个几何体露在外面的表面(不包含下底面)喷上黄色的漆，每平方厘米用3克，则共需多少克漆？ 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)96克 【分析】本题考查作图三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． （1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量； （3）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量． 【详解】（1）解：这个几何体从正面、左面、上面看到的几何体的形状图： （2）解：在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示： 其中红色的数字是相应位置添加的最多数量，因此最多可添加3块，故答案为：3． （3）解：克， 即共需96克漆． 22．（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是由9个棱长均为的小立方体搭成的几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图． (2)若将该几何体的表面（不含底面）涂上颜色，则涂色部分的面积是________． (3)用小立方体再搭一个几何体，使得它从上面、左面看到的形状图与（1）中相应看到的一致，则搭成的这个几何体最多要用_______个小立方体，最少要用________个小立方体． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13，8 【分析】（1）根据从正面、左面、上面看到的形状画出即可； （2）前后面要涂色的各有8个面，左右面要涂色的各有5个面，上面要涂色的有5个面，由此可求出涂色部分的面积； （3）最多在原来9个的基础上还可以在后排加3个，前排加1个，共加4个；最少在原来9个的基础上还可以在后排中间减1个，即最少8个，由此可以完成． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由图知，前后面要涂色的各有8个面，左右面要涂色的各有5个面，上面要涂色的有5个面，则涂色部分的面积为； 故答案为：； （3）解：从上面、左面看到的形状图，最多在原来9个的基础上还可以在后排加3个，前排加1个，共加4个；最少在原来9个的基础上还可以在后排中间减1个，即最少8个， 故答案为：13，8． 23．（20-21七年级上·四川·阶段练习）用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)    （1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ． （2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积． （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？ 【答案】（1）；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为，第③个几何体露出部分（不含底面）面积为；（3）克． 【分析】（1）归纳出前3个几何体的规律即可得； （2）分别画出两个几何体的三视图，再根据四个侧面和向上的面的小正方形的个数即可得； （3）先根据（1）的方法得出第20个几何体每一层小立方体的个数，再根据（2）的方法得出第20个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积，然后乘以即可得． 【详解】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1， 搭建第②个几何体的小立方体的个数为， 搭建第③个几何体的小立方体的个数为， 归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为， 故答案为：30； （2）第②个几何体的三视图如下：    由题意，每个小正方形的面积为， 则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为； 第③个几何体的三视图如下：    则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为； （3）第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为， 则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为， 因此，共需要油漆的克数为（克）， 答：共需要992克油漆． 【点睛】本题考查了三视图、几何体的表面积、图形变化的规律型问题，依据题意，正确归纳类推出规律是解题关键． 24．（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm 【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题． （2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得； （3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB. 【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm， 由题意可得：， 解得：x=120， 经检验：x=120是分式方程的解， 王诗嬑的影子长为120cm； （2）正确， 因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直， 则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直， 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直， ∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子， 过点F作FG⊥CE于点G， 由题意可得：BC=100，CF=100， ∵斜坡坡度， ∴， ∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中， ， 解得：m=20， ∴CG=60，FG=80， ∴BG=BC+CG=160， 过点F作FH⊥AB于点H， ∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm， FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB， 可知四边形HBGF为矩形， ∴， ∴AH==200， ∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280， 故高圆柱的高度为280cm. 【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型． 25．（20-21七年级上·河南郑州·阶段练习）如图1所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体． （1）设原大正方体的表面积为a，图2中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是　 　； A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．无法判断． （2）小明说“设图1中大正方体的棱长之和为m，图2中几何体的各棱长之和为n，那么n比m正好多出大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？ （3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正． 【答案】（1）C；（2）不正确，理由见解析；（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形见解析 【分析】（1）根据“切去三个面”但又“新增三个面”，因此与原来的表面积相等； （2）根据多出来的棱的条数及长度得出答案； （3）根据展开图判断即可． 【详解】解：（1）根据“切去三个小面”但又“新增三个相同的小面”，因此与原来的表面积相等，即a＝b 故答案为：a＝b； （2）如图④红颜色的棱是多出来的，共6条，当且仅当每一条棱都等于原来正方体的棱长的一半，n比m正好多出大正方体的3条棱的长度，故小明的说法是不正确的； （3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形，如图⑤所示． 【点睛】本题考查几何体表面积的意义、棱长之和、几何体的表面展开图，考查学生的观察能力，关键是抓住几何图形变换后边长和棱长的变与不变的量． 26．（2025九年级·全国·专题练习）如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 【答案】AB在直线m上的正投影的长是 【分析】本题考查直角三角形和相似三角形的应用，掌握利用直角三角形的边角关系和相似三角形的性质求解线段长度是解题的关键． 先在中求出和的长度，再在中求出的长度，接着证明，求出的长度，最后将和相加得到在直线上的正投影长度． 【详解】解：在中， ， , 在中， ． 点在直线上的正投影分别为点， ，即， , ， ， ， ， ， ． 故在直线上的正投影的长是． 27．（2025九年级·全国·专题练习）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是． (1)图中的影子由______照射形成（填“路灯”或“太阳光”）． (2)如果影子由路灯照射形成，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果影子由太阳光照射形成，请画出太阳光线（保留画图痕迹，不写画法）． (3)在图中画出表示大树高的线段（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)路灯 (2)点P的位置如图所示． (3)见解析 【分析】（1）根据阴影方向不同，可知是路灯； （2）连接、，两者延长线的交点即为路灯的位置； （3）连接，过点作，交于点，即为大树高． 【详解】（1）解：根据墙墩、小明和树的影子相反，可知是路灯照射形成， 故答案为：路灯． （2）解：如图：连接、，两者延长线的交点即为路灯的位置； （3）解：连接，过点作，交于点，即为大树高． 【点睛】本题考查了中心投影的性质，正确根据中心投影性质得出点位置是解题关键． 28．（24-25七年级上·河北保定·期中）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： (1)______，______，_____； (2)这个几何体最少由_____个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成； (3)当，，时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)3，1，1 (2)9，11 (3)见解析 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体的知识，解题关键是掌握从不同方向看到的图形所含的组成的几何体的层数和列数的信息． （1）由从正面看到的图形可知，第二列小立方体的个数均为1，第三列的小立方体个数为3，即可求解； （2）根据从正面看，一共有三列：第一列有2层，第二列有1层，第三列有3层；从上面看，一共有3行，从左到右，第一行有3个，第二行有2个，第三行有1个，即可求解； （3）根据从左面看到的图形有三列，每列小正方形数目分别为3，1，2，即可求解． 【详解】（1）解：从正面看，第二列有1层，第三列有3层， ∴， 故答案为：3，1，1； （2）解：从正面看，一共有三列：第一列有2层，第二列有1层，第三列有3层， 从上面看，一共有3行，从左到右，第一行有3个，第二行有2个，第三行有1个， ∴这个几何体最少由个小立方块搭成，最多由个小立方块搭成； 故答案为：9，11； （3）解：如图所示， 29．（25-26六年级上·山东淄博·阶段练习）用大小相同的小正方体搭一个几何体，使它满足以下条件：从上面、正面看到的这个几何体的形状图如图所示． (1)搭一个这样的几何体最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ (2)请你画出由最多小正方体搭成的几何体从左面看到的形状图，并在从上面看的形状图的小正方形内标注该位置上小正方体的个数． 【答案】(1)最多8个；最少7个 (2)见解析 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，培养空间想象思维是解题关键． （1）根据俯视图、主视图的形状可得出答案； （2）由（1）得出最多小正方体搭成的几何体，画图并标注即可． 【详解】（1）解：从上面看到的形状图可以看出： 几何体共3列3排； 从正面看到的形状图可以看出： 几何体从左到右共3列，第一列最多1层，第二列最多2层，第三列最多1层； 则搭一个这样的几何体最多需要（个）小正方体， 最少需要（个）个小正方体． （2） 由最多小正方体搭成的几何体从左面看到的形状图为； 从上面看的形状图的小正方形内标注该位置上小正方体的个数为． 30．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示． (1)这个几何体是由 ______ 个小正方体组成，该几何体的体积是 ______，请用阴影画出这个几何体从三个方向看图形的图形． (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用3克，则共需______克漆． (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看和从左面看不变，最多可以再添加 ______ 个小正方体． 【答案】(1)10，，见解析； (2) (3)4 【分析】本题考查从不同方向看几何体．注意涂色面积指组成几何体的外表面积． （1）先数出这个几何体中小正方体的个数，再计算体积，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，据此可画出图形； （2）求出不含底面的表面积，表面积计算后乘即可求解； （3）从上面看和从左面看不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体；第3列后面的几何体上放1个小正方体． 【详解】（1）解：这个几何体是由10个小正方体组成， 体积为：， 三视图如图所示： 故答案为：10，； （2）解：这个几何体的表面有(个正方形，去掉地面上的6个，32个面需要喷上红色的漆， ∴表面积为，（克） ∴共需克漆． 故答案为：； （3）解：如图 如果保持从上面看和从左面看不变，最多可以再添加个． 故答案为：4． 31．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，要测量某小区居民楼下一棵大树的高度，已知居民楼的高度为，在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点、、、在同一条直线上，求大树的高度． （结果精确到，参考数据：，， 【答案】米 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，平行投影，解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．首先过点作于点，则四边形为矩形，根据同一时刻的太阳光线是平行的可得 ，根据相似三角形对应边成比例可知，设大树的高度为米，根据，可得方程，解方程即可求出大树的高度． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则四边形为矩形， ，， 设米，则米， 根据题意知， ， ， ， ， 米， 米，米， 在处测得的俯角为， ， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大树的高度约为米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 投影与视图 目录 1 类型一、投影与相似三角形综合 1 类型二、画几何体三视图 3 类型三、已知一种或两种视图，判断其它视图 4 类型四、由三视图还原几何体 5 类型五、由三视图求表面积/体积 6 类型六、已知三视图求最多或最少得小立方体个数 8 9 类型一、投影与相似三角形综合 物体的投影分为中心投影和平行投影.一般来说，中心投影中，物体影子的长短主要取决于物体所处的位置，而平行投影中，影子的长短主要取决于物体的高度.投影中难度较大的题目往往是与相似三角形、解直角三角形等知识相结合的综合题.其主要解题思路是由投影的特点构造相似三角形，并利用相似三角形、直角三角形的性质求解相关问题. 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，人行道旁有两个高度相等的路灯，．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子顶端恰好落在处，他自己影子的顶端恰好落在路灯的底部处；晚自习放学时，小明站在与上午相同的地方，发现在路灯的灯光下自己影子的顶端恰好落在处． (1)在图中画出小明站的位置（用线段表示，保留画图痕迹，不写画法）． (2)已知小明身高为，若上午上学时，高的木棒的影子为，小明距离处恰好，求路灯的高． 2．（2025九年级·全国·专题练习）下图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD．若，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为． (1)求点O，M之间的距离， (2)转动时叶片外端离地面的最大高度为_________m． 3．（2025九年级·全国·专题练习）在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量山坡上的一棵大树的高度，如下图．已知大树与地面垂直，山坡与地面的夹角为，站立在水平地面上身高1.7m的小明（看作）在地面上的影长为1.2m，此刻大树在斜坡上的影长为5m．求大树的高度． 4．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 5．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为．    【解决问题1】根据常识猜想小明在沿方向从向前进时，小明的影长如何变化________． 【解决问题2】求灯杆的高度． 类型二、画几何体三视图 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体 1）确定主视图的位置，画出主视图； 2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实线. 6．（24-25九年级上·全国·期末）补全下列几何体的三视图． 7．（2025九年级·全国·专题练习）请画出如图所示的立体图形的三视图． 8．（2025九年级下·浙江·专题练习）请根据下面提供的几何图形，画出它的三视图． (1) (2) 类型三、已知一种或两种视图，判断其它视图 1）若已知左视图和俯视图，将左视图中每一列小正方形的个数填入俯视图中对应行的每个小正方形内，此时俯视图的每个小正方形内都填入了1个数字，将这些数字相加就得到所求的最多个数. 2）若已知主视图和俯视图，将主视图中每一列小正方形的个数填入俯视图中对应列的每个小正方形内，此时俯视图的每个小正方形内都填入了1个数字，将这些数字相加就得到所求的最多个数. 9．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，看到这个几何体俯视图的形状图如图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．      (1)请在网格内分别画出这个几何体的主视图和左视图； (2)若小正方体的棱长为，请计算该几何体的体积． 10．（2024九年级·全国·竞赛）由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示．        (1)在备用图中画出所有可能的左视图； (2)求组成这个几何体的小正方体的个数，并写出必要的分析过程． 11．（22-23七年级上·江西吉安·期末）已知一个几何体由大小相同的小立方体组成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方体个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 类型四、由三视图还原几何体 由三视图还原几何体，一般先根据各视图想象几何体可能的形状，然后综合起来确定几何体的形状， 解题过程中要注意左视图的高、主视图的长、俯视的宽，通常与几何体的边长相对应，口诀为“长对正,高平齐,宽相等”，即主视图的长与俯视图的长相等，从而确定轮廓线的位置以及各个面的尺寸. 12．（2025九年级·全国·专题练习）画出如图所示的三视图所表示的几何体． (1) (2) 13．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）由若干个棱长为1的相同小立方块搭成的几何体的三视图如图所示． (1)请在俯视图中标出相应位置小立方块的个数；该几何体是由多少个小立方块搭成的？ (2)计算这个几何体的表面积． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 类型五、由三视图求表面积/体积 1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体； 2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长； 3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体； 4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解. 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． (1)该几何体的主视图是 ，左视图是 ；（填序号） (2)若大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积． 16．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的圆柱组成的几何体． (1)请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）； (2)求该几何体的表面积． 17．（23-24九年级上·山东烟台·期末）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积． 18．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，是由一个长方体和圆柱组合而成的几何体，长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等，圆柱的高是长方体的高的2倍． (1)画出该几何体的主视图和左视图； 主视图：                                               左视图： (2)若长方体的长为，宽为，高为，求该几何体的表面积和体积（取3）． 类型六、已知三视图求最多或最少得小立方体个数 19．（2025九年级·全国·专题练习）用小立方块搭一个几何体，使其主视图与俯视图如下图所示，俯视图上的字母表示在该位置上小立方块的个数．试回答下列问题： (1)_______，_______． (2)这个几何体最少由_______个小立方块搭成，最多由_______个小立方块搭成． (3)请在网格图中，画出小立方块最多时的左视图． 20．（25-26七年级上·全国·期中）由大小相同（棱长为1分米）的小立方块搭成的几何体如下图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)图中有 块小正方体，它的表面积（含下底面）为 ； (3)用小立方块搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在图中方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要_______个小立方块，最多要_______个小立方块． 21．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，由若干个完全相同棱长为1厘米的小正方体堆成一个几何体， (1)请分别画出该几何体从正面看、从左面看、从上面看所得到的图形． (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加 个小正方体； (3)如果在这个几何体露在外面的表面(不包含下底面)喷上黄色的漆，每平方厘米用3克，则共需多少克漆？ 22．（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是由9个棱长均为的小立方体搭成的几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图． (2)若将该几何体的表面（不含底面）涂上颜色，则涂色部分的面积是________． (3)用小立方体再搭一个几何体，使得它从上面、左面看到的形状图与（1）中相应看到的一致，则搭成的这个几何体最多要用_______个小立方体，最少要用________个小立方体． 23．（20-21七年级上·四川·阶段练习）用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)    （1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ． （2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积． （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？ 24．（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 25．（20-21七年级上·河南郑州·阶段练习）如图1所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体． （1）设原大正方体的表面积为a，图2中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是　 　； A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．无法判断． （2）小明说“设图1中大正方体的棱长之和为m，图2中几何体的各棱长之和为n，那么n比m正好多出大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？ （3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正． 26．（2025九年级·全国·专题练习）如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 27．（2025九年级·全国·专题练习）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是． (1)图中的影子由______照射形成（填“路灯”或“太阳光”）． (2)如果影子由路灯照射形成，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果影子由太阳光照射形成，请画出太阳光线（保留画图痕迹，不写画法）． (3)在图中画出表示大树高的线段（保留画图痕迹，不写画法）． 28．（24-25七年级上·河北保定·期中）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： (1)______，______，_____； (2)这个几何体最少由_____个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成； (3)当，，时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 29．（25-26六年级上·山东淄博·阶段练习）用大小相同的小正方体搭一个几何体，使它满足以下条件：从上面、正面看到的这个几何体的形状图如图所示． (1)搭一个这样的几何体最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ (2)请你画出由最多小正方体搭成的几何体从左面看到的形状图，并在从上面看的形状图的小正方形内标注该位置上小正方体的个数． 30．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示． (1)这个几何体是由 ______ 个小正方体组成，该几何体的体积是 ______，请用阴影画出这个几何体从三个方向看图形的图形． (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用3克，则共需______克漆． (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看和从左面看不变，最多可以再添加 ______ 个小正方体． 31．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，要测量某小区居民楼下一棵大树的高度，已知居民楼的高度为，在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点、、、在同一条直线上，求大树的高度． （结果精确到，参考数据：，， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $