4.2.2等差数列的前n项和公式（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和公式的推导与应用，以高斯求和故事创设情境，通过问题链引导学生从1+2+…+100的特殊求和到一般等差数列求和，搭建从具体到抽象的学习支架，逐步推导倒序相加法及两个核心公式。 其亮点在于以问题驱动探究，通过高斯算法到倒序相加法的推广，培养学生用数学眼光抽象数量关系，借助公式推导中的逻辑推理发展数学思维，结合二次函数分析前n项和最值提升数学语言表达能力。典例与分层练习助力学生掌握应用，教师可直接用于教学，提升效率。

4.2等差数列 2 等差数列的前n项和 第4章 数列 人教A版选择性必修第二册·高二 情境引入 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1+2+3+…+100=？ 求等差数列“1,2,3,…,n,…”前100项的和 高斯的算法： 不同数的求和 相同数的求和 转化 问题1：你能说出其中的原理吗？ 问题2：你能类比这个过程求1+2+…+100+101？ 1+2+…+50+51+52+…+100+101 =(1+101)+(2+100)+…+(50+52)+51 =102×50+51 =5151 问题3：你能否利用高斯的算法求等差数列{an}的前项和？ 求{an}的前n项和： (n为偶数) 求{an}的前n项和： (n为奇数) 问题4：求的前项和如何避免项数的奇数偶数的影响？ 倒序相加法 问题5：该方法妙在哪里？能否推广到求等差数列{}前项和？ 可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序 ”为， 再将两式相加，得到个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和。 知首项/末项 Sn＝1＋ 2 ＋ 3 ＋…＋1 Sn＝n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋ n 等差数列的前n项和的公式 由此得到等差数列{an}的前n项和公式 把等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d代入公式(1),可得 问题6：除了公式（2）是否还有其他推导方法吗？ + 知首项/公差 问题7：如何根据等差数列{an}的特性来推导等差数列的前项和？ 将(1)变形可得 实际上，我们利用等差数列的这一重要特性来推导它的前n项和. 所以 就是等差数列{an}前n项的平均数. 思考：等差数列中与的关系与以前学过的什么函数有关? 是关于的 是等差数列为常数） 已知数列的前项和为，其中为常数，且. 任取若干组，在电子表格中计算的值（给出的情况）,观察数列的特点，研究并证明它是一个怎样的数列． 图中的电子表格列中分别表示的值，列、列中分别是相应的和的值． 探究 结论：已知数列的前项和为(为常数且), 则当时，数列为等差数列； 当时，数列从第二项起为等差数列． 证明： 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(pn2+qn+r)-[p(n-1)2+q(n-1)+r]=2pn-p+q， 当n=1时，a1=S1=p+q+r， (1)当r=1时， 符合a1=p+q+r，所以an=2pn-p+q，此时数列{an}为等差数列，且公差为2p． 结论：已知数列的前n项和为(为常数且), 则当时，数列为等差数列； 当时，数列从第二项起为等差数列． 证明： (2)当r≠0时， a1=p+q+r不符合an=2pn-p+q，所以 此时数列{an}从第二项起为等差数列，且公差为2p． 思考：等差数列的前项和有最值吗？ O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) ① d = 0：Sn = a1n，一条过原点的直线上均匀分布的点； ② d < 0：一条开口向下的过原点的抛物线上均匀分布的点； ③ d > 0：一条开口向上的过原点的抛物线上均匀分布的点； 最值 无 最大值 最小值 典例分析 分析：已知a1＝7，a50＝101，可以利用公式得出答案. 例1.已知数列{an}是等差数列. (1)若a1＝7，a50＝101，求S50; 解： 典例分析 分析：a1＝2,a2＝,可以利用公式得出答案. 例1.已知数列{an}是等差数列. (2)若a1＝2,a2＝,求S10; 典例分析 分析：代入到公式 得出答案. 例1.已知数列{an}是等差数列. (3)若a1＝,d＝-,Sn＝－5,求n. 问题8.对于等差数列的相关量 已知几个量就可以确定其他量？ 整理，得 解得 n=12,或n=-5（舍去） 所以 n=12 例2.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 16 例2.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 17 例2.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 18 练习1.等差数列中，，则的前2023项和为( ) A.1011 B.2022 C.4046 D.8092 解：数列{an}是等差数列，故a1+a2023=a4+a2020=4 C 课堂练习 练习2.已知等差数列的前项和为，则S10=( ) A.78 B.100 C.116 D.120 解：等差数列的前项和为Sn，3a4－a3=S5－a7=20， D 解得a1=3，d=2， 分析：依题意可知 21 练习4.已知等差数列前四项和为21，最后四项的和为67，所有项的和为286，求项数. 解：依题意，得 两式相加得(a1+an)+(a2+an－1)+(a3+an－2)+(a4+an－3)=88 又∵a1+an=a2+an－1=a3+an－2=a4+an－3 ∴a1+an=22 ∴n=6 练习5.已知等差数列-4.2，-3.7，-3.2，……的前项和为是否存在最大(小)值？如果存在，求出取得最值时的值. 解法一：由题意， ； 令，则,∴数列前9项为负项,从第10项起为正项； ∴存在最小值，此时 解法二：由题意d = 0.5 > 0，有最小值； ∴ Sn = – 4.2n + ×0.5 = 0.25n2 – 4.45n； 即其所在抛物线的对称轴为直线 n = 8.9， ∴ Sn存在最小值，此时 n = 9. 练习5.已知等差数列-4.2，-3.7，-3.2，……的前项和为是否存在最大(小)值？如果存在，求出取得最值时的值. 求等差数列的前n项和的最值方法： （1）通项公式法：an = a1 + (n – 1) d = dn + ( a1 – d )， ① 判断an 正负项情况；②求出最值时n值，Sn值； （2）前n项和法：Sn = n2 + (a1 – )n， ①根据d情况判断是否有最值；②求出最值时n值，S值； 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？ 课堂小结 1、等差数列{an}的前n项和公式： 2、求数列前n项和的一种方法： “倒序相加”法 3、求等差数列的前n项和的最值方法 ①通项公式法 ②前n项和法 26 感谢聆听! $