精品解析：上海市长征中学2025-2026学年高三上学期期中测试数学学科试卷

长征中学2025学年第一学期高三期中测试数学学科试卷 (时间120分钟，满分150分)2025.11 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 已知集合，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用集合相等的概念，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以. 故答案为：. 2. 不等式的解集是 __． 【答案】或 【解析】 【分析】由已知结合分式不等式的求法即可求解． 【详解】由,可得， 即， 解得或． 故答案为：或． 3. 函数（且）恒过定点_____． 【答案】 【解析】 【分析】由指数型函数恒过定点的方法求解即可. 【详解】由，得，所以， 故函数（且）恒过定点. 故答案为：. 4. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，运算求解，并结合单调性检验即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则，即，解得或， 若，则在上单调递减，符合题意； 若，则在上单调递增，不符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 5. 已知，，试用，表示__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算可得答案． 【详解】因为，所以， 所以 ． 故答案为：． 6. 在中，若，，，则的长为 _______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】， 所以, 故答案为： 7. 已知函数，若，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，借助单调性分析取值范围，再列式计算作答. 【详解】依题意，当时，函数单调递增，；当时，单调递增，， 因此由，得，解得， 所以. 故答案为：4 8. 通过三角不等式可知，则等号成立的条件为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式列式求解. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 由，解得， 所以等号成立的条件为. 故答案为： 9. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式，即可求解. 【详解】 则. 故答案为： 10. 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 11. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得，然后求出不等式的解，结合已知条件可得出关于的方程，进而可求得的值. 【详解】由题意知， 因为函数的值域为，所以，，可得， 由可知，且有，解得， 所以，，， 所以，，解得. 故答案为：. 【点睛】利用一元二次不等式的解集求参数，一般转化为解集的端点值为对应的一元二次方程的根，可以利用韦达定理或者利用代入法求解. 12. 若集合，若集合中的元素个数为4，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】判断函数，的单调性，由条件列不等式求的取值范围. 【详解】令，， 则 令，解得，则 令，解得，，则 元素个数为等价于元素个数为， 易知 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14每题4分，15-16每题5分，选对得分，否则一律得零分. 13. 已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到函数的图象，可得函数的定义域，且为偶函数，以及函数值的取值正负，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数的图象可得函数的定义域，且为偶函数， 对于A，函数定义域，且， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A不符合题意； 对于B，函数定义域，且， 所以函数为定义域上的奇函数，所以B不符合题意； 对于C，由函数，当时，可得与图象不符，所以C不符合题意； 对于D，函数定义域为，且， 所以函数为偶函数， 当时，；当时，，所以D符合题意. 故选：D. 14. 已知，则下列三个命题中正确的个数为（ ）个. ①若，则； ②若，则； ③若，则 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性，进行分析判断，即可求解. 【详解】对于①，由指数函数，它在定义域上是减函数， 因为，所以，故命题①错误. 对于②，由对数函数，它在定义域上是减函数， 因为，所以，故命题②正确. 对于③，由幂函数，其定义域为，且在上单调递增， 因为，所以，故命题③正确. 综上可得，命题②③正确，正确的命题有2个. 故选：B. 15. 中，以下与“”不等价的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角形边角性质以及正弦定理判断A；根据余弦函数的单调性判断B，举反例判断C；结合二倍角公式判断D. 【详解】对于A，中，由可知，结合正弦定理得， 反之亦然，A中结论等价； 对于B，由于在上单调递减，故可得， 反之亦然，B中结论等价； 对于C，取满足，而，故C中结论不等价； 对于D，, 由A知等价于，又， 故，D中结论等价， 故选：C 16. 已知函数，，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先求对称轴方程，在给定区间上有9条对称轴，由中点坐标公式可知x1+x2＝×2，以此类推，最后两个零点加和等于对称轴的二倍，各式相加，就可得出答案． 【详解】令＝，可得， 即函数的对称轴方程为， 令，可得，所以函数在上有9条对称轴． 根据正弦函数的性质可知，， （最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）， 将以上各式相加得， 故选：C． 【点睛】本题考查函数零点和方程根的关系，考查正弦函数图像的性质和对称性的应用，属于中档题. 三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数的定义域为集合，集合，且. （1）求实数的取值范围； （2）求证：函数是奇函数但不是偶函数. 【答案】（1） ;（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合，再由集合的包含关系，可得的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得的定义域，计算与比较，即可得到所求结论． 试题解析：（1）令，解得，所以， 因为，所以，解得，即实数的取值范围是 （2）函数的定义域，定义域关于原点对称 而，，所以 所以函数是奇函数但不是偶函数. 18. 已知四棱锥底面是正方形，平面． （Ⅰ）设平面平面，求证：； （Ⅱ）求证：平面平面． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由得线面平行，再由线面平行的性质定理得线线平行； （Ⅱ）证明平面后可得面面垂直． 【详解】证明：（Ⅰ）因为，平面，平面，所以平面， 而平面平面，平面，所以． （Ⅱ）因为平面，平面，所以， 因为四棱锥的底面是正方形，所以，而与相交，与都在平面内，所以平面， 又平面，所以平面平面． 19. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 20. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. （1）求这块铁皮的可用部分的面积； （2）求关于的函数表达式； （3）当时，求的最值，并求出当取得最值时，所对应的的值. 【答案】（1） （2） （3）最小值是，或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用矩形和圆的面积公式，即可求解； （2）过作，垂足为，得到，结合矩形的面积公式，即可求解； （3）由（2）知，化简得到，结合三角函数的基本关系式和二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，矩形的面积为，阴影部分的面积为， 所以可用部分的面积为 【小问2详解】 解：过作，垂足为， 由，且圆的半径为，可得， 所以， 所以矩形的面积. 【小问3详解】 解：由（2）知：矩形的面积， 故 ， 因为， 又因为，可得，所以， 则当时，矩形的面积取得最小值，即， 此时，所以， 解得或 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. 21. 定义:若函数与的图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. （1）判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； （2）若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; （3）若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 【答案】（1）具有“对称互补”关系，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义计算求解判断即可； （2）先求出导函数结合函数单调性计算求出参数范围； （3）构造函数求出导函数结合函数单调性计算极大值进而得出参数范围. 【小问1详解】 由题意得： ， ， 所以具有“对称互补”关系； 【小问2详解】 由题知：在上有唯一解； 令 当，此时单调递增； 当，此时单调递减； 所以在处取得极大值为， 所以或 所以或 【小问3详解】 由题知：在无解； 当时，无解； 所以 令 所以 当时，，在单调递增，此时 当时，，在单调递增； 当，，在单调减； 所以当时，在处取得极大值为，此时 综上， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长征中学2025学年第一学期高三期中测试数学学科试卷 (时间120分钟，满分150分)2025.11 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 已知集合，且，则_____. 2. 不等式解集是 __． 3. 函数（且）恒过定点_____． 4. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数_____． 5. 已知，，试用，表示__________________． 6. 在中，若，，，则的长为 _______. 7. 已知函数，若，则___________. 8. 通过三角不等式可知，则等号成立的条件为_____. 9. 若，则______. 10. 设，则的最小值为_________． 11. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________． 12. 若集合，若集合中的元素个数为4，则实数的取值范围为________ 二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14每题4分，15-16每题5分，选对得分，否则一律得零分. 13. 已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（ ）. A. B. C. D. 14. 已知，则下列三个命题中正确的个数为（ ）个. ①若，则； ②若，则； ③若，则. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 中，以下与“”不等价的是（ ） A B. C. D. 16. 已知函数，，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ） A. B. C. D. 三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数定义域为集合，集合，且. （1）求实数的取值范围； （2）求证：函数奇函数但不是偶函数. 18. 已知四棱锥的底面是正方形，平面． （Ⅰ）设平面平面，求证：； （Ⅱ）求证：平面平面． 19. 已知． （1）若，求不等式解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 20. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. （1）求这块铁皮的可用部分的面积； （2）求关于的函数表达式； （3）当时，求的最值，并求出当取得最值时，所对应的的值. 21. 定义:若函数与的图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. （1）判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； （2）若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; （3）若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $