精品解析：北京市育英中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（1-4班）

2025-2026学年度第一学期期中考试试题 高一数学（1-4班） 2026.11 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合且，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设有下面四个命题，其中真命题为（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，，若函数是定义域为M，值域为N的单调函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ） A. B. C. D. 7. “”是“函数在区间上是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（ ） A. 甲更低 B. 乙更低 C. 甲和乙一样高 D. 不能判断谁更高 10. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.） 11. 函数的定义域为______. 12. 设函数，则______． 13. 已知正实数、满足，则的最小值为______. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，______. 15. 已知函数，其中，下列结论正确的是_______． ①存在实数a，使得函数为奇函数 ②存在实数a，使得函数为偶函数 ③当时，的单调增区间为 ④当时，若方程有三个不等实根，则 三、解答题（本题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求a的取值范围． 17. 设函数，其中. （1）对于任意，都有，求t的值； （2）求在区间上的最小值. 18. 已知的定义域为，且满足，. （1）求的解析式、并判断函数的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. （3）解关于t的不等式. 19. 已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求集合A； （3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试试题 高一数学（1-4班） 2026.11 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合且，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合包含的元素特征，结合的结果可得结果. 【详解】，. 故选：D. 2. 设有下面四个命题，其中真命题为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据量词的意义，逐项分析其真假，即可求解. 【详解】对A：由恒成立，故该命题为假命题，故A错误； 对B：当时，，故该命题为假命题，故B错误； 对C：，故该命题为真命题，故C正确； 对D：，故无解，故该命题为假命题，故D错误. 故选：C. 3. 设集合，，若函数是定义域为M，值域为N的单调函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义以及定义域与值域，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】A图象不满足定义域要求； D图象中存在值对应两个值，不满足函数概念； C图象不满足单调函数概念； B图象满足定义域为，值域为，且单调递减. 故选：B 4. 下列四个函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数解析式直接判断各选项中函数的奇偶性及其在区间上的单调性，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，因为的定义域为，其定义域关于原点对称，且，所以函数为偶函数，又该函数在区间上单调递减，故A正确； 对于B选项，因为的定义域为R，其定义域关于原点对称，且，所以函数偶函数，又该函数在区间上单调递减，故B正确； 对于C选项，因为的定义域为，其定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故C不正确； 对于D选项，因为的定义域为，其定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故D不正确. 故选：AB. 5. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先对进行分类讨论，然后分别将其代入对应的解析式中即可求解的值 【详解】当时，得：，不符合题意，故舍去； 当时，得：，解得：，不符合范围条件，故舍去； 当时，得：，解得：或， 由于，故得：. 故选：C 6. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足. 【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧， 所以A、B、D三个选项均不符合，只有选项C符合题意. 故选：C. 7. “”是“函数在区间上是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的递增区间求得的范围，由集合关系即可判断. 【详解】的单调递增区间是， 因函数在区间上是增函数， 则，即， 又是的真子集， 故“”是“函数在区间上是增函数”的充分不必要条件， 故选：A 8. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式来求最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】由于，所以有，当且仅当时取等号， 即， 解得， 故选：A. 9. 司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（ ） A. 甲更低 B. 乙更低 C. 甲和乙一样高 D. 不能判断谁更高 【答案】B 【解析】 【分析】设甲每次的加油量为，乙每次得加油费为，先后两次油的单价分别为,依题意，计算甲与乙加油的均价，再作差比较，即可判断. 【详解】设甲每次的加油量为，乙每次得加油费为，先后两次油的单价分别为， 则甲两次加油的均价为：；而乙两次加油的均价为：， 由，因且，故得， 即乙两次加油的均价更低. 故选：B. 10. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可. 【详解】作出函数的图象，如下图： 可求得两图象交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.） 11. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式即可. 【详解】，即，得或， 故函数的定义域为. 故答案为： 12. 设函数，则______． 【答案】26 【解析】 【分析】根据分段函数的结构特点，代入求值即得. 【详解】因，故 故答案为：26. 13. 已知正实数、满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的对称性可得答案. 【详解】由于  是奇函数，满足  对所有  成立， 设 ，则 ， 由已知条件，当  时，， 利用奇函数性质， ， 因此当  时，. 故答案为： 15. 已知函数，其中，下列结论正确的是_______． ①存在实数a，使得函数为奇函数 ②存在实数a，使得函数为偶函数 ③当时，的单调增区间为 ④当时，若方程有三个不等实根，则 【答案】 【解析】 【分析】A、B利用奇偶性定义及解析式判断是否存在实数使或；C、D写出的分段函数性质，结合参数的范围，应用二次函数的性质判断单调区间，进而确定时方程根的情况求参数范围. 【详解】由，显然当a＝0时有， 但不存在实数a使成立，所以存在实数a，使得函数为奇函数， 不存在实数，使得函数为偶函数.所以①正确，②错误； 且在处连续，当时， 易知：在上递增，递减，上递增，③正确； 由解析式，当时在上递增，递减，上递增， 又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点， 所以，又，可得，④正确. 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值不等式以及一元二次不等式化简集合,即可根据并集定义求解， （2）根据交集的结果可得，即可分类讨论求解. 【小问1详解】 由可得， 当时，， 故 【小问2详解】 由可得， 当时，，解得，符合题意， 当时，若 ，则， 故，解得， 若 ，则， 故，解得， 综上可得 17. 设函数，其中. （1）对于任意，都有，求t的值； （2）求在区间上的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合不等式恒成立，根据函数的最值定义即得； （2）分、、三种情况，结合一元二次函数性质可求. 【小问1详解】 由题意可知，为函数的最小值， 又对称轴为，且开口朝上，则； 【小问2详解】 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 当时，在上单调递减，则； 综上，. 18. 已知的定义域为，且满足，. （1）求的解析式、并判断函数的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. （3）解关于t的不等式. 【答案】（1），奇函数； （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且使， 而， ， 因为，所以，， 由已知得，所以，故， 故，即， 最后得到在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质求解参数即可. （2）先判断单调性，再利用定义法证明即可. （3）结合函数单调性奇偶性及定义域去，即可求解. 【小问1详解】 因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数， 因为在处有定义，所以， 得到，解得，此时， 因为，所以，解得， 故的解析式， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 由函数的单调性及定义域可得： ， 解得：， 即不等式的解集为. 19. 已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求集合A； （3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】（1） （2）或者. （3）13 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； （3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. 【小问3详解】 估值+构造 需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $