专题02 平面向量、不等式（期末真题汇编，广东专用）高三数学上学期人教A版

专题02 平面向量、不等式 4大高频考点概览 考点01 平面向量的相关运算 考点02 平面向量的综合应用 考点03 不等式的性质与解法 考点04 基本不等式及其运用 地 城 考点01 平面向量的相关运算 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】先根据向量的运算化简，再平方应用数量积公式计算求出模长即可. 【详解】因为，则， 左右两边平方得，计算得， 又因为，所以， 所以.故选：D. 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）若向量，且，则（   ） A．1000 B． C． D．100 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解； 【详解】因为，所以， 则．故选：A 3．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知平面向量满足：，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出的值，再代入向量的模长公式求解. 【详解】已知，两边同时平方可得：. 展开得到：. 因，则，上式化为：，即. .故选：A. 4．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知向量，，，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量的坐标，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算可得出实数的值. 【详解】因为向量，，则， 因此，，则，解得.故选：B. 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知平面向量满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据向量的模可得，继而可得，由即可求解. 【详解】，所以， 所以，所以，可得， 所以.故选：. 6．（24-25高三上·广东·期末）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，再根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为向量，则， 若，则，解得.故选：C. 7．（24-25高三上·广东广州·期末）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由数量积的运算求出，再由投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以在上的投影向量为.故选：C. 二、多选题 8．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 【答案】ABD 【分析】利用平面向量数量积的运算性质计算出的值，可判断AC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于AC选项，因为和为单位向量，且， 则，则，故，A对C错； 对于B选项，，B对； 对于D选项，由平面向量数量积的运算性质可得， 所以，在方向上的投影向量是，D对. 故选：ABD. 9．（24-25高三上·广东·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由向量垂直与平行的坐标表示即可判断选项A，B；由向量模长的坐标计算即可判断选项C；由坐标计算夹角的大小即可判断选项D. 【详解】因为，， 对于A，因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B，因为，，所以，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以， ，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，所以，故D正确．故选：BCD． 10．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据向量的计算求，判断选项A;利用数量积的运算，判断选项B；求出，求解，判断选项C;根据投影向量计算公式，判断选项D. 【详解】对于选项A，是夹角为的单位向量， 则，故，故选项A正确； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，， 所以，又，所以，故选项C正确； 对于选项D，在上的投影向量为，故选项D正确.故选：ACD 三、非选择题 11．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知单位向量满足，则向量夹角的弦值是 ． 【答案】 【分析】通过平方即可求解； 【详解】因为，平方可得：， 所以，则．故答案为： 地 城 考点02 平面向量的综合应用 一、单选题 1．（24-25高三上·广东广州·期中）已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，建立方程，分析方程的解的个数即可得出答案. 【详解】当 时，，有无数组解，故A错误； 当时，，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 故方程有且仅有一组解，故B正确； 当时，，当或时方程成立，方程有无数组解，故C错误； 当时，即，即，方程有无数组解，故D错误.故选：B 2．（24-25高三上·广东·期末）已知是边长为的正三角形，点满足， ，则的最大值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】取的中点，以为坐标原点，过点平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，，利用坐标法及余弦函数的性质计算可得. 【详解】由题意得点，，在以为圆心、为半径的圆上，取的中点， 以为坐标原点，过点平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设，| 由，故 ，则，， 则，当且仅当时等号成立.故选 ：A. 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即，所以， 所以.故选：A. 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）点为曲线上一动点，为单位圆的一条直径的两个端点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意可得，且，根据及向量的线性运算，可得 ，再利用换元法及基本不等式求解即可. 【详解】解：设，则,由题意可得，且， 所以 ，令，则， 当且仅当，即时，等号成立.故选：C. 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知向量、满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设设，，，则可得，即可确定点的轨迹为双曲线一支，然后利用双曲线的性质求解. 【详解】设，，，，，则， 则，即， 即点到的距离与到点的距离之差为定值， 故的轨迹为以、为焦点，为半实轴长的双曲线的右支，如图所示： 则. 故选：B. 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知圆，直线，若直线l与圆C两交点记为A，B，点P为圆C上一动点，且满足，则最大值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先求出直线过定点，设中点为，则圆心到直线的距离的取值范围，将转化为，利用向量数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由题意知，圆心，半径， 直线，即， 由得，即直线过定点，故， 设中点为，则，且，又因为，所以， 所以 ,当时等号成立.故选：C. 二、非选择题 7．（24-25高三上·广东广州·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．设函数，则的互生向量= ；记的互生函数为，若函数在上有四个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】化简函数为可得互生向量，化简，作出简图，可得的范围. 【详解】因为，所以的互生向量． 由题，则， 若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根， 则函数与在上的图象有四个交点， 因为 ， 所以 由三角函数性质作其函数图象如图所示， 由三角函数图象及性质可知k的取值范围为． 故答案为：；. 地 城 考点03 不等式的性质与解法 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式确定集合，然后由并集定义计算． 【详解】由已知，， 所以．故选：C． 2．（23-24高三上·广东深圳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对可得，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则，即，即，解得得， 则不能推出，能推出， 则“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 二、多选题 3．（23-24高三上·广东·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对A：由不等式性质计算即可得；对B：结合指数函数的单调性即可得；对C、D：举出反例即可得. 【详解】对A：由，故，则，即，故A正确； 对B：由，且为定义域上的单调递增函数，故，故B正确； 对C：当，时，有，，此时，故C错误； 对D：当，时，有，，此时，故D错误. 故选：AB. 4．（23-24高三上·广东·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．“”是“”成立的充分不必要条件 D．若，则 【答案】BD 【分析】判断与不等式有关结论的正确与否，一般可考虑以下方法：①取反例说明不成立，②利用不等式性质推理得到命题为真，③通过作差法判断. 【详解】对于A项，若取，则，显然A项错误； 对于B项，因，又由知，故由不等式的性质易得B项正确； 对于C项，当时，满足，但是， 故推不出，即“”不是“”成立的充分条件，故C项错误； 对于D项，因，先证当时,必有成立. 即由可得：， 因，有， 故，即D项正确.故选：BD. 三、非选择题 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果. 【详解】由，得到，等价于，解得， 所以不等式的解集为.故答案为：. 6．（24-25高三上·广东湛江·期末）（1）求函数的定义域； （2）已知直线过点，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由分式、根式及对数的性质列不等式求函数定义域； （2）由题意，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值. 【详解】（1）由题意得，解得，所以函数的定义域为； （2）由题意得，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为8. 地 城 考点04 基本不等式及其运用 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知，且是方程的一个根，则的最小值是（   ） A． B．4 C．2 D．8 【答案】D 【分析】根据是方程的一个根得到和的关系，求出，根据基本不等式求出的最小值. 【详解】由是方程的一个根可得， 即，且，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是8．故选：D． 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】先利用基本不等式得到和的最小值，进而利用得到和的最小值，从而得到所求的最小值. 【详解】设． 因为为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，时取等号． 因为为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，当时取等号． ， 当，即时取“等号”，所以M的最小值为3．故选：D. 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用利用基本不等式化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，，即， 由于，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：B 4．（24-25高三上·广东·校考期末）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：D. 5．（24-25高三上·广东东莞·校考期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为8. 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立.即的最小值为8.故选：D. 6．（24-25高三上·广东汕头·期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】正实数满足，则， 当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4， 要使不等式恒成立，即，解得， 所以实数的取值范围是.故选：C. 二、多选题 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）【多选题】下列命题中，为真命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式对选项AC进行判断即可得A正确，C错误；当时，可将不等式化为，再由基本不等式判断可得B错误，取代入可得D正确. 【详解】对于A：利用基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：对于，， 当且仅当时，等号成立；即命题不成立，故B错误； 对于C：易知对于，， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于D：易知当时，，即，所以D正确. 故选：AD. 8．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知，直线，且，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是4 D．的最小值是3 【答案】BC 【分析】由线线垂直可得，结合基本不等式即可得解. 【详解】由，故，即，且， 对A，，即，故A错误； 对B，由，故，且有，即， ， 故当时，有最小值，故B正确； 对C，， 当且仅当，即，时，等号成立，故C正确； 对D，由，故， 故 ， 取等时需，即，此时，不符合要求， 故不能取等，即，故D错误.故选：BC. 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东·期末）已知正数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式得到，然后解不等式即可. 【详解】由基本不等式可得，所以， 解二次不等式得，当且仅当时取等号． 即的最大值为.故答案为：． 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 . 【答案】 【分析】根据条件得到，再通过转化和构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 则， 又，所以， 当且仅当，即时取等号， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故答案为：. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量、不等式 4大高频考点概览 考点01 平面向量的相关运算 考点02 平面向量的综合应用 考点03 不等式的性质与解法 考点04 基本不等式及其运用 地 城 考点01 平面向量的相关运算 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）若向量，且，则（   ） A．1000 B． C． D．100 3．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知平面向量满足：，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知向量，，，则实数（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知平面向量满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高三上·广东·期末）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．4 D． 7．（24-25高三上·广东广州·期末）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 9．（24-25高三上·广东·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、非选择题 11．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知单位向量满足，则向量夹角的弦值是 ． 地 城 考点02 平面向量的综合应用 一、单选题 1．（24-25高三上·广东广州·期中）已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东·期末）已知是边长为的正三角形，点满足， ，则的最大值为（   ） A．4 B． C．2 D． 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）点为曲线上一动点，为单位圆的一条直径的两个端点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知向量、满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知圆，直线，若直线l与圆C两交点记为A，B，点P为圆C上一动点，且满足，则最大值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 二、非选择题 7．（24-25高三上·广东广州·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．设函数，则的互生向量= ；记的互生函数为，若函数在上有四个零点，则实数的取值范围为 ． 地 城 考点03 不等式的性质与解法 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东深圳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（23-24高三上·广东·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·广东·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．“”是“”成立的充分不必要条件 D．若，则 三、非选择题 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）不等式的解集为 ． 6．（24-25高三上·广东湛江·期末）（1）求函数的定义域； （2）已知直线过点，求的最小值. 地 城 考点04 基本不等式及其运用 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知，且是方程的一个根，则的最小值是（   ） A． B．4 C．2 D．8 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高三上·广东·校考期末）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D．8 5．（24-25高三上·广东东莞·校考期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 6．（24-25高三上·广东汕头·期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）【多选题】下列命题中，为真命题的有（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知，直线，且，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是4 D．的最小值是3 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东·期末）已知正数x，y满足，则的最大值为 ． 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 . 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $