专题01 集合与常用逻辑用语、复数（期末真题汇编，广东专用）高三数学上学期人教A版

专题01 集合与常用逻辑用语、复数 5大高频考点概览 考点01 集合的基本运算 考点02 集合间的关系 考点03 充分、必要条件 考点04 全称量词与存在量词的判断与否定 考点05 复数的相关概念与运算 地 城 考点01 集合的基本运算 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·广东梅州·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知集合，且则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高三上·广东汕头·期末）已知全集，，则集合为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 集合间的关系 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东珠海·期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东·期末）已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东·期末）已知为整数，全集，，，设甲：；乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、非选择题 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知集合，，则的子集个数为 . 6．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 地 城 考点03 充分、必要条件 一、单选题 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C． D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）设函数，则“”是“的图象关于对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高三上·广东·期末）已知是等比数列的前n项和，则“依次成等差数列”是“依次成等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知直线与直线，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 6．（24-25高三上·广东广州·期末）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知，，下列给出的实数的值，能使p是q的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D．=2025 三、非选择题 8．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是 ． 地 城 考点04 全称量词与存在量词的判断与否定 一、单选题 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）命题“，”的否定是 （   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高三上·广东汕头·期末）下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高三上·广东深圳·校考期末）命题“存在无理数，使得是有理数”的否定为（    ） A．任意一个无理数，都不是有理数 B．存在无理数，使得不是有理数 C．任意一个无理数，都是有理数 D．不存在无理数，使得是有理数 地 城 考点05 复数的相关概念与运算 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）在复平面内，点对应的复数为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东湛江·期末）复数，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东湛江·期末）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）若复数，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东·期末）已知复数为纯虚数，则的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 7．（24-25高三上·广东深圳·期末）若复数满足，则（   ） A．1 B． C． D． 8．（24-25高三上·广东广州·期末）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（24-25高三上·广东汕头·期末）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（23-24高三上·广东汕头·期末）已知是关于的方程的一个根，则实数的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 二、多选题 11．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知复数在复平面对应的点为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的虚部为 D． 三、非选择题 12．（24-25高三上·广东·期末）在中学数学教材的课后阅读中，我们知道任何一个一元n次方程都有n个复数根，这些根在复平面上对应着一个个的点，比如对于方程来说，这个方程的3个复数根在复平面上对应的点就是，和．而且对于一个一元n次方程，如果该方程的根分别为，那么这个方程可以表示为，根据以上材料，回答下列问题： (1)直接写出方程与方程的复数根； (2)设函数（a，b，c为复数且），且方程有三个不同根，和，函数，且方程的根为和 （ⅰ）证明：若，和的虚部均为正实数，则和的虚部也为正实数（其中，与，，不相等）； （ⅱ）若，和在复平面上所对应的点分别为A，B和C（且A、B、C三点不共线），证明：和在复平面上的点始终在的内部． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语、复数 5大高频考点概览 考点01 集合的基本运算 考点02 集合间的关系 考点03 充分、必要条件 考点04 全称量词与存在量词的判断与否定 考点05 复数的相关概念与运算 地 城 考点01 集合的基本运算 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集求解即可. 【详解】故选：B. 2．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，然后利用交集运算求解即可. 【详解】由题意可得，则.故选：C. 3．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解一元二次不等式结合集合交集的定义求解即可. 【详解】，，故．选:D 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，根据集合的交集和补集的概念即可得到答案. 【详解】， 则或，则.故选：B. 5．（24-25高三上·广东·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，利用交集和补集的定义可求得集合. 【详解】因为，且， 因为，则，因此，.故选：B. 6．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】因为，，所以．故选：B． 7．（23-24高三上·广东梅州·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出集合，与集合取交集即可. 【详解】因为，函数的值域为，所以， 又因为，所以.故选：C 8．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知集合，且则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】确定集合，再由交集运算即可求解； 【详解】依题意：, 所以可得，则的元素个数为3．故选：C 9．（23-24高三上·广东汕头·期末）已知全集，，则集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用韦恩图即可得解. 【详解】因为， 又，所以.故选：C. 10．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集和补集的定义即可得出答案. 【详解】因为，， 所以，所以.故选：C. 地 城 考点02 集合间的关系 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解. 【详解】由得当时，，故选项A不正确； ，当时，，故选项B不正确； 当时，，故选项C不正确； 因为，所以，故选项D正确.故选：D. 2．（24-25高三上·广东珠海·期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合间的关系，建立不等式求解,注意集合B中元素的互异性． 【详解】由题意得，所以由，得，解得且， 所以实数的取值范围是.故选:D． 3．（23-24高三上·广东·期末）已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，求得，再进行选择即可. 【详解】因为集合A，B满足，故可得， 对A：当为的真子集时，不成立； 对B：当为的真子集时，也不成立； 对C：，恒成立； 对D：当为的真子集时，不成立；故选：C. 4．（24-25高三上·广东·期末）已知为整数，全集，，，设甲：；乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】由求出的取值集合，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则或或，则或或或， 当时，不符合题意，故舍去，其他均符合题意，所以； 因为的元素必有1，可能有，，要使，则， 所以或，解得或，即，此时， 验证得仅或时符合条件，所以，故必要性成立； 当时，不成立，故充分性不成立； 故甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选：B． 二、非选择题 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知集合，，则的子集个数为 . 【答案】4 【分析】先求交集中的元素，根据元素个数可得子集个数. 【详解】由解得或， 所以，有两个元素， 所以的子集个数为.故答案为：4. 6．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据子集定义分或两种情况计算求参即可. 【详解】因为集合，，且，所以或， 即时，不合题意； 当时，解得（舍）或， 当时，集合，，满足，所以，故答案为：. 地 城 考点03 充分、必要条件 一、单选题 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C． D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解不等式得或， 因为或， 因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）设函数，则“”是“的图象关于对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据的图象关于对称等价于恒成立，求出的值，即可判断充分性和必要性. 【详解】由题意，函数的定义域为. 因为函数的图象关于对称恒成立， 即恒成立， 化简得恒成立，即，解得. 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“的图象关于对称”的必要不充分条件.故选：C. 3．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由空间线、面的位置关系结合充分条件与必要条件的定义即可判断； 【详解】当直线相交且垂直时，平面可以相互平行， 当时，直线可以平行， 则“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D 4．（24-25高三上·广东·期末）已知是等比数列的前n项和，则“依次成等差数列”是“依次成等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，分别考虑充分性和必要性是否满足即得结论. 【详解】设等比数列的公比为， 由依次成等差数列可得，即， 因，可得，解得或. 当时，，不满足，故充分性不成立； 由依次成等差数列，可得，显然， 故有，因，且，化简得：，解得（舍去）或， 当时，，而， 故得，即依次成等差数列.故必要性成立. 综上可得，“依次成等差数列”是“依次成等差数列”的必要不充分条件.故选：B. 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知直线与直线，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线垂直求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为直线与直线， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A 6．（24-25高三上·广东广州·期末）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分析公差三种情况，当时无最大值，当时， 不一有最大值，即可得出论. 【详解】对于无穷等差数列，由于， 当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值， 当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值， 所以公差不能推出有最大值， 当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值， 所以当有最大值时，只能， 综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件，故选：A 二、多选题 7．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知，，下列给出的实数的值，能使p是q的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D．=2025 【答案】BCD 【分析】对于，解不等式求得的取值范围，根据p是q的充分不必要条件求得正确答案. 【详解】对于，，解得或， 而，要使p是q的充分不必要条件，则， 所以BCD选项正确，A选项错误.故选：BCD 三、非选择题 8．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量坐标运算公式将原问题转化为的一个充分不必要条件进而求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以，解得， 所以使成立的一个充分不必要条件是. 故答案为：（答案不唯一） 地 城 考点04 全称量词与存在量词的判断与否定 一、单选题 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）命题“，”的否定是 （   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为：，.故选：D. 2．（24-25高三上·广东汕头·期末）下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知选项A、D为全称量词命题，令可得选项B正确，根据二次根式的概念可得选项C错误. 【详解】根据题意可知，选项A、D为全称量词命题，选项B、C为存在量词命题. 当时，，选项B为真命题. 当时，，选项C为假命题.故选：B. 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可确定选项. 【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：C. 4．（23-24高三上·广东深圳·校考期末）命题“存在无理数，使得是有理数”的否定为（    ） A．任意一个无理数，都不是有理数 B．存在无理数，使得不是有理数 C．任意一个无理数，都是有理数 D．不存在无理数，使得是有理数 【答案】A 【分析】利用特称命题的否定是全称命题来得答案. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题得 命题“存在无理数，使得是有理数”的否定为“任意一个无理数，都不是有理数”故选：A. 地 城 考点05 复数的相关概念与运算 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）在复平面内，点对应的复数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数几何意义，复数除法，复数模定义可得答案. 【详解】点对应的复数为， 则.故选：D 2．（24-25高三上·广东湛江·期末）复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由乘法运算及共轭复数概念即可求解； 【详解】由题意可得，则．故选：B 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算直接化简，即可得解. 【详解】由已知，其虚部为，故选：D. 4．（24-25高三上·广东湛江·期末）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的乘法化简所求复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，所以复数对应的点位于第四象限.故选：D. 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）若复数，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复数的除法和乘法运算化简，再应用共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以．故选：A. 6．（24-25高三上·广东·期末）已知复数为纯虚数，则的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算得出参数再结合虚部定义得出虚部即可判断. 【详解】因为为纯虚数， 所以的虚部为．故选:B． 7．（24-25高三上·广东深圳·期末）若复数满足，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的模求解即可. 【详解】由可得，则，于是故选：D. 8．（24-25高三上·广东广州·期末）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由复数的乘、除运算即可求解. 【详解】复数在复平面内所对应的点位于第一象限，设， ∵，∴，，， ∴复数在复平面内所对应的点位于第四象限，故选：D． 9．（24-25高三上·广东汕头·期末）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设，得复数的模，代入根据复数相等的条件得方程组，解之可得选项. 【详解】设，则，因为， 所以，所以，解得， 所以，所以.故选：C. 10．（23-24高三上·广东汕头·期末）已知是关于的方程的一个根，则实数的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算即可得解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，则.故选：A. 二、多选题 11．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知复数在复平面对应的点为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的虚部为 D． 【答案】BD 【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用共轭复数的定义可判断A选项；利用复数的模长公式可判断B选项；利用复数的概念可判断C选项；利用复数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则， 可得，所以，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，的虚部为，C错； 对于D选项，由复数的几何意义可得，D对.故选：BD. 三、非选择题 12．（24-25高三上·广东·期末）在中学数学教材的课后阅读中，我们知道任何一个一元n次方程都有n个复数根，这些根在复平面上对应着一个个的点，比如对于方程来说，这个方程的3个复数根在复平面上对应的点就是，和．而且对于一个一元n次方程，如果该方程的根分别为，那么这个方程可以表示为，根据以上材料，回答下列问题： (1)直接写出方程与方程的复数根； (2)设函数（a，b，c为复数且），且方程有三个不同根，和，函数，且方程的根为和 （ⅰ）证明：若，和的虚部均为正实数，则和的虚部也为正实数（其中，与，，不相等）； （ⅱ）若，和在复平面上所对应的点分别为A，B和C（且A、B、C三点不共线），证明：和在复平面上的点始终在的内部． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）分解因式可得的复数根为；设代入方程利用复数相等可得方程的复数根； （2）（ⅰ）反证法：若和的虚部不全为正实数，记为复数x的虚部，由，得，设函数，设方程其中一个根z满足，则，得出与矛盾（ⅱ）由（ⅰ）可知，由得，将、和看做向量、和，记，可利用反证法证明结论成立.． 【详解】（1），故该方程的复数根为． 设，代入方程可得， 即， 所以，解得， 故该方程的复数根为； （2）（ⅰ）反证法：若和的虚部不全为正实数， 记为复数x的虚部，注意到， 所以，而， ， 所以， 因为， 所以， 设函数， 设方程其中一个根z满足， 则，而，，所以． 所以与矛盾； （ⅱ）由（ⅰ）可知， ，即， 故有，将，和看作向量，和， 记，则①， 由于，且， 若z不在内部，不妨设过原点与z的连线与线段AB交于点M， 则由向量共线可得存在使得， 与结论①矛盾，故z在内部． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $