3.1.2椭圆的简单几何性质过关检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质过关检测 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为A．若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．点在椭圆的内部，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M是椭圆上一点，点A是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别是，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知椭圆的焦距为8，离心率，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，设动点P到直线的距离为d，若，则（    ） A．点P的轨迹是以为直径的圆 B．点P的轨迹曲线的离心率等于 C．点P的轨迹方程为 D．的周长为定值 三、填空题 9．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为 ． 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为6，则的值是 ，椭圆的离心率为 ． 四、解答题 11．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴的长为12，离心率为； (2)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (3)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 12．已知焦点在轴上的椭圆半长轴离心率等于. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点是椭圆上的一点，焦点分别为，且的面积为1，求点的坐标. 13．在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围. 14．已知椭圆：过点，离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为.求直线与坐标轴围成的三角形的面积. 解析 一、单选题 1．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 答案：D 分析：将椭圆的方程化为标准形式，进而根据焦距求出m的值. 解析：将椭圆的方程化为标准形式为：， 显然，即， ，解得. 故选：D 2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：利用焦点坐标和离心率求得，由此求得椭圆的方程. 解析：依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上， 且， 因此椭圆的方程是.故选：C 3．已知椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为A．若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：根据的正切值，求出的余弦值，在用余弦定理求出用表示，再求解. 解析：设则， 又，在中，由余弦定理得： 。 故选：A 4．点在椭圆的内部，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案：A 分析：根据点在椭圆内部得不等式，解不等式得结果. 解析：因为点在椭圆的内部，所以,解得,选A. 点睛：本题考查点与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基础题. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M是椭圆上一点，点A是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：由余弦定理得到再利用得到即得解. 解析： 设，则 由余弦定理得 所以, 所以 因为， 所以 整理得即 整理得所以 故选：B . 6．已知椭圆的左、右焦点分别是，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：由可知，，依题可知，，利用余弦函数的单调性可知，当是短轴的端点时，最大，最小，由向量的数量积运算得出椭圆离心率的取值范围. 解析：由可知，，依题可知，只需，而函数在上单调递减，所以最大时，最小． 由椭圆的对称性可知，当是短轴的端点时，最大， 不妨设，则， 所以，即，即，故，即. 因为，所以. 故选：B 二、多选题 7．已知椭圆的焦距为8，离心率，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 答案：AB 分析：根据题意可得到、的值，计算可得的值，分析焦点的位置，可得椭圆的标准方程. 解析：由题意有，则， 离心率，， ，. 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 故选：AB． 8．已知点，，设动点P到直线的距离为d，若，则（    ） A．点P的轨迹是以为直径的圆 B．点P的轨迹曲线的离心率等于 C．点P的轨迹方程为 D．的周长为定值 答案：BC 分析：设动点的坐标，利用等式建立方程、化简得到动点轨迹方程，再利用椭圆的相关知识进行求解. 解析：设，则，，所以由，得，整理可得，即点P的轨迹为椭圆且方程为，故A错误，C正确； 由轨迹方程得，，则离心率，故B正确； 由椭圆定义知，的周长为，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 9．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为 ． 答案： 解析：依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8. ∴椭圆C的方程为 考点：椭圆的定义及几何性质 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为6，则的值是 ，椭圆的离心率为 ． 答案： 解析：由题意得；由椭圆的定义知， 所以，又由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，所以，解得，故，，离心率． 故答案为：； 四、解答题 11．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴的长为12，离心率为； (2)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (3)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 分析：（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a、c，进而求参数b，即可写出椭圆方程. （2）由短轴长及离心率求椭圆参数a、c，再讨论椭圆焦点在x轴上或在y轴上得解； （3）先求出椭圆焦点即可得椭圆焦点坐标为，进而可设圆方程为且，解出和即可得解. 解析：（1）由已知,，，得：，，从而. 所以椭圆的标准方程为. （2）由题得， 所以椭圆的标准方程为或. （3）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为， 因为椭圆与有相同的焦点，且经过点， 所以可设椭圆方程为，且，化简得， 故，解得（舍去）或，故. 所以椭圆的标准方程为. 12．已知焦点在轴上的椭圆半长轴离心率等于. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点是椭圆上的一点，焦点分别为，且的面积为1，求点的坐标. 分析：（1）由离心率求出，然后可得，从而得椭圆标准方程； （2）由三角形面积求出点纵坐标后再得横坐标． 解析：（1）由得，所以， 所以椭圆的标准方程为 （2）设，由（1）得，且 ，得，所以， 因为，解得 所以点的坐标有以下可能： 点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查椭圆的离心率、焦点等几何意义，属于基础题． 13．在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围. 分析：（1）根据椭圆的定义，即可求得a，c的值，根据a，b，c的关系，求得b值，即可得答案. （2）联立直线与椭圆方程，根据有公共点，可得，化简整理，即可求得答案. 解析：（1）由已知得 由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，焦距长，长轴长的椭圆. 所以， 所以曲线的方程是. （2）由得. ， 因为直线与曲线有公共点，所以，即， 解得，或. 故实数的取值范围是. 14．已知椭圆：过点，离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为.求直线与坐标轴围成的三角形的面积. 分析：（1）运用椭圆的离心率公式和点满足方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程； （2）设，，代入椭圆方程，由点差法和中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到中点弦方程，分别求得与x，y轴的交点，可得三角形的面积． 解析：（1）由已知，得，，， ∴椭圆的标准方程为. （2）设，代入椭圆方程得，两式相减得， 中点坐标公式得， ∴直线方程为 令，，令， . 点睛：本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式的运用；考查中点弦方程的求法，注意运用点差法的运用；考查运算能力，属于中档题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $