椭圆的简单几何性质——离心率教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆离心率的定义及应用，通过引导学生在同一坐标系绘制三个a相同b不同的椭圆，观察扁平程度差异，联系椭圆定义中a、b、c的关系，以作图、设问为支架，衔接直线与圆的知识，为圆锥曲线后续学习铺垫。 该资料以生本课堂为特色，通过作图观察培养直观想象，用控制变量法分析a、b、c关系发展逻辑推理，引导学生自主抽象出离心率定义，例题与跟踪训练结合提升数学运算，学生板演互评强化重点，分层作业兼顾基础与提升。帮助学生深化几何直观和运算能力，为教师提供可操作的核心素养培育路径。

《椭圆的简单几何性质——离心率》教学设计 课题名称 《椭圆的简单几何性质 ——离心率》 教材版本 人教A版（2019年）选择性必修一册 授课时间 45分钟 授课类型 新授 课时 第1课时 一．教材分析 本节内容为人教A版（2019年）选择性必修一册中第三章圆锥曲线的第一节椭圆的第二板块内容《椭圆的几何性质》。本节课是第一课时，研究内容主要有两个，一是探究椭圆的形状是由什么决定的，二是利用椭圆的离心率解决问题。从教材地位上来讲，选择性必修第一册的主要内容为几何与代数，第二章直线与圆的方程的学习为椭圆的学习进行了铺垫，而椭圆这一节又是圆锥曲线这一章的第一个重要内容，对于后续学习双曲线与抛物线提供了方式方法，而离心率正是串联三种曲线最本质的纽带，因此本课时起到承上启下的作用。 二．课标分析 《普通高中数学课程标准》在课程目标中明确指出，数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的，可见，“学科核心素养”是集合概念，是从学生学习结果的角度界定未来社会所需要的人才的形象。因此，“核心素养”与“学科核心素养”落地，需要探寻有效的培育途径和过程。于是在这堂课程的设计中，更加落实从学生学情的角度出发，培养学生的核心素养。 对于《椭圆的几何性质——离心率》的研究中，需要从几何的角度培养逻辑推理和直观想象的学科核心素养，而从离心率的应用中培养数学抽象和数学运算的学科核心素养。 三、学情分析 本节课的授课对象是普通高中高二年级文科班学生，学生基础相对较弱，但是班内学生数学学习兴趣较浓，学习主动性高，绝大部分学生都勤于思考，能够踏实计算。但是学生思维跳跃度不够，几何想象力较弱，逻辑推导易受阻，计算过程中易出错。所以本节课在设计上将知识概念拆解成许多个小问题，带领学生层层深入，逐步完善。本节课的一大难点在于认识椭圆的离心率，建立圆锥曲线的定义和形状的联系，所以给学生留的时间较多，将带领学生细细体会，总结方法。 四．教学目标及核心素养 1.数学抽象：认识椭圆的形状，将其抽象成数学概念，并和椭圆的定义进行联系。 2.数学运算：通过椭圆的定义和标准方程来计算离心率，以及已知离心率求椭圆的标准方程。 3.直观想象：从图形中发现椭圆离心率的各种表示，以及椭圆的中心、焦点、和短轴顶点形成的特殊三角形。 五．重难点 1.重点：根据题目条件和问题，能计算椭圆的离心率。 2.难点：已知离心率，求椭圆的标准方程。 六．教法学法 教法：启发式+探究式+任务驱动式三段式教学方法。 学法：自主学习+合作探究+类比联想+观察分析等科学思维方法。 七．教学准备 多媒体课件（包括 PPT 课件） 八、教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 离心率的 定 义 问题一：请在同一个平面直角坐标系中画出以及的图象，并在图上标出其顶点坐标. 问题二：观察图象，找出三个椭圆之间的区别和联系. 生答：考察观察的能力和椭圆的简单几何性质，三个椭圆的a相同，b不同. 师问：请问这些不同使得这些椭圆产生了什么区别？ 生答：形状不同（扁平程度不同）. 学生自己动手做出三个图象；观察图象找出其中图象的联系和区别 活动形式：学生上台板演（10分钟） ①从简单的问题出发，学生的基础薄弱需要在他们能力范围之内快速集中其注意力，进入课堂状态；②在作图的过程中巩固椭圆其他的几何性质，例如对称性、顶点坐标等；③在学生思考和绘制的过程中培养学生的直观想象的数学核心素养。 问题三：如何刻画椭圆的扁平程度呢？观察图象，你能否给出相应的定量分析？ a不变时，b越大椭圆越接近圆，b越小椭圆越扁平扁平 接近圆 师问：我们知道椭圆生成的时候并不是a和b生成的，那我们可不可以回扣椭圆的生成呢？ 生答：可以用c和a的比值来描述. 离心率：我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示；利用离心率e＝可以刻画椭圆的扁平程度. 师问：我们知道椭圆可以想象成圆变化而来的，是把圆心分成两个焦点，当焦点距离变化的时候，我们的椭圆形状也会发生变化，是怎么变的呢？ 生答：焦点距离越大，椭圆越扁平；距离越小，椭圆越接近圆. 师问：如何把两种描述联系起来？ 生答： 小结：如何判断椭圆的的扁平程度，如何描述其扁平程度. 学生思考三个问题：第一个是结合图象观察，影响椭圆的扁平程度的量是什么；第二个是如何更好的定量分析能帮助我们判断形状；第三个是如何把我们的定量分析和椭圆的定义结合起来（5分钟） 问题具象化，将抽象的问题转化成具体的定量分析，引入科学实验中的控制变量法，简化对象，分析解决问题。1、通过作图来观察判断椭圆的形状，自己探索得到离心率这个几何性质； 2、联系椭圆的定义和椭圆的生成来完善对离心率的理解. 椭圆的 离心率 活动一：探究椭圆的离心率 例1：求下列椭圆的离心率 (2)若椭圆长轴长为4，则其离心率为 ； (3)已知椭圆E: + ＝1(a＞b＞0)的焦距为2,一个顶点坐标为(0,),则它的离心率为________. 答案： 解析：（1）； （2）2a=4，a=2，b=1，； （3）2c=2，由图可知，，a=2，. 结论1：通过求a,b,c求离心率. 结论2：. 学生活动1：计算以上椭圆的离心率 学生活动2：思考要求椭圆的离心率需要求些什么。 活动形式：学生希沃板演以及口述回答（8分钟） 由问题出发，首先培养学生的数学运算的核心素养；再通过题目去总结如何求离心率，培养学生逻辑推理的核心素养。 跟踪训练： 1.(多选)为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是 A.1 B. C. D. 2.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为_____. 答案：（1）CD；（2）(2,4]. 解析：（1）①当焦点在x轴上时，a=,b=,c=∴，即m=； ②当焦点在y轴上时，a=，b=，c=，∴，即m=. （2） e=，， 即. 小结：(1)挖掘题目中条件，要注意分类讨论，考虑焦点的位置; (2)不等式的解题要细致. 学生继续训练两个问题。 活动形式：学生台下训练，老师希沃投屏（7分钟） 由学生总结出活动一的两个结论，再进行训练，问题递进，对于离心率的范围问题应该如何解决? 从学生的“最近发展区〞出发设置问题，由椭圆的定义易得出结果，但是学生容易忽略考虑焦点的位置，审题是学生的短板；解不等式是学生的弱项，强化注意，求离心率的范围的关键是寻找不等关系. 椭圆的标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3,0)，离心率e＝. 答案： (2)＋＝1或＋＝1. 解析：（1）c=b=3，a=，考虑焦点的位置. （2）当焦点在x轴上时，a=3；当焦点在y轴上时，b=3. 师问：请同学们评价一下这位同学的作答过程中值得学习的地方或者是需要改进的地方. 生答：（寻找优缺点） 师问：我们是否能从例2（1）的图形中找出离心率？ 生答： 活动一：学生结合椭圆以及离心率的定义去求椭圆的标准方程，在这个过程中去发现题目中的易错点。 活动二：通过评价展示同学的过程，自己总结在面对这类题目时的处理方式。 活动形式：学生板演、学生点评、学生总结（7分钟） 强化圆锥曲线中几何和代数的关系，学会通过观察几何关系得到离心率之间的关系，直接解决题目. 通过观察和评价同学的解答过程，看是否有值得借鉴或者改进的地方，以此来集中学生的注意力，沉浸式分析题目，也更具有信服力，学生更易接受和消化。 跟踪训练：　 (1) 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的比为，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________. (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是______________________. 答案：（1）＋＝1； (2)＋＝1或＋＝1 小结：结论的直接运用. 学生活动：上台板演，同学点评，同学总结 通过一题一练来巩固学生对离心率结论的记忆和理解。 课堂小结 椭圆定义 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹。 图形 标准方程 焦点坐标 顶点坐标 a、b、c 的关系 a2-c2=b2 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 离心率 注：所有知识点和方法由学生总结，并相互补充（3-5分钟） 板书设计 3.1.2椭圆的简单几何性质 1． 简单几何性质 顶点坐标： 对称性：对称轴：坐标轴 对称中心：原点 取值范围： 2． 离心率的由来 扁平 接近圆 a不变时，b越大椭圆越接近圆，b越小椭圆越扁平 3． 离心率的定义 我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示；利用离心率e＝可以刻画椭圆的扁平程度. 4． 离心率的应用 1. 求离心率：求出椭圆的a,b,c 2. 离心率的表示： ① ② 3.注意点：求椭圆方程需要讨论焦点位置(易错点) 作业设置 必做题：教材 P112 ：3、4、5 课时作业 P207 ：1、2、3 、4、6 选做题：课时作业 P208 ：14 教学反思 本节课内容为新授课内容，从椭圆的作图的简单问题入手，层层递进，让学生在观察的过程当中一步步发现规律，总结椭圆的特点，如何描述椭圆的形状，以及离心率的定义。整节课选题经典，注重基础，由易到难，一题多解，注重前后题目的联系，思维得到了升华。板书工整，生本课堂理念落实到位，学生回答问题声音洪亮，逻辑清楚，书写美观，说明平时教师注重培养学生的表达能力与思维能力；做到了四权下放，让学生自主完成，独立思考。 建议：可以更多的利用多媒体展示平台，这样可以让学生在讲解的过程当中更加有效的接收思路，并且可以缩短讲解时间，为后面的思维拓展题留更加充分的时间。 学科网（北京）股份有限公司 $