专题一 微专题1 含参三角函数特征量ω问题 讲义-2026届高三数学二轮专题

专题一 三角函数与解三角形 微专题1 含参三角函数特征量ω问题 目标要求：1.掌握对函数类型的单调性，最值，周期，对称性的研究方法，主要技巧为换元法； 2.掌握含参的讨论要点，先三角变换标准型，A看最值，看周期，由零点最值点定，最后注意角范围。 一、考点透析 考点1 三角函数的周期T与ω的关系 1．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 考点2 三角函数的单调性与ω的关系 1．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·北京高三阶段练习）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤），f（－）＝0，｜f（）｜＝1，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（　　） A.7 B.9 C.11 D.13 考点3 三角函数的对称性与ω的关系 1．（2025·山东青岛·三模）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·湖南长沙·三模）将函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于轴对称，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．5 考点4 三角函数的最值与ω的关系 1． （2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 . 2. 将函数f（x）＝sin（2ωx＋φ）（ω＞0，φ∈[0，2π]）图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，函数g（x）的部分图象如图所示，且g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为－1），则ω的取值范围是（　 　） A.（，］ B.［，） C.［，） D.（，］ 考点5 三角函数的零点与ω的关系 1．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．（2025·河北唐山·三模）已知函数在区间上恰好存在5个零点，则正整数 . 二、跟踪练习 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 2.函数f(x)＝2sin (ω>0)在区间[0，20]上有50个最大值，则ω的取值范围__________. 3．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 4.（2025·福建九地市质量检测）已知函数f（x）＝2sin ωx（sin ωx＋cos ωx）（ω＞0）在（0，）上单调递增，且对任意的实数a，f（x）在（a，a＋π）上不单调，则ω的取值范围为（　　） A.（1，］ B.（1，］ C.（，］ D.（，］ 5.已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx＋1(ω>0)在(0，2π)上有且只有5个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 三角函数与解三角形 微专题1 含参三角函数特征量ω问题 一、考点透析 考点1 三角函数的周期T与ω的关系 1．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】周期变换及解析式特征、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据题意可得出三角函数的周期，然后求出结果即可. 【详解】由题可知是该函数的周期的整数倍，即， 解得，又，故其最小值为. 故选：B． 2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、周期变换及解析式特征 【分析】先根据经过点，得出只能为整数，排除选项A，C；再结合图像可验证选项B满足题意，选项D不满足题意. 【详解】由题意知经过点， 因此，得：， 即只能为整数，排除选项A，C； 当时，作出与在上的图象： 由图像可得：与的图象在上有5个公共点，满足题意. 当时，作出与在上的图象： 由图象可得：与的图象在上有7个公共点，不满足题意. 故选：B. 考点2 三角函数的单调性与ω的关系 1．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可. 【详解】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调， 所以，则，解得， 当时，， 且，， 所以，解得，结合，得的取值范围为． 故选：D． 2.（2025·北京高三阶段练习）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤），f（－）＝0，｜f（）｜＝1，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（　　） A.7 B.9 C.11 D.13 【答案】C 【解析】（1）函数f（x）＝sin（ωx＋φ），因为f（－）＝sin（－ω＋φ）＝0， 所以－ω＋φ＝kπ，k∈Z　①，又｜f（）｜＝1， 所以x＝是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的一条对称轴， 所以ω＋φ＝k'π＋，k'∈Z　②，由①②可得φ＝π＋，k，k'∈Z， 又因为｜φ｜≤，所以φ＝±，且ω＝－4k＋1，k∈Z或ω＝－4k－1，k∈Z， 又函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期T＝，又f（x）在（，）上单调， 所以－≤，所以0＜ω≤12，所以ω的最大值为11. 故选C. 考点3 三角函数的对称性与ω的关系 1．（2025·山东青岛·三模）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由三角函数图象的对称性可得结果. 【详解】由题意，可得，且，即， 所以，解得：，， 函数， 所以. 故选：C. 2．（2025·湖南长沙·三模）将函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于轴对称，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】B 【分析】利用三角函数平移规律得到函数，由函数图象关于轴对称，推出函数为偶函数，求得，结合选项即得. 【详解】函数的图象向左平移个单位得到的函数为：， 依题意，函数是偶函数，故， 解得，又，结合选项，可得可以取1． 考点4 三角函数的最值与ω的关系 1．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得的范围，因此在这个范围内，从而可得的范围. 【详解】由题意，在区间上的最小值为， 当时，； 当时，. 则的取值范围为或. 故答案为：. 2. 将函数f（x）＝sin（2ωx＋φ）（ω＞0，φ∈[0，2π]）图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，函数g（x）的部分图象如图所示，且g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为－1），则ω的取值范围是（　 　） A.（，］ B.［，） C.［，） D.（，］ 【答案】C 【解析】（2）由已知得函数g（x）＝sin（ωx＋φ），由g（x）图象过点（0，）以及点在图象上的位置，知sin φ＝，φ＝，∵0≤x≤2π，∴≤ωx＋≤2πω＋，由g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴≤2πω＋＜，∴≤ω＜.所以答案选C 考点5 三角函数的零点与ω的关系 1．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 2．（2025·河北唐山·三模）已知函数在区间上恰好存在5个零点，则正整数 . 【答案】5 【分析】令，得到，并求出，数形结合得到，求出答案. 【详解】令，即，当时，， 因为，故或，其中， 从小到大，设函数零点分别为， 则有，，， ，， 由题意知，解得，故正整数. 故答案为：5 二、跟踪练习 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 2.函数f(x)＝2sin (ω>0)在区间[0，20]上有50个最大值，则ω的取值范围__________. 【答案】 【解析】因为函数f(x)＝2sin (ω>0)在区间[0，20]上有50个最大值， 第1个最大值为：ωx＋， 第2个最大值为：ωx＋＋2π， 第3个最大值为：ωx＋＋4π， …… 第50个最大值为：ωx＋＋49×2π， 第51个最大值为：ωx＋＋50×2π， 所以＋49×2π≤20ω＋<＋50×2π，解得 ≤ω<＋5π， 综上：ω的取值范围是. 3．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得在上单调，借助函数图象的对称轴建立不等式求出范围即可. 【详解】依题意，函数在上单调，函数图象对称轴为， ，解得， 由，解得，又，则或， 所以或，的取值不可能是. 故选：C 4.（2025·福建九地市质量检测）已知函数f（x）＝2sin ωx（sin ωx＋cos ωx）（ω＞0）在（0，）上单调递增，且对任意的实数a，f（x）在（a，a＋π）上不单调，则ω的取值范围为（　　） A.（1，］ B.（1，］ C.（，］ D.（，］ 【答案】D 【解析】　f（x）＝2sin ωx（sin ωx＋cos ωx）＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx＝2sin（2ωx－）＋，∵f（x）在（0，）上单调递增，∴2ω·－≤，解得ω≤，又对任意的实数a，f（x）在区间（a，a＋π）上不单调，∴f（x）的周期T＜2π，∴T＝＜2π，∴ω＞，∴＜ω≤，故选D. 5.已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx＋1(ω>0)在(0，2π)上有且只有5个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】C　 【解析】因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＋1＝2sin ＋1， 令f(x)＝2sin ＋1＝0，即sin ＝－， 所以sin ＝－在(0，2π)上有且只有5个零点， 因为x∈(0，2π)，所以ωx－∈(，2πω－)， 所以由正弦函数图象，如图，要使sin ＝－在(0，2π)上有且只有5个零点，则<2πω－，即<ω≤， 所以实数ω的取值范围是.故选C． 学科网（北京）股份有限公司 $