精品解析：云南省玉溪市红塔区玉溪师范学院附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

玉溪师院附中2028届高一上学期期中考试数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：蔡明珏 审题人：陈照辉 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共8题，总计40分.） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，，所以，又， 所以. 故选：A. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可直接写出答案. 【详解】的否定为 故答案为：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根号内非负，以及分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】因为的定义域满足解得． 故选：A. 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】对A，当时，，A错； 对B，例如时，，B错； 对C，例如，满足，但，C错； 对D，若，则，所以，D正确． 故选：D． 5. 设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数关系的定义逐个判断即可. 【详解】A选项，集合P中的这部分在集合Q中没有元素对应，故A选项错误； B选项，，均存在唯一与其对应，故B选项正确； C选项，存在集合P中一个元素对应集合Q中的两个元素，故C选项错误； D选项，集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素，故D选项错误； 故选：B. 6. 已知，则的最大值为（ ） A. B. 15 C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设，从而求出，从而可得 【详解】由题意设， 则，解得， 因为，， 所以，则的最大值为，故A正确． 故选：A． 7. 已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化为，解之即可. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以. 故选：A 8. 存在函数满足：都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用换元法求原函数解析式，结合函数定义：对于任意自变量取值有且仅有唯一对应函数值判断是否正确即可. 【详解】A：令，则，故，显然不满足函数定义； B：令，则，故，显然不满足函数定义； C：令，则，故，显然不满足函数定义； D：令，则，故，满足函数定义. 故选：D 二、多选题（每题6分，未选全得部分分，选全得满分，选错得零分；共3题，总分18分.） 9. 已知，若q是的充分不必要条件，则q可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由先求出，再分析出q是的充分不必要条件，即对应的集合是对应集合的真子集，然后逐一验证A，B，C，D选项所对应的集合是否为集合的真子集，即可得解. 【详解】由，可得. 因为q是的充分不必要条件，所以由q能推出，不能推出， 即对应的集合是对应集合的真子集， 因为是的真子集，所以是的充分不必要条件，故A正确； 因为与没有包含关系，所以不是的充分不必要条件， 故B错误； 因为是的真子集，所以是的充分不必要条件，故C正确； 因为，所以是的充要条件，不是充分不必要条件， 故D错误； 故选：AC 10. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】通过函数定义域及对应关系逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，错误； 对于B，的定义域为， 的定义域为，同一函数，正确； 对于C，和，对应关系不一样，不是同一函数，错误； 对于D，与的定义域都是，对应关系一样，同一函数，正确； 故选：BD 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，对选项A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点，此时为等边三角形，即可求解. 【详解】由于， 对于选项A，设任意，则； 设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确， 对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误， 对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确， 对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误， 故选：AC． 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共3题，总分15分.） 12. 若函数，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据函数的解析式直接求函数值可得. 【详解】由，得． 故答案为：0. 13. 已知的定义域为，函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列不等式组求解即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，须有：，解得且. 函数的定义域为. 故答案为：. 14. 时，的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 四、解答题（共5题，总分77分.） 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，根据补集的定义求出集合，再根据交集的定义和运算规则求解； （2）根据已知条件得出，再分集合和集合两种情况讨论求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 当时，集合， ， 或， 或． 【小问2详解】 若，则, 当时，，解得， 当时，，解得， 又，，解得， 时，， 综上，实数m的取值范围为：． 16. 已知函数 （1）画出函数的图象； （2）若，求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式画出函数图象； （2）由解析式分段计算； （3）根据解析式由内到外依次计算即可. 【小问1详解】 因为，所以函数的图象如下所示： 【小问2详解】 因为， 令，则或或， 解得或或， 综上可得所对应的的值为或. 【小问3详解】 因为， 所以，则，， 所以. 17. 完成下列不等式的证明： （1）对任意的正实数，，，证明：； （2）设，，为正实数，且，证明：. 【答案】（1） 由基本不等式可得， 所以， 即 当且仅当时取等； （2） 因为 所以，即， 因为 所以， 所以，当且仅当时取等． 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得到，相加后得到答案； （2）由基本不等式得到，相加后得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. （1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】 （1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据求函数解析式的三种方法：待定系数法，配凑法，解方程组法，分别求解（1）（2），（3）小题. 【详解】（1） （待定系数法）∵是一次函数，可设， 由题可知：，即， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）(配凑法)， 又， 当且仅当即时等号成立. 设则，∴， ∴函数的解析式为. （3）(解方程组法)∵，① ∴，② 由得，∴. ∴函数的解析式为. 19. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】（1）100 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. 【小问2详解】 由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪师院附中2028届高一上学期期中考试数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：蔡明珏 审题人：陈照辉 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共8题，总计40分.） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 5. 设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最大值为（ ） A. B. 15 C. D. 13 7. 已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 存在函数满足：都有（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，未选全得部分分，选全得满分，选错得零分；共3题，总分18分.） 9. 已知，若q是的充分不必要条件，则q可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共3题，总分15分.） 12. 若函数，则___________． 13. 已知的定义域为，函数的定义域为______． 14. 时，的值域为__________. 四、解答题（共5题，总分77分.） 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知函数 （1）画出函数的图象； （2）若，求的值； （3）求的值. 17. 完成下列不等式的证明： （1）对任意的正实数，，，证明：； （2）设，，为正实数，且，证明：. 18. （1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 19. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $