专题一 微专题3 三角函数中最值与范围问题 讲义-2026届高三数学二轮专题

专题一 三角函数与解三角形 微专题3 三角函数与解三角形中最值与范围问题 一、考点透析 考点1 以三角函数为背景的范围与最值问题 1．（2025·黑龙江大庆·三模）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围． 考点2 以解三角形为背景的范围与最值问题 1.（2025·遵义模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B＋cos B＝1. （1）求B； （2）若b＝3，求△ABC的周长的取值范围. 2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin＝bsin A. （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. 考点3 三角与其他知识结合的范围与最值问题 1. 函数f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（　　） A.－， B.－， C.－，＋2 D.－，＋2 2．（24-25高一上·甘肃·期末）设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 3．（25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)点E为边的中点，若，求的面积； (2)如图所示，点D是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围. 二、跟踪练习 1．（23-24高一下·山西·阶段练习）已知向量，，函数. (1)求函数的解析式和图象的对称中心； (2)若函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且关于x的方程在上有3个不同的解，求实数的取值范围. 2．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角的大小及角的取值范围； (2)若，求的周长的取值范围； (3)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 三角函数与解三角形 微专题3 三角函数与解三角形中最值与范围问题 一、考点透析 考点1 以三角函数为背景的范围与最值问题 1．（2025·黑龙江大庆·三模）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果； （2）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再将问题转化为最值问题，结合换元法以及二次函数的值域，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） ， 所以， 所以的周期为， 由得， 所以的单调递减区间为. （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，即可得到， 再将的图象向右平移个单位，得到， 再将纵坐标变为原来的，即可得到， 因为，， 所以当，时， ， 令，，则 ，所以当时，取得最小值，最小值为 所以，解得或， 故的取值范围为． 考点2 以解三角形为背景的范围与最值问题 1.（2025·遵义模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B＋cos B＝1. （1）求B； （2）若b＝3，求△ABC的周长的取值范围. 解：（1）因为sin B＋cos B＝1，所以2sin（B＋）＝1，即sin（B＋）＝， 因为B∈（0，π），所以B＋＝，即B＝. （2）因为B＝，b＝3，由正弦定理得＝＝＝＝2， 则a＝2sin A，c＝2sin C，又A＋B＋C＝π，则C＝π－B－A＝－A，且A∈（0，）， 所以a＋b＋c＝2sin A＋2sin（－A）＋3＝2sin A＋3cos A－sin A＋3＝sin A＋3cos A＋3＝2sin（A＋）＋3， 因为A∈（0，），所以A＋∈（，），则sin（A＋）∈（，1］， 所以a＋b＋c∈（6，2＋3]， 综上可知，△ABC的周长的取值范围是（6，2＋3]. 2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin＝bsin A. （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. 解：（1）由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.　 因为sin A≠0，所以sin＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos， 故cos＝2sincos. 因为cos≠0，故sin＝，所以B＝60°. （2）由题设及（1）知S△ABC＝a. 由（1）知A＋C＝120°， 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.结合A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，故＜a＜2， 从而＜S△ABC＜. 因此，△ABC面积的取值范围是（，）. 考点3 三角与其他知识结合的范围与最值问题 1. 函数f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（　　） A.－， B.－， C.－，＋2 D.－，＋2 解析：D　f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'（x）＝－sin x＋sin x＋（x＋1）cos x＝（x＋1）cos x.令f'（x）＝0，解得x＝－1（舍去）或x＝或x＝.因为f＝cos ＋sin ＋1＝2＋，f＝cos ＋sin ＋1＝－，又f（0）＝cos 0＋（0＋1）sin 0＋1＝2，f（2π）＝cos 2π＋（2π＋1）sin 2π＋1＝2，所以f（x）max＝f＝2＋，f（x）min＝f＝－.故选D. 2．（24-25高一上·甘肃·期末）设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】三角函数综合、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）令，根据正弦函数的有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系分别求解即可； （2）利用换元法将问题转化为在上恒成立求解即可； （3）利用换元法将问题转化为二次函数在上有两个零点求的范围，将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围即可. 【详解】（1）令， 则变为， ①当，即时，， ②当，即时，， ③当，即时，， 综上可知，. （2）若要，则需， 当时，， 函数变为， 所求问题变为恒成立， 易知的图象是开口向下的抛物线的一部分， 最小值一定在区间端点处取得，所以有 ， 解得，故的取值范围是； （3）令.由题意可知，当时， 关于的方程在时有两个不等实数解， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根， 令，则有， 解得，即的取值范围是. 3．（25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)点E为边的中点，若，求的面积； (2)如图所示，点D是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）利用正余弦定理以及诱导公式可得，根据为边的中点得到，两边平方后结合余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理得到和，再利用余弦定理结合诱导公式以及二倍角公式得到，写出的表达式，求导判断单调性即可求解. 【详解】（1）由可得， 由正弦定理得， ， 所以，即． 由余弦定理，又因为，因此， 因为中线，所以； 两边同时平方得，即， 在中，，由余弦定理可得， 可得，所以； （2）在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即． 因为四边形的内角和为，且， 所以， 在中， 所以， 则， ， 因为在中，所以， 则，在单调递增， 因为，所以， 所以的取值范围为. 二、跟踪练习 1．（23-24高一下·山西·阶段练习）已知向量，，函数. (1)求函数的解析式和图象的对称中心； (2)若函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且关于x的方程在上有3个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【知识点】三角函数综合、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、数量积的坐标表示 【分析】（1）由数量积的坐标运算结合三角恒等变换公式直接运算化简即可求解. （2）先由平移变换知识求出函数的解析式，再利用三角恒等变换公式将方程在上有3个不同的解转化成一个解为和在上有2个不同的解即可求解. 【详解】（1）由题， 令， 所以函数图象的对称中心为. （2）由题得， 因为方程在上有3个不同的解， 所以由二倍角公式得在上有3个不同的解， 因为时，，故是方程的一个解， 所以在上有2个不同的解， 此时，所以即在上有2个不同的解， 图像如下： 所以由三角函数图像可知，即. 故方程在上有3个不同的解，则实数的取值范围为. 2．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角的大小及角的取值范围； (2)若，求的周长的取值范围； (3)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围． 【答案】(1)；； (2)； (3). 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，再根据锐角三角形的知识列不等式，由此求得的取值范围. （2）应用正弦定理结合三角恒等变换化简得出结合角的范围求出值域即可得出周长范围； （3）根据正弦定理求得外接圆的半径，设，将表示为的形式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围. 【详解】（1）锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，， 因为， 由正弦定理可得， 所以， 故，因为为锐角，所以， 因为为锐角三角形，则， 解得，所以，角的取值范围是. （2）因为，由正弦定理得， 所以 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为 （3）设的外接圆半径为，所以， ，所以 设，则，则， 所以 因为，所以，所以,所以, 所以，所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $