专题一 第2讲 三角函数的图象与性质 讲义-2026届高三数学二轮专题

专题一 三角函数与解三角形 第2讲 三角函数的图象与性质 一、考点透析 考点1 三角函数的值域、最值 1．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 【答案】 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 3．（2025·山西·三模）已知． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，， (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，利用和整体代换法计算即可求解； （2）根据正弦函数的图象与性质求出在上的最大值，进而得在上的最大值，建立关于的方程，得，即可求解. 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期为． 由，， 得，， 所以的单调递增区间为，． （2）当，得， 所以在上的最大值为， 则在上的最大值也是． 由，，得，， 因为，所以，， 又，所以或． 综上,的取值范围为. 考点2 三角函数的图象与解析式 1．（多选题2025·重庆·三模）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．在上单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数 【答案】AC 【分析】根据、结合周期可判断A；根据余弦函数的单调性及对称性可判断BC；根据函数图象平移得到函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断D. 【详解】对于A，由得，由得， 由得，故， 化简得，     由图可知该函数的周期，故，解得， 所以，故A正确；     对于B，由，得不是函数的对称中心，故B错误； 对于C，由，可得， 由，得函数在上单调递增，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，此时为偶函数，故D错误. 故选：AC. 2．已知函数），如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_________. 【答案】 【详解】设，，由可得. 由可知，或，，则由题图可知， ，即，所以， 所以. 因为，所以，，即，， 所以，， 所以或. 又因为，所以，所以. 3.函数y＝的最小正周期为　　. 【答案】π 【详解】y＝＝tan 2x，x≠kπ±且x≠kπ＋，k∈Z，每π个单位长度的区间上，函数图象要去掉一个点（＋kπ，0），函数图象是每两个个单位长度的区间上，重复出现一次完全相同的图象，所以周期是π. 考点3 三角函数的性质及应用 1．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 2．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 3．（2025·江苏苏州·三模）设函数，若在内恰有3个零点，则的取值不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点个数得到的取值范围，再根据各个的值得出零点个数判断各个选项即可判断. 【详解】当时， 因为在内恰有3个零点，，即存在有3个不同的解使得， 当时，，所以满足的值有，符合题意； 当时，，所以满足的值有，符合题意； 当时，，所以满足的值有，不符合题意； 当时，，所以满足的值有，符合题意； 故选：C 4.（2023·全国乙）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 【详解】D　由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D. 二、跟踪练习 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 2．（多选题2025·内蒙古赤峰·三模）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．在上的最大值为2 【答案】BC 【分析】求出变换之后的解析式，依次判断选项可得结果. 【详解】由 则， 所以， ， 所以函数定义域为， 令，则， 所以为奇函数，故A错误. 的最小正周期为，B正确. 由， 得的图象关于点对称，C正确. 令， 由，得， 又在单调递增， 所以 时，取得最大值， 则在上的最大值为，D错误 故选：BC 3．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数关系变形成正弦型函数，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦函数的性质求出结果. 【详解】（1）, 令， 解得：， 所以的单调递减区间为 （2）将函数的图象向右平移个单位后得到， 则， 因为，所以， 所以要使函数在上有一个零点，则与只有一个交点， 结合正弦函数的图象： 可得当或，即或， 即或，或时，与只有一个交点， 所以实数的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 三角函数与解三角形 第2讲 三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质 函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 图象 定义域 R R {x| x≠+kπ,k∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 增区间[-+2kπ,+2kπ] 减区间[+2kπ, +2kπ] 增区间[-π+2kπ, 2kπ] 减区间[2kπ,π+2kπ] ( k∈Z ) 增区间(-+kπ,+kπ) ( k∈Z ) 对称轴 x = + kπ( k∈Z ) x = kπ ( k∈Z ) 无 对称中心 ( kπ,0 ) ( k∈Z ) (+ kπ,0 )( k∈Z ) ( k,0 ) ( k∈Z ) 一、考点透析 考点1 三角函数的值域、最值 1．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 3．（2025·山西·三模）已知． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围． 考点2 三角函数的图象与解析式 1．（多选题2025·重庆·三模）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．在上单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数 2．已知函数），如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_________. 3.函数y＝的最小正周期为　　. 考点3 三角函数的性质及应用 1．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 2．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·三模）设函数，若在内恰有3个零点，则的取值不可以为（    ） A． B． C． D． 4.（2023·全国乙）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 二、跟踪练习 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 2．（多选题2025·内蒙古赤峰·三模）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．在上的最大值为2 3．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $