4.3用一元一次方程解决问题——行程问题 教学设计（含配套专题练习共计50题）2025-2026学年苏科版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦用一元一次方程解决行程问题，核心知识点涵盖路程=速度×时间的基本关系，以及相遇、追击、环形跑道、流水航行四类典型问题。课堂以“小明与爸爸追及”生活情境导入，衔接已学的一元一次方程解法，通过图示法、分类讨论等方法构建从基础到复杂情境的学习支架。 资料特色突出数学核心素养，用几何画板动态演示运动过程培养几何直观，专项练习分基础与培优层落实推理意识，思维导图梳理知识网络强化模型意识。如相遇问题借助线段图分析等量关系，助力学生构建方程模型，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率与学生解决实际问题能力。

成功=勤快的劳动+正确的方法+少说空话 4.3用一元一次方程解决问题——行程问题专题 【学科专题——教学设计+6篇配套专项练习（共计50题）+1篇知识点整理】 【1】行程问题专题——教学设计 【2】专题 相遇、追击专题（基础篇） 【3】专题 环形跑道专题（基础篇） 【4】专题 流水航行（基础篇） 【5】专题 相遇、追击专题（培优篇） 【6】专题 环形跑道专题（培优篇） 【7】专题 流水航行（培优篇） 【8】专题 知识点整理 教学设计 课程基本信息 课题  行程问题 课型 专题复习 学科  数学 年级  七年级 学段  初中 版本章节  苏科版七年级上册第四章专题复习 教学目标  知识与技能 1.掌握行程问题的基本关系式：路程 = 速度 × 时间 2.熟练分析相遇、追及、环形跑道、流水航行等典型行程问题 3.通过题意画出线段图，建立一元一次方程并求解 过程与方法 1.感悟问题情境，养成自主探究习惯，培养建模思想 2.运用图示法、分类讨论法、等量关系分析法解决问题 情感态度与价值观 1.激发对数学应用的兴趣，增强解决实际问题的信心 2.养成合作交流、严谨思考的学习习惯  教学重难点  教学重点 1.行程问题的基本关系与分类 2.建立等量关系并列出方程 教学难点 1.理解并分析复杂情境中的等量关系（如不同时出发、环形追及、流水问题） 2.将实际问题转化为数学模型     学情分析 1.学生已学习一元一次方程的基本解法，具备初步的代数思维能力 2.对图示法有一定了解，但在复杂情境中提取等量关系的能力较弱 3.部分学生对行程问题的分类与建模缺乏系统性认识，需通过典型例题强化理解  教学准备 教师准备：PPT课件、教学设计、典型例题与变式题、课堂练习纸 学生准备：笔记本、直尺、铅笔、计算器（可选） 技术支持：多媒体投影、互动白板（可选） 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计（含AI应用） （一）创设情境，导入新课 情境导入 介绍"小明与爸爸追及问题"生活话题：小明早上上学，5分钟后爸爸发现他忘带课本去追赶 从学生熟悉的生活情境出发，激发学习兴趣，自然引出课题 直观呈现追及情境 提出问题 "爸爸追上小明用了多少时间？" "如何用数学方法解决这个问题？" 制造认知冲突，引发学生思考，明确学习目标 引导学生用自然语言描述问题，为后续数学建模做准备 揭示课题 板书课题：一元一次方程的应用——行程问题 明确本节课的学习内容和目标 课件展示学习目标和重点难点 （二）探究新知，建立模型 1. 基础知识回顾 回顾关系式 路程 = 速度 × 时间 速度 = 路程 ÷ 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 夯实基础知识，为后续学习做好铺垫 课件动态演示三个量之间的转换关系 明确研究方向 相遇问题、追及问题、环形跑道问题、流水行船问题 帮助学生构建知识框架，明确学习路径 用思维导图展示行程问题的分类 2. 相遇问题探究 例题讲解 例：A、B两车从相距240千米的甲、乙两地相向而行，A车速度50 km/h，B车速度30 km/h，几小时后相遇？ 分析：画线段图→找等量关系→列方程→解方程→检验作答 通过典型例题示范解题思路和方法，培养学生规范解题的习惯 使用几何画板动态演示两车运动过程，直观展示相遇点 方法提炼 等量关系：A车路程 + B车路程 = 总路程 方程：50x + 30x = 240 提炼数学模型，突出数学思想方法 引导学生用不同方法解题，培养发散思维 变式训练 如果两车相距80千米时停下来，需要多长时间？ （分相遇前和相遇后两种情况） 培养学生分类讨论思想，提高思维严密性 小组合作探究两种情况的差异，派代表展示 3. 追及问题探究 例题讲解 例：小明以80米/分的速度出发，5分钟后爸爸以180米/分的速度追赶，多久追上？ 分析：画线段图→明确各段路程→建立等量关系 通过直观图示帮助学生理解复杂的数量关系 动画演示追及过程，突出"路程相等"这一关键点 方法提炼 等量关系：爸爸路程 = 小明先走路程 + 小明后走路程 方程：180x = 80×5 + 80x 建立追及问题的通用模型 引导学生总结追及问题的不同类型和解题规律 实际应用 计算追上时距离学校还有多远？ 体现数学的实际应用价值，增强学习动机 联系生活实际，让学生提出类似的追及问题 4. 环形跑道问题探究 例题讲解 例：小王和叔叔在400米环形跑道上跑步，小王每秒5米，叔叔每秒7.5米 （1）反向出发，多久相遇？ （2）同向出发，多久首次相遇？ 通过对比教学，帮助学生理解环形跑道问题的特点 用动画演示环形跑道上的相遇和追及，直观展示路程关系 方法提炼 反向：路程和 = 一圈长度 同向：路程差 = 一圈长度 提炼环形跑道问题的解题规律 引导学生发现环形跑道与直线问题的区别与联系 拓展思考 如果起点不同，如何解决问题？ 培养学生迁移能力和创新思维 小组讨论不同起点情况的处理方法 5. 流水行船问题探究 例题讲解 例：轮船在静水中速度为x km/h，水流速度2 km/h，顺流4小时，逆流5小时，求静水速度 分析：顺流速度 = 静水速度 + 水速 逆流速度 = 静水速度 - 水速 引入新的问题类型，拓展学生视野 用流体动力学模拟软件展示顺流、逆流的差异 方法提炼 等量关系：顺流路程 = 逆流路程 方程：4(x+2) = 5(x-2) 建立流水行船问题的数学模型 引导学生总结流水行船问题的解题关键 （三）巩固应用，游戏竞赛 游戏引入 介绍《一元一次方程行程问题比赛》游戏规则 4类问题，限时解答，积分竞赛 激发学生竞争意识，在游戏中巩固知识 使用预先准备的HTML互动游戏，增强课堂趣味性 分组竞赛 学生分组完成游戏任务 教师巡视指导，及时答疑 培养学生的合作精神和竞争意识 游戏自动计时计分，即时反馈，提高参与度 成果展示 各组展示解题过程和结果 评选"数学应用小能手" 提供展示平台，增强学生自信心 利用投屏技术展示各组的解题过程 （四）课堂小结，提炼升华 知识梳理 行程问题的基本关系式 四种类型问题的等量关系 解题一般步骤：审题→画图→找关系→列方程→解方程→检验作答 系统梳理本节课的知识体系，形成知识网络 用动态思维导图展示知识结构，突出重点难点 方法总结 数形结合思想、模型思想、方程思想 分类讨论、转化化归 提炼数学思想方法，提升数学素养 引导学生反思学习过程，总结学习方法 拓展延伸 生活中还有哪些行程问题？ 如何用今天所学知识解决？ 将数学与生活紧密联系，体现应用价值 布置开放性作业，鼓励学生发现生活中的数学 作业设计 基础题：完成配套专题练习（前3个专题，都是每个专题的前2题） 拓展题：第4个专题挑1题 探究题（选做）：研究“往返相遇问题”或“多次追及问题”，写出解题思路  板书设计/课堂小结 行程问题基本关系：路程 = 速度 × 时间 相遇问题：路程和 = 速度和 × 时间 追及问题：路程差 = 速度差 × 时间 环形问题： 反向：路程和 = 一圈 同向：路程差 = 一圈 流水问题： 顺水速度 = 静水速度 + 水速 逆水速度 = 静水速度 - 水速   教学反思   本节课通过典型例题与游戏化练习相结合，学生参与度高，建模能力有所提升。 部分学生在“不同时出发”和“环形追及”问题上仍存在理解困难，需后续通过变式训练加强。使用HTML游戏进行课堂练习效果良好，建议在后续专题中继续开发类似互动资源。 下一步可引入“数字教材+AI解题助手”辅助学生自主探究，实现个性化学习路径。 专题 相遇、追击专题（基础篇） 1．（2024秋•运河区校级期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一．书中有一题的大意是：今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙底，葫芦蔓每天向上长1尺．问经过多少天两蔓相遇（注：1尺＝10寸）．设经过x天两蔓相遇，根据题意，可列方程为（　　） A．x+7＝9 B．（7+1）x＝9 C．10x﹣7x＝90 D．7x+10x＝90 2．（2025•石家庄二模）《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（　　） A．走路快的人和走路慢的人的速度比为5：3 B．可得方程：60x＝100x﹣100 C．x的值为250 D．可得方程： 3．（2024秋•辽阳期末）我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（　　） A．9x﹣7x＝1 B．9x+7x＝1 C．xx＝1 D．xx＝1 4．（2024秋•天桥区期末）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行十日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走10天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A．150（10+x）＝240x B．240（10+x）＝150x C．150（x﹣10）＝240x D．240（x﹣10）＝150x 5．（2024秋•汶上县期末）在元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马何时追上慢马？设快马追上慢马需要x天，根据题意则可列方程为　 　 ． 6．（2024秋•阳谷县期末）甲、乙两人步行速度的比是13：11，两人分别从A、B两地出发，相向面行，0.5小时正好相遇，如果两人同向而行，甲追上乙需要 　 　 小时． 7．（2024秋•凤城市期末）小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学．一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘带数学书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他根据情境，小明列出了方程：180x＝80x+80×5，请问小明所列方程中的x表达的含义为 　 　 ． 8．（2025春•广饶县期中）A、B两地间的距离为300千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一列快车从B地出发，每小时行驶90千米问： （1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？ （2）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？ 9．（2025•临清市开学）两地间的路程是500千米，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4小时相遇，甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？ 10．（2025春•东营校级期中）一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发． （1）小轿车出发多长时间后追上货车？ （2）在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距30km？ 专题 环形跑道专题（基础篇） 11．（2025春•威海期末）甲、乙两人在400m长的环形跑道上练习跑步，甲跑步的速度是5m/s，乙跑步的速度是3m/s．若两人相距100m，两人同时同向出发（甲在乙前），两人第一次相遇需要的时间是（　　） A．120s B．130s C．140s D．150s 12．（2024秋•邹平市期末）李明和刘伟分别从A、B两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发24min后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进4.8km，相遇后6min李明到达B地．根据以上信息可以得出（　　） A．李明从A地到达B地共骑行10km B．李明的速度是15km/h C．刘伟的速度是5km/h D．相遇后经过1.6h刘伟到达A地 13．（2023秋•立山区校级月考）学校运动场环形跑道周长为360m，王五跑步的速度比李四的1.2倍多4m，他们从同一起点沿跑道的相反方向同时出发，2min后李四第一次与王五相遇．求李四和王五跑步的速度各是多少？若设李四的速度为xm/min，则根据题意可列方程（　　） A．2.4x+4+2x＝360 B．2.4x+4﹣2x＝360 C．2（1.2x+4）﹣2x＝360 D．2（1.2x+4）+2x＝360 14．（2025春•任城区校级期中）为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校400m的环形跑道上跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m．如果两人在跑道上相距10米处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 15．（2025•新华区校级开学）某公园的湖近似于一个长方形．一天，甲、乙二人同时从A点出发沿湖边跑步，10分钟后在E点相遇（如图）．已知CE＝40米，乙的速度是甲的，这个湖的周长是多少米？ 专题 流水航行（基础篇） 16．（2024秋•路北区校级月考）一艘轮船在甲、乙两地之间航行，已知水流速度是5千米/时，顺水航行需要3小时，逆水航行需要4小时，则轮船的速度为（　　）千米/时． A．35 B．40 C．45 D．50 17．（2023秋•金沙县校级月考）某轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5h（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为xkm，则可列方程为（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C．5 D．5 18．（2024秋•路南区月考）一艘轮船从一码头顺流而下，再逆流而上，计划6h回到原来出发的码头．若这艘轮船在静水中的速度是8km/h，水流速度是2km/h，则这艘轮船最多顺水走（　　）km，就必须返回． A．30 B．22.5 C．18 D．16 19．一轮船往返于甲、乙两码头之间，顺水航行需要3h，逆水航行比顺水航行多用0.5h，若轮船在静水中的速度为26km/h，若设水流的速度为xkm/h，则可列方程为 　 　 ． 20．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是　 　 ． 21．（2020秋•铁岭月考）甲、乙两码头相距180km，某轮船从甲码头顺流航行到乙码头需要5h，返回时需要6h，那么这条河的水流速度是 　 　 ． 22．（2024秋•上杭县校级月考）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h，已知水流的速度是3km/h，求甲乙两码头之间的距离． 23．一艘客船从A地出发到B地顺流行驶，用了2.5小时；从B地返回A地逆流行驶，用了3.5小时，已知水流的速度是4千米/小时，求客船在静水中的平均速度？（用一元一次方程解） 24．列方程解决下列问题 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知水流的速度为3千米/时． （1）求船在静水中的平均速度； （2）求甲，乙两个码头之间的路程． 25．（2024秋•武城县月考）一轮船在甲、乙两码头间往返航线，已知船在静水中的速度为7km/h，水流速度为2km/h，往返一次共用28h，求甲、乙两码头之间的距离． 专题 相遇、追击专题（培优篇） 26．（2025•辽宁模拟）已知在400km长的公路两端有两辆汽车A、B，其中A车的速度为40km/h，B车的速度为60km/h，两辆汽车相向而行．已知A车先开始行驶，B车在A车开始行驶后一个小时才开始行驶，设A车行驶th后与B车相遇，则可列方程为（　　） A．40t+60（t﹣1）＝400 B．40t+60（t+1）＝400 C．40（t﹣1）+60t＝400 D．40（t+1）+60t＝400 27．（2024秋•阜平县期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题大意为：今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺＝10寸）若设经过x天两蔓相遇，可列方程为（　　） A．x+7＝9 B．（7+1）x＝9 C．7x+10x＝90 D．10x﹣7x＝90 28．（2024•路南区开学）A、B两地相距960千米，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，经过8小时相遇，已知甲车的速度是50千米/时，求乙车的速度是（　　）千米/时． A．60 B．70 C．75 D．85 29．（2023秋•肃宁县期中）动点A，B分别从数轴上表示10和﹣2的两点同时出发，并且分别以7个单位长度/秒和4个单位长度/秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，经过 　 　 秒两点相遇，相遇时，两点表示的数为 　 　 ． 30．（2024秋•甘井子区校级月考）甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了 　 　 米． 31．（2023秋•邹平市期末）某校七年级学生远足活动期间，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒，如果队伍长135米，那么火车长 　 　 米． 32．（2025秋•中山区期中）在数轴上A，B两点同时做匀速运动，它们的运动时间以及位置记录如表． 时间（秒） 0 5 7 A点位置 14 ﹣1 m B点位置 n 13 21 （1）根据题意，补全表格：m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）求A，B两点相遇的时间； （3）若点A运动t秒时，A，B两点到原点的距离和为10，求t的值． 33．（2024秋•高唐县期末）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，且a是多项式﹣5x2﹣6x﹣15的二次项系数． （1）求a，b； （2）数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． （3）在（2）的条件下，点P、Q相遇之前，4PQ+PA是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 34．如图，在数轴上有一点C，在C的左边距C点12个单位长度处有一点A，原点为B． （1）点A表示的数为 　 　 ，线段AC的中点对应的数为 　 　 ； （2）点A、C同时出发，A点以1个单位长度/秒的速度向右运动、C点以2个单位长度/秒的速度向左运动，当运动多少秒时，A、C两点能相遇； （3）现有动点P、Q和一定点D，点D在数轴上所表示的数为2，P、Q分别从点A、C同时出发，分别以1个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度先向点D运动，到达点D后再向其相反方向运动，在运动过程中，当PD＝QD时，求时间t． 35．（2025春•钢城区期末）随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为3.6千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步，两人同时出发，相向而行． （1）两人出发后多长时间相遇？ （2）若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 专题 环形跑道专题（培优篇） 36．嘉嘉和琪琪在400米环形跑道上练习跑步，已知嘉嘉的速度为每秒钟4米，琪琪的速度比嘉嘉快，两人同时同向出发，出发时两人相距100米，问经过多少秒两人第一次相遇（　　） A．30 B．30或50 C．50 D．50或150 37．（2024秋•武安市期末）如图，甲、乙两动点分别同时从正方形ABCD的顶点A、C沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2024次相遇在哪条边上？（　　） A．AD B．CD C．BC D．AB 38．（2024秋•莱州市期末）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，动点M从点A出发，以1cm/秒的速度沿长方形ABCD的边按AB→BC→CD→DA→AB→BC→⋯的顺序运动，动点N从点C出发，以3cm/秒的速度沿长方形ABCD的边按CB→BA→AD→DC→CB→BA→⋯的顺序运动．若动点M、N同时从发，运动的时间设为t秒，则动点M、N第十次相遇时，t的值是（　　） A．27.5秒 B．32.5秒 C．37.5秒 D．47.5秒 39．（2024秋•安平县校级期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2018次相遇在边 　 　 ． 40．（2024秋•运河区校级期末）如图，某景区内的游览车路线是边长为1500米的正方形ABCD，现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车逆时针、2号车顺时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车时间忽略不计），两车速度均为300米/分钟．设两游览车行驶时间为t分钟． （1）当1号游览车第一次到达B处前，利用方程求t为何值时两车相距的路程是500米？ （2）嘉嘉和淇淇在DA上从D向出口A走去，当步行到DA上一点P时，刚好与2号车迎面相遇，设PD＝S米．他们俩从点P到出口A有以下两种方式： 方式1：立即乘坐2号车； 方式2：在点P等候乘坐1号车． ①若两人选择方式1，则从点P到出口A的时间为　 　 分钟；（用含S的代数式表示） ②思考后的嘉嘉说：“我们在这等乘1号车到出口A的用时会更少”请你判断嘉嘉的说法正确吗？若正确，求方式2比方式1少用时多少分钟；若不正确，请说明理由． 41．（2024•铁西区开学）如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，AD＝6cm．动点P从点A出发，沿线段AB，BC向点C运动，速度为4cm/s；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为1cm/s．点P，Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）． （1）点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ （2）求停止运动时PQ两点之间的距离． 专题 流水航行（培优篇） 42．（2023秋•沧州月考）轮船沿江从甲港口顺流行驶到乙港口，比从乙港口返回甲港口少用3个小时，若船速为27千米/时，水速为2.8千米/时，求甲港口和乙港口相距多少千米．设甲港口和乙港口相距x千米．根据题意，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 43．（2023秋•建昌县期末）轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5h（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离．设甲、乙两码头间的距离为xkm，则列出的方程正确的是（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C． D． 44．（2023秋•宁津县期末）小明和父母“十一”黄金周去森林公园玩，在溪边的甲码头租用了一艘小艇，逆流而上，用了2.5小时；至乙码头后沿原路返回，用了2小时；已知水流的速度是3千米/时，则船在静水中的平均速度为 　 　 千米/时． 45．（2024秋•复兴区校级月考）一艘轮船从一码头顺流而下，再逆流而上，计划8h回到原来出发的码头．若这艘轮船在静水中的速度是10km/h，水流速度是2km/h，则这艘轮船最多顺水走　 　 km，就必须返回． 46．（2024秋•甘井子区校级期末）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 47．（2024秋•无棣县期末）请根据以下素材，完成任务一与任务二． 素材 一艘快船从甲码头到乙码头顺流行驶，同时一艘慢船从乙码头出发顺流而下．已知，甲、乙两码头相距150千米，快船在静水中的平均速度为55千米/小时，慢船在静水中的平均速度为25千米/小时，水流速度为5千米/小时． 任务一 请计算两船出发航行60分钟时相距多少千米？ 任务二 如果快船到达乙码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 48．（2024秋•曹县期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是45千米/小时，水流速度是a千米/小时． （1）2小时后两船相距多少千米？ （2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？ 49．（2023秋•平泉市期末）甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50km/h，水流速度时akm/h，5h后两船同时到达A、C两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．（提示：顺水速度＝船速+水速；逆水速度＝船速﹣水速） （1）A、C两港口相距多远？ （2）AB港口间比BC港口间多多少千米？（用含a的代数式表示） （3）卸装货物后同时出发，两船又经过 　 　 h相遇，若相遇处距B港口50千米，求甲船还需几h到达C港口？ 50．小明在学习过程中遇到这样一个问题： “一个木箱漂浮在河水中，随河水向下游漂去，在木箱上游和木箱下游各有一条小船，分别为甲船和乙船，两船距木箱距离相等，同时划向木箱，若两船在静水中划行的速度是30m/min，水流速度为5m/min，那么哪条小船先遇到木箱？” 小明是这样分析解决的： 小明想通过比较甲乙两船遇见木箱的时间，知道哪条小船先遇见木箱．设甲船遇见木箱的时间为xmin，乙船遇见木箱的时间为ymin，开始时两船与木箱距离相等，都设为am，如图1． 如图2，利用甲船划行的路程﹣木箱漂流的路程＝开始时甲船与木箱的距离： 列方程：x（30+5）﹣5x＝a 解得，x 所以甲船遇见木箱的时间为min． （1）参照小明的解题思路继续完成上述问题； （2）借鉴小明解决问题的方法和（1）中发现的结论解决下面问题： 问题：“在一河流中甲乙两条小船，同时从A地出发，甲船逆流而上，乙船顺流而下；划行10分钟后，乙船发现船上木箱不知何时掉入水中，乙船立即通知甲船，两船同时掉头寻找木箱，若两船在静水中划行的速度是v（单位：m/min，v大于5），水流速度是5m/min，两船同时遇见木箱，那么木箱是出发几分钟后掉入水中的？” 专题点拨及详解 1．（2024秋•运河区校级期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一．书中有一题的大意是：今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙底，葫芦蔓每天向上长1尺．问经过多少天两蔓相遇（注：1尺＝10寸）．设经过x天两蔓相遇，根据题意，可列方程为（　　） A．x+7＝9 B．（7+1）x＝9 C．10x﹣7x＝90 D．7x+10x＝90 【点拨】利用墙高＝瓜蔓每天向下生长的速度×两蔓相遇所需时间+葫芦蔓每天向上生长的速度×两蔓相遇所需时间，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：9尺＝90寸，1尺＝10寸． 根据题意得：7x+10x＝90． 故选：D． 2．（2025•石家庄二模）《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（　　） A．走路快的人和走路慢的人的速度比为5：3 B．可得方程：60x＝100x﹣100 C．x的值为250 D．可得方程： 【点拨】A．利用速度之比＝相同时间内的路程之比，可得出两人的速度比为100：60＝5：3； B．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可列出关于x的一元一次方程； C．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值； D．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：A．∵在相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步， ∴两人的速度比为100：60＝5：3，选项A不符合题意； B．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步， 根据题意得：， 即60x＝100x﹣10000，选项B符合题意； C．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步， 根据题意得：， 即60x＝100x﹣10000， 解得：x＝250，选项C不符合题意； D．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步， 根据题意得：， 即，选项D不符合题意． 故选：B． 3．（2024秋•辽阳期末）我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（　　） A．9x﹣7x＝1 B．9x+7x＝1 C．xx＝1 D．xx＝1 【点拨】根据题意可以列出相应的方程，从而可以详解本题． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 4．（2024秋•天桥区期末）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行十日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走10天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A．150（10+x）＝240x B．240（10+x）＝150x C．150（x﹣10）＝240x D．240（x﹣10）＝150x 【点拨】设快马x天可以追上慢马，根据快马x天跑的路程＝慢马（x+10）天跑的路程，列出方程即可． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马，根据题意得：150（10+x）＝240x，故A正确． 故选：A． 5．（2024秋•汶上县期末）在元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马何时追上慢马？设快马追上慢马需要x天，根据题意则可列方程为　240x＝150（x+12）　 ． 【点拨】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了（x+12）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马， ∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天． 根据题意得：240x＝150（x+12）． 故答案为：240x＝150（x+12）． 6．（2024秋•阳谷县期末）甲、乙两人步行速度的比是13：11，两人分别从A、B两地出发，相向面行，0.5小时正好相遇，如果两人同向而行，甲追上乙需要 　6　 小时． 【点拨】先设甲的步行速度为13x，乙的步行速度为11x，A，B两地的距离为S，根据“甲0.5小时所走的路程+乙0.5小时所走的路程＝A，B两地的距离”列出方程，解方程求出x，进而可求出甲、乙步行速度，然后再设两人同向而行，甲追上乙需要y小时，根据“甲所走的路程﹣乙所走的路程＝A，B两地的距离”列出方程，再解方程求出y即可． 【详解】解：∵甲、乙两人步行速度的比是13：11， ∴可设甲的步行速度为13x，乙的步行速度为11x，A，B两地的距离为S， 依题意得：0.5×13x+0.5×11x＝S， 解得：x， ∴甲的步行速度为，乙的步行速度为， 设两人同向而行，甲追上乙需要y小时， 依题意得：， 解得：y＝6． 答：如果两人同向而行，甲追上乙需要6小时． 故答案为：6． 7．（2024秋•凤城市期末）小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学．一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘带数学书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他根据情境，小明列出了方程：180x＝80x+80×5，请问小明所列方程中的x表达的含义为 　爸爸追上小明的时间　 ． 【点拨】根据题意写出方程中的x表达的含义即可． 【详解】解：小明所列方程中的x表达的含义为爸爸追上小明的时间， 故答案为：爸爸追上小明的时间． 8．（2025春•广饶县期中）A、B两地间的距离为300千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一列快车从B地出发，每小时行驶90千米问： （1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？ （2）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？ 【点拨】（1）可设两车同时开出，相向而行，出发后x小时相遇，根据等量关系：路程和为300千米列出方程求解即可； （2）可设两车不同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后y小时快车追上慢车，根据等量关系：路程差为300千米列出方程求解即可． 【详解】解：（1）设两车同时开出，相向而行，出发后x小时相遇，依题意有 （90+60）x＝300， 解得x＝2． 答：两车同时开出，相向而行，出发后2小时相遇； （2）设两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后y小时快车追上慢车，依题意有 （90﹣60）x＝300， 解得x＝10． 答：两车不同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后10小时快车追上慢车． 9．（2025•临清市开学）两地间的路程是500千米，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4小时相遇，甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？ 【点拨】设乙车每小时行x千米，则甲、乙两辆汽车每小时行（65+x）千米，根据“两地间的路程是500千米，经过4小时相遇”列方程求解即可． 【详解】解：设乙车每小时行x千米， （65+x）×4＝500， x＝60， 答：乙车每小时行60千米． 10．（2025春•东营校级期中）一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发． （1）小轿车出发多长时间后追上货车？ （2）在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距30km？ 【点拨】（1）设小轿车出发x小时后追上货车，根据小轿车追上货车时，小轿车和货车所行驶的路程相等； （2）设小轿车行驶t小时后与货车相距30km，分两种情况：小轿车在追上货车之前，两车相距30km，小轿车在追上货车之后，两车相距30km，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设小轿车出发x小时后追上货车， ∴90x＝60（x+1）， ∴x＝2． 答：小轿车出发2小时后追上货车； （2）设小轿车行驶t小时后与货车相距30km， 分情况讨论如下： ①小轿车在追上货车之前，两车相距30km，则： 90t﹣60t＝60﹣30， ∴t＝1； ②小轿车在追上货车之后，两车相距30km，则： 90t﹣60t＝60+30， ∴t＝3， 答：1小时或3小时后相距30km． 11．（2025春•威海期末）甲、乙两人在400m长的环形跑道上练习跑步，甲跑步的速度是5m/s，乙跑步的速度是3m/s．若两人相距100m，两人同时同向出发（甲在乙前），两人第一次相遇需要的时间是（　　） A．120s B．130s C．140s D．150s 【点拨】设两人第一次相遇需要的时间是xs，根据两人第一次相遇时，甲比乙多跑了300m建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设两人第一次相遇需要的时间是xs， 由题意得：5x﹣3x＝400﹣100， 解得x＝150， 所以两人第一次相遇需要的时间是150s， 故选：D． 12．（2024秋•邹平市期末）李明和刘伟分别从A、B两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发24min后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进4.8km，相遇后6min李明到达B地．根据以上信息可以得出（　　） A．李明从A地到达B地共骑行10km B．李明的速度是15km/h C．刘伟的速度是5km/h D．相遇后经过1.6h刘伟到达A地 【点拨】先求得李明与刘伟的速度差为12（千米/时），然后设刘伟每小时行xkm，则李明每小时行（x+12）km，列方程，然后即可求解． 【详解】解：∵出发24min后两人相遇且李明比刘伟多行进4.8km， ∴李明与刘伟的速度差为4.8÷（24÷60）＝4.8÷0.4＝12（千米/时）， 设刘伟每小时行xkm，则李明每小时行（x+12）km， 根据题意列一元一次方程得：， 解得x＝4， ∴刘伟每小时行4（千米），李明每小时行进4+12＝16（千米），相遇后刘伟到达A地需（小时），李明从A地到达B地共骑行， 综上所述：A、B、C选项错误．不符合题意，D选项正确，符合题意； 故选：D． 13．（2023秋•立山区校级月考）学校运动场环形跑道周长为360m，王五跑步的速度比李四的1.2倍多4m，他们从同一起点沿跑道的相反方向同时出发，2min后李四第一次与王五相遇．求李四和王五跑步的速度各是多少？若设李四的速度为xm/min，则根据题意可列方程（　　） A．2.4x+4+2x＝360 B．2.4x+4﹣2x＝360 C．2（1.2x+4）﹣2x＝360 D．2（1.2x+4）+2x＝360 【点拨】根据题意表示出两人的速度，进而利用“2min后李四第一次与王五相遇”，得出等式求出答案． 【详解】解：设李四的速度为xm/min，则王五跑步的速度为（1.2x+4）m/min，根据题意可列方程： 2（1.2x+4）+2x＝360． 故选：D． 14．（2025春•任城区校级期中）为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校400m的环形跑道上跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m．如果两人在跑道上相距10米处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【点拨】设经过x秒两人首次相遇，利用路程＝速度×时间，结合两人的路程之和为（400﹣10）m，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设经过x秒两人首次相遇， 根据题意得：4x+6x＝400﹣10， 解得：x＝39． 答：经过39秒两人首次相遇． 15．（2025•新华区校级开学）某公园的湖近似于一个长方形．一天，甲、乙二人同时从A点出发沿湖边跑步，10分钟后在E点相遇（如图）．已知CE＝40米，乙的速度是甲的，这个湖的周长是多少米？ 【点拨】根据题意可得路程差，除以相遇时间，可得速度差，根据已知甲乙速度的数量关系，可得甲的速度，从而可得速度和，乘以相遇时间即可得湖的周长． 【详解】解： ＝560（米）． 答：这个湖的周长是560米． 16．（2024秋•路北区校级月考）一艘轮船在甲、乙两地之间航行，已知水流速度是5千米/时，顺水航行需要3小时，逆水航行需要4小时，则轮船的速度为（　　）千米/时． A．35 B．40 C．45 D．50 【点拨】可根据船在静水中的速度来得到等量关系为：航程÷顺水时间﹣水流速度＝航程÷逆水时间+水流速度，把相关数值代入即可求得航程． 【详解】解：设A、B两码头之间的航程是x千米． 55， 解得x＝120， 所以轮船的速度为55＝35． 故选：A． 17．（2023秋•金沙县校级月考）某轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5h（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为xkm，则可列方程为（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C．5 D．5 【点拨】由题意可得顺水的速度为（20+4）km/h，逆水中的速度为（20﹣4）km/h，然后根据“从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用5h”可得顺水行驶x千米的时间+逆水行驶x千米的时间＝5h，然后列出方程即可． 【详解】解：由题意得， 5， 故选：D． 18．（2024秋•路南区月考）一艘轮船从一码头顺流而下，再逆流而上，计划6h回到原来出发的码头．若这艘轮船在静水中的速度是8km/h，水流速度是2km/h，则这艘轮船最多顺水走（　　）km，就必须返回． A．30 B．22.5 C．18 D．16 【点拨】设这艘轮船最多顺水走xkm，就必须返回，利用时间＝路程÷速度，结合往返共用时6h，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这艘轮船最多顺水走xkm，就必须返回， 根据题意，得6， 解方程，得x＝22.5， ∴这艘轮船最多顺水走22.5km，就必须返回． 故选：B． 19．一轮船往返于甲、乙两码头之间，顺水航行需要3h，逆水航行比顺水航行多用0.5h，若轮船在静水中的速度为26km/h，若设水流的速度为xkm/h，则可列方程为 　3（x+26）＝3.5（26﹣x）　 ． 【点拨】直接利用总路程不变得出等式求出答案． 【详解】解：设水流的速度为xkm/h，则可列方程为： 3（x+26）＝3.5（26﹣x）． 故答案为：3（x+26）＝3.5（26﹣x）． 20．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是　3　 ． 【点拨】设A港和B港相距x千米，根据顺流比逆流少用3小时，列方程即可． 【详解】解：设A港和B港相距x千米， 由题意得，3． 故答案为：3． 21．（2020秋•铁岭月考）甲、乙两码头相距180km，某轮船从甲码头顺流航行到乙码头需要5h，返回时需要6h，那么这条河的水流速度是 　3km/h ． 【点拨】设这条河的水流速度是xkm/h，利用顺流的速度﹣水流的速度＝逆流的速度+水流的速度，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出水流的速度． 【详解】解：设这条河的水流速度是xkm/h， 依题意得：xx， 解得：x＝3． 故答案为：3km/h． 22．（2024秋•上杭县校级月考）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h，已知水流的速度是3km/h，求甲乙两码头之间的距离． 【点拨】设船在静水中的速度为x千米/小时，根据顺流速度＝静水速度+水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；再根据路程＝顺流的时间×顺流的速度，列出算式，求得甲乙两码头之间的距离即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意得： （x+3）×2＝（x﹣3）×2.5， 解得：x＝27， 2（27+3）＝60（千米）； 答：船在静水中的速度是27千米/小时；甲乙两码头间的距离是60千米． 23．一艘客船从A地出发到B地顺流行驶，用了2.5小时；从B地返回A地逆流行驶，用了3.5小时，已知水流的速度是4千米/小时，求客船在静水中的平均速度？（用一元一次方程解） 【点拨】等量关系为：顺水速度×顺水时间＝逆水速度×逆水时间．即2.5×（静水速度+水流速度）＝3.5×（静水速度﹣水流速度）． 【详解】解：设船在静水中的平均速度为xkm/h， 根据往返路程相等，列得2.5（x+4）＝3.5（x﹣4）， 解得：x＝24． 答：在静水中的速度为24km/h． 24．列方程解决下列问题 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知水流的速度为3千米/时． （1）求船在静水中的平均速度； （2）求甲，乙两个码头之间的路程． 【点拨】（1）设船在静水中的平均速度是x千米/小时，根据甲、乙两码头间的路程不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用路程＝顺流时的速度×时间，可求出甲、乙两个码头之间的路程． 【详解】解：（1）设船在静水中的平均速度是x千米/小时， 依题意，得：2（x+3）＝2.5（x﹣3）， 解得：x＝27． 答：船在静水中的平均速度是27千米/小时． （2）2×（27+3）＝60（千米）． 答：甲乙两个码头的距离是60千米． 25．（2024秋•武城县月考）一轮船在甲、乙两码头间往返航线，已知船在静水中的速度为7km/h，水流速度为2km/h，往返一次共用28h，求甲、乙两码头之间的距离． 【点拨】根据顺流速度＝静水速度+水流速度，求出该轮船顺流航行的速度；由逆流速度＝静水速度﹣水流速度，求出逆流航行的速度；设甲乙两码头之间的距离是xkm，根据“这艘轮船在甲乙两码头间往返一次共用28h”列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵轮船在静水中的速度是7km/h，水流的速度是2km/h， ∴该轮船顺流航行的速度是7+2＝9（km/h），逆流航行的速度是7﹣2＝5（km/h）． 设甲乙两码头之间的距离是xkm，根据题意得： 28， 解得x＝90． 答：甲乙两码头之间的距离是90km． 26．（2025•辽宁模拟）已知在400km长的公路两端有两辆汽车A、B，其中A车的速度为40km/h，B车的速度为60km/h，两辆汽车相向而行．已知A车先开始行驶，B车在A车开始行驶后一个小时才开始行驶，设A车行驶th后与B车相遇，则可列方程为（　　） A．40t+60（t﹣1）＝400 B．40t+60（t+1）＝400 C．40（t﹣1）+60t＝400 D．40（t+1）+60t＝400 【点拨】根据题意得到B车行驶的时间为（t﹣1）h，由相遇问题得到，A的路程与B的路程和等于全程，由此列式求解即可． 【详解】解：设A车行驶th后与B车相遇，B车在A车开始行驶后一个小时才开始行驶，则B车行驶的时间为（t﹣1）h，根据题意得：40t+60（t﹣1）＝400， 故选：A． 27．（2024秋•阜平县期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题大意为：今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺＝10寸）若设经过x天两蔓相遇，可列方程为（　　） A．x+7＝9 B．（7+1）x＝9 C．7x+10x＝90 D．10x﹣7x＝90 【点拨】根据题意和题目中的数据，可以列出方程7x+（1×10）x＝9×10，然后化简即可． 【详解】解：由题意可得， 7x+（1×10）x＝9×10， 即7x+10x＝90， 故选：C． 28．（2024•路南区开学）A、B两地相距960千米，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，经过8小时相遇，已知甲车的速度是50千米/时，求乙车的速度是（　　）千米/时． A．60 B．70 C．75 D．85 【点拨】设乙车的速度是x千米/时，利用路程＝速度×时间，结合两车经过8小时相遇，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设乙车的速度是x千米/时， 根据题意得：50×8+8x＝960， 解得：x＝70， ∴乙车的速度是70千米/时． 故选：B． 29．（2023秋•肃宁县期中）动点A，B分别从数轴上表示10和﹣2的两点同时出发，并且分别以7个单位长度/秒和4个单位长度/秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，经过 　4　 秒两点相遇，相遇时，两点表示的数为 　﹣18　 ． 【点拨】设经过t秒时间A、B相遇列方程，解方程即可． 【详解】解：设经过t秒时间A、B两点相遇，此时点A表示的数是：10﹣7t，点B表示的数是：﹣2﹣4t， 则10﹣7t＝﹣2﹣4t， 解得：t＝4， 此时点A、B表示的数为10﹣7t＝10﹣7×4＝﹣18， 故答案为：4，﹣18． 30．（2024秋•甘井子区校级月考）甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了 　444　 米． 【点拨】根据甲的路程+乙的路程＝400求得甲乙两人相遇所用的时间，那么可得小狗跑的时间，乘以速度即为小狗跑的路程． 【详解】解：设甲乙两人相遇需要的时间为x秒． 2x+3x＝400， 解得x＝80， ∴小狗跑了80﹣6＝74秒， ∴小狗跑的路程为74×6＝444米， 故答案为444． 31．（2023秋•邹平市期末）某校七年级学生远足活动期间，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒，如果队伍长135米，那么火车长 　280　 米． 【点拨】根据“火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒”列方程求解． 【详解】解：设火车长x米，列车的速度为千米/秒，1米千米， 则：（4.5+120）， 解得：x＝280， 即火车的长度为280米． 故答案为：280． 32．（2025秋•中山区期中）在数轴上A，B两点同时做匀速运动，它们的运动时间以及位置记录如表． 时间（秒） 0 5 7 A点位置 14 ﹣1 m B点位置 n 13 21 （1）根据题意，补全表格：m＝　﹣7　 ，n＝　﹣7　 ； （2）求A，B两点相遇的时间； （3）若点A运动t秒时，A，B两点到原点的距离和为10，求t的值． 【点拨】（1）根据两点之间的距离，从而可填写表格； （2）根据相遇的路程和时间的关系，求解即可； （3）根据两种情况分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意，[14﹣（﹣1）]÷5＝3，3×（7﹣5）＝6， ∴m＝﹣1﹣6＝﹣7， ∵（21﹣13）÷（7﹣5）＝4，13﹣5×4＝﹣7， ∴n＝﹣7． 故答案为：﹣7，﹣7； （2）由题意，设经过t秒A、B两点能相遇， ∴3t+4t＝[14﹣（﹣7）]． 答：能在第3秒时相遇； （3）由（2）知，点A运动3秒时，两点相遇，相遇点表示的数为，在原点右侧． 由题意，点A运动速度3个单位/秒，点B运动速度4个单位/秒，分以下3种情况， ①点A在原点右侧，点B在原点左侧时， ∴14﹣3t﹣（﹣7+4t）＝10． ∴． ②点A在原点右侧，点B在原点右侧时， ∴14﹣3t+（﹣7+4t）＝10（10分） ∴t＝3． ③点A在原点左侧，点B在原点右侧时， ∴3t﹣14+（﹣7+4t）＝10． ∴． 此时，点A表示的数是：，不合题意，舍去． 综上，点A运动秒或3秒时，A，B两点到原点的距离和为10． 33．（2024秋•高唐县期末）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，且a是多项式﹣5x2﹣6x﹣15的二次项系数． （1）求a，b； （2）数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． （3）在（2）的条件下，点P、Q相遇之前，4PQ+PA是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 【点拨】（1）根据多项式的定义即可求出a的值，再由相反数的定义即可求出b的值； （2）设运动了t秒，点P追上点Q，根据题意列出方程4t﹣3t＝10，然后求解即可； （3）设运动时间为t秒，则t＜10，由题知P对应的数为﹣5+4t，Q对应的数为3t+5，则PA＝4t，PQ＝10﹣t，然后代入4PQ+PA即可求解． 【详解】解：（1）因为a是多项式﹣5x2﹣6x﹣15的二次项系数， 所以a＝﹣5， 因为a，b互为相反数， 所以b＝5； （2）设运动了t秒，点P追上点Q，则4t﹣3t＝10， 解得t＝10， 所以C点表示的有理数c为5+3×10＝35； （3）4PQ+PA为定值，理由， 设运动时间为t秒，则t＜10， 由题知P对应的数为﹣5+4t，Q对应的数为3t+5， 所以PA＝4t，PQ＝10﹣t， 所以4PQ+PA＝4（10﹣t）+4t＝40， 所以4PQ+PA为定值40． 34．如图，在数轴上有一点C，在C的左边距C点12个单位长度处有一点A，原点为B． （1）点A表示的数为 　﹣2　 ，线段AC的中点对应的数为 　4　 ； （2）点A、C同时出发，A点以1个单位长度/秒的速度向右运动、C点以2个单位长度/秒的速度向左运动，当运动多少秒时，A、C两点能相遇； （3）现有动点P、Q和一定点D，点D在数轴上所表示的数为2，P、Q分别从点A、C同时出发，分别以1个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度先向点D运动，到达点D后再向其相反方向运动，在运动过程中，当PD＝QD时，求时间t． 【点拨】（1）由图可知：C表示的数是10，根据点A在C的左边距C点12个单位长度，即得点A表示的数是﹣2，由中点公式可得线段AC的中点对应的数为4； （2）设运动t秒时，根据距离和＝12，构建方程即可； （3）分两种情况：当Q未到D时，由PD＝QD可得2﹣（﹣2+t）＝8﹣3t，解得t＝2，当Q到达D后返回时，可得2﹣（﹣2+t）＝3t﹣8，解得t＝3． 【详解】解：（1）由图可知：C表示的数是10， ∵点A在C的左边距C点12个单位长度， ∴点A表示的数是10﹣12＝﹣2， 线段AC的中点对应的数为4， 故答案为：﹣2，4； （2）设运动t秒时， 由题意（2+1）t＝12， ∴t＝4， 答：运动4秒，A，C相遇； （3）当Q未到D时，Q表示的数是10﹣3t， ∴QD＝10﹣3t﹣2＝8﹣3t， 由PD＝QD可得2﹣（﹣2+t）＝8﹣3t， 解得t＝2， 当Q到达D后返回时，Q表示的数是2+3（t）＝3t﹣6， ∴QD＝3t﹣6﹣2＝3t﹣8， 由PD＝QD可得2﹣（﹣2+t）＝3t﹣8， 解得t＝3， 综上所述，t＝2或t＝3． 35．（2025春•钢城区期末）随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为3.6千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步，两人同时出发，相向而行． （1）两人出发后多长时间相遇？ （2）若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 【点拨】（1）设两人出发后x分钟相遇，根据两人的速度及距离为3.6千米列出等式求解即可； （2）先判断出两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇，设两人在出发后t分钟相遇，列出等式求解即可． 【详解】解：（1）设两人出发后x分钟相遇．根据题意得： ， 解得x＝12． 答：两人出发后12分钟相遇． （2）设两人在出发后t分钟相遇． 当t＝7时，两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇．根据题意得： ． ∴． ∴两人在出发后分钟相遇． 36．嘉嘉和琪琪在400米环形跑道上练习跑步，已知嘉嘉的速度为每秒钟4米，琪琪的速度比嘉嘉快，两人同时同向出发，出发时两人相距100米，问经过多少秒两人第一次相遇（　　） A．30 B．30或50 C．50 D．50或150 【点拨】设经过x秒两人第一次相遇，则嘉嘉和琪琪跑步的路程分别为4x米和（4+4）x米，再分两种情况讨论，一是嘉嘉在琪琪前面，则两人第一次相遇时琪琪多跑100米，可列方程4x+100＝（4+4）x；二是琪琪在嘉嘉前面，则两人第一次相遇时琪琪多跑300米，可列方程4x+400﹣100＝（4+4）x，解方程求出相应的x的值即可． 【详解】解：设经过x秒两人第一次相遇， 若嘉嘉在琪琪前面，则4x+100＝（4+4）x， 解得x＝50； 若琪琪在嘉嘉前面，则4x+400﹣100＝（4+4）x， 解得x＝150， ∴经过50秒或150秒两人第一次相遇， 故选：D． 37．（2024秋•武安市期末）如图，甲、乙两动点分别同时从正方形ABCD的顶点A、C沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2024次相遇在哪条边上？（　　） A．AD B．CD C．BC D．AB 【点拨】设出正方形的边长a，根据甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可详解． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵乙的速度是甲的速度的3倍，且运动时间相同， ∴甲乙所行的路程比为1：3， 把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇； ②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在CD边的中点相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在BC边的中点相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AB边的中点相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇； 由此得到：四次一个循环． ∵2024÷4＝505⋯4， ∴它们第2024次相遇在边AB上， 故选：D． 38．（2024秋•莱州市期末）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，动点M从点A出发，以1cm/秒的速度沿长方形ABCD的边按AB→BC→CD→DA→AB→BC→⋯的顺序运动，动点N从点C出发，以3cm/秒的速度沿长方形ABCD的边按CB→BA→AD→DC→CB→BA→⋯的顺序运动．若动点M、N同时从发，运动的时间设为t秒，则动点M、N第十次相遇时，t的值是（　　） A．27.5秒 B．32.5秒 C．37.5秒 D．47.5秒 【点拨】由题意得出规律：动点M、N第n（n是正整数）次相遇时，t＝2.5+5（n﹣1），从而得出结论． 【详解】解：长方形ABCD中，DC＝AB＝4cm，BC＝AB＝6cm，由题意动点M、N第1次相遇时，； 动点M、N第2次相遇时，，即t＝2.5+5×（2﹣1）； 动点M、N第3次相遇时，，即t＝2.5+5×（3﹣1）；⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 规律是：动点M、N第n（n是正整数）次相遇时，t＝2.5+5（n﹣1），∴动点M、N第10次相遇时，t＝2.5+5×（10﹣1）＝47.5，即t的值是47.5秒； 故选：D． 39．（2024秋•安平县校级期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2018次相遇在边 DC ． 【点拨】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可详解． 【详解】解：正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为82，乙行的路程为8﹣2＝6，在AD边相遇； ②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为164，乙行的路程为16﹣4＝12，在DC边相遇； ③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为164，乙行的路程为16﹣4＝12，在CB边相遇； ④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为164，乙行的路程为16﹣4＝12，在AB边相遇； … ∵2018＝504×4+2， ∴甲、乙第2018次相遇在边DC上． 故答案为：DC． 40．（2024秋•运河区校级期末）如图，某景区内的游览车路线是边长为1500米的正方形ABCD，现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车逆时针、2号车顺时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车时间忽略不计），两车速度均为300米/分钟．设两游览车行驶时间为t分钟． （1）当1号游览车第一次到达B处前，利用方程求t为何值时两车相距的路程是500米？ （2）嘉嘉和淇淇在DA上从D向出口A走去，当步行到DA上一点P时，刚好与2号车迎面相遇，设PD＝S米．他们俩从点P到出口A有以下两种方式： 方式1：立即乘坐2号车； 方式2：在点P等候乘坐1号车． ①若两人选择方式1，则从点P到出口A的时间为　　 分钟；（用含S的代数式表示） ②思考后的嘉嘉说：“我们在这等乘1号车到出口A的用时会更少”请你判断嘉嘉的说法正确吗？若正确，求方式2比方式1少用时多少分钟；若不正确，请说明理由． 【点拨】（1）根据两车相距的路程是500米构建方程即可解决问题； （2）①根据时间＝路程÷速度列代数式即可； ②表示出方式2所用时间，求差比较大小即可； 【详解】解：（1）当1号游览车第一次到达B处前，相距的路程是500米时， 300t×2+500＝1500×2， 解得； （2）①∵路程为1500×3+S＝4500+S，速度为300米/分钟， ∴从点P到出口A的时间为 ， 故答案为：； ②嘉嘉的说法正确， ∵方式2中1号车到出口A的路程为：6000﹣（4500﹣S）＝1500+S，速度为300米/分钟， ∴方式2所用时间为：． ， 即方式2比方式1少用时10分钟． 41．（2024•铁西区开学）如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，AD＝6cm．动点P从点A出发，沿线段AB，BC向点C运动，速度为4cm/s；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为1cm/s．点P，Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）． （1）点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ （2）求停止运动时PQ两点之间的距离． 【点拨】（1）根据追及问题列方程求解即可； （2）先求得动点P到达点C时所用的时间，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）由题意得4t﹣t＝12， 解得t＝4， 答：P，Q出发4秒相遇； （2）动点P到达点C时用时：（12+6）÷4＝4.5s， BQ＝1×4.5＝4.5（cm）， PQ＝6﹣4.5＝1.5（cm）， 答：P，Q两点之间的距离为1.5cm． 42．（2023秋•沧州月考）轮船沿江从甲港口顺流行驶到乙港口，比从乙港口返回甲港口少用3个小时，若船速为27千米/时，水速为2.8千米/时，求甲港口和乙港口相距多少千米．设甲港口和乙港口相距x千米．根据题意，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【点拨】先分别求出顺流航行时的船速，逆流航行时的船速，再根据时间＝路程÷速度求出顺流和逆流的事件，最后根据顺流比逆流的时间少3小时，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，顺流航行时的船速为（27+2.8）千米/时，逆流航行时的船速为（27﹣2.8）千米/时， ∴， 故选：B． 43．（2023秋•建昌县期末）轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5h（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离．设甲、乙两码头间的距离为xkm，则列出的方程正确的是（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C． D． 【点拨】首先理解题意找出题中存在的等量关系：顺水从甲到乙的时间+逆水从乙到甲的时间＝5小时，根据此等式列方程即可． 【详解】解：设两码头间的距离为x km，则船在顺流航行时的速度是：24km/h，逆水航行的速度是16km/h． 根据等量关系列方程得：． 故选：D． 44．（2023秋•宁津县期末）小明和父母“十一”黄金周去森林公园玩，在溪边的甲码头租用了一艘小艇，逆流而上，用了2.5小时；至乙码头后沿原路返回，用了2小时；已知水流的速度是3千米/时，则船在静水中的平均速度为 　27　 千米/时． 【点拨】船在静水中的平均速度为x千米/时，可得：2.5（x﹣3）＝2（x+3），即可解得船在静水中的平均速度为27千米/时． 【详解】解：设船在静水中的平均速度为x千米/时， 根据题意得：2.5（x﹣3）＝2（x+3）， 解得x＝27， 答：船在静水中的平均速度为27千米/时， 故答案为：27． 45．（2024秋•复兴区校级月考）一艘轮船从一码头顺流而下，再逆流而上，计划8h回到原来出发的码头．若这艘轮船在静水中的速度是10km/h，水流速度是2km/h，则这艘轮船最多顺水走　38.4　 km，就必须返回． 【点拨】设这艘轮船最多顺水走xkm，就必须返回，利用时间＝路程÷速度，结合往返共用时8h，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这艘轮船最多顺水走xkm，就必须返回， 根据题意列一元一次方程得：， 整理得，4x＝153.2， 解得x＝38.4， ∴这艘轮船最多顺水走38.4km，就必须返回． 故答案为：38.4． 46．（2024秋•甘井子区校级期末）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 【点拨】（1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为xkm/h，进而列方程求解即可； （2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）设船在静水中的速度为xkm/h，依题意得： 2（x+3）＝2.5（x﹣3）， 解得x＝27， ∴船在静水中的平均速度为27km/h， 答：船在静水中的平均速度为27km/h； （2）依题意，船在静水中的平均速度为27km/h， ∴甲乙两码头之间的距离为2×（27+3）＝60（km）， ∴甲乙两码头之间的距离60km． 答：甲乙两码头之间的距离60km． 47．（2024秋•无棣县期末）请根据以下素材，完成任务一与任务二． 素材 一艘快船从甲码头到乙码头顺流行驶，同时一艘慢船从乙码头出发顺流而下．已知，甲、乙两码头相距150千米，快船在静水中的平均速度为55千米/小时，慢船在静水中的平均速度为25千米/小时，水流速度为5千米/小时． 任务一 请计算两船出发航行60分钟时相距多少千米？ 任务二 如果快船到达乙码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【点拨】任务一、利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； 任务二、分两种情况讨论①两船都在顺流而下时，②快艇到B码头返回后两船相背而行时；分别得出方程，解出即可． 【详解】解：任务一、 ＝150﹣60+30 ＝120（千米）， 任务二、分情况讨论： 第一种情况：两船都在顺流而下时， 设在出发x小时后两船相距100千米． 则根据题意列一元一次方程得，150﹣（55+5）x+（25+5）x＝100， 整理得：30x＝50， 解得． 即两船都在顺流而下时，在航行小时时两船相距100千米． 第二种情况：快船到B码头返回后两船相背而行时． ∵快船从甲码头到乙码头需用时：150÷60＝2.5（小时）． 设在出发y小时后两船相距100千米． 于是根据题意列一元一次方程有，（55﹣5）（y﹣2.5）+（25+5）y＝100， 整理得，80y＝225， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行个小时或小时都恰好相距100千米． 48．（2024秋•曹县期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是45千米/小时，水流速度是a千米/小时． （1）2小时后两船相距多少千米？ （2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？ 【点拨】（1）由题意易得船在顺水时的速度为（45+a）千米/小时，逆水时的速度为（45﹣a）千米/小时，然后根据题意可求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解． 【详解】解：（1）根据题意得， 2×（45+a）+2×（45﹣a）＝90+2a+90﹣2a＝180， 答：2小时后两船相距180千米； （2）根据题意得，2×（45+a）﹣2×（45﹣a）＝2a﹣（﹣2a）＝4a， 答：2小时后甲船比乙船多航行4a千米． 49．（2023秋•平泉市期末）甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50km/h，水流速度时akm/h，5h后两船同时到达A、C两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．（提示：顺水速度＝船速+水速；逆水速度＝船速﹣水速） （1）A、C两港口相距多远？ （2）AB港口间比BC港口间多多少千米？（用含a的代数式表示） （3）卸装货物后同时出发，两船又经过 　5　 h相遇，若相遇处距B港口50千米，求甲船还需几h到达C港口？ 【点拨】（1）由题可知，在航行过程中顺水速度为（50+a）km/h，逆水速度为（50﹣a）km/h，根据路程＝时间×速度即可列出式子； （2）根据AB＝（250+5a）km，BC＝（250﹣5a）km，相减即可得到结果； （3）设卸装货物后同时出发，经过th相遇，列方程求出t的值，从而得到甲船相遇时走了（250﹣5a）km，还没到达B点，根据“相遇处距B港口50千米”列方程求出a的值，从而求出甲船剩余的路程，列式即可求出时间． 【详解】解：（1）由题可知，在航行过程中顺水速度为（50+a）km/h，逆水速度为（50﹣a）km/h， 从题目的条件可知甲船顺水航行5h从B港口到达A港口， 得B港口到A港口的距离AB＝5×（50+a）＝（250+5a）km， 乙船逆水航行5h从B港口到C港口， 得B港口到C港口的距离BC＝5×（50﹣a）＝（250﹣5a）km， 则A、C两港口相距（250+5a）+（250﹣5a）＝500km； （2）由（1）得AB＝（250+5a）km，BC＝（250﹣5a）km， ∴AB﹣BC＝（250+5a）﹣（250﹣5a）＝10akm， 得AB港口比BC港口多10akm； （3）设卸装货物后同时出发，经过th相遇， 依题意得，（50+a）t+（50﹣a）t＝500， 解得t＝5， ∵甲船从A港口到C港口是逆水行驶，乙船从C港口到A港口是顺水形式， ∴甲船相遇时走了5×（50﹣a）＝（250﹣5a）km，还没到达B点， ∵相遇处距B港口50千米， ∴（250+5a）﹣（250﹣5a）＝50， 解得a＝5， 则甲船行驶的距离为250﹣5×5＝225km， 甲船还有500﹣225＝275km到达C港口， 则甲船到达C港口还需要的时间为275÷（50﹣5） h， 故答案为：5， 答：甲船还需h到达C港口． 50．小明在学习过程中遇到这样一个问题： “一个木箱漂浮在河水中，随河水向下游漂去，在木箱上游和木箱下游各有一条小船，分别为甲船和乙船，两船距木箱距离相等，同时划向木箱，若两船在静水中划行的速度是30m/min，水流速度为5m/min，那么哪条小船先遇到木箱？” 小明是这样点拨解决的： 小明想通过比较甲乙两船遇见木箱的时间，知道哪条小船先遇见木箱．设甲船遇见木箱的时间为xmin，乙船遇见木箱的时间为ymin，开始时两船与木箱距离相等，都设为am，如图1． 如图2，利用甲船划行的路程﹣木箱漂流的路程＝开始时甲船与木箱的距离： 列方程：x（30+5）﹣5x＝a 解得，x 所以甲船遇见木箱的时间为min． （1）参照小明的解题思路继续完成上述问题； （2）借鉴小明解决问题的方法和（1）中发现的结论解决下面问题： 问题：“在一河流中甲乙两条小船，同时从A地出发，甲船逆流而上，乙船顺流而下；划行10分钟后，乙船发现船上木箱不知何时掉入水中，乙船立即通知甲船，两船同时掉头寻找木箱，若两船在静水中划行的速度是v（单位：m/min，v大于5），水流速度是5m/min，两船同时遇见木箱，那么木箱是出发几分钟后掉入水中的？” 【点拨】（1）根据乙船划行的路程+木箱漂流的路程＝开始时乙船与木箱的距离，即可列出关于y的一元一次方程，解之即可求出y值，将x、y值比较后即可得出结论； （2）设木箱是出发t分钟后掉入水中的，根据（1）可知10分钟时两船距离木箱的距离相等，依此即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）利用乙船划行的路程+木箱漂流的路程＝开始时乙船与木箱的距离： 列方程：y（30﹣5）+5y＝a， 解得：y ∴乙船遇见木箱的时间为min． ∵， ∴两船同时遇到木箱． （2）设木箱是出发t分钟后掉入水中的， 根据题意得：10（v﹣5）+（v+5）t+5（10﹣t）＝v（10﹣t）， 整理得：2vt＝0， 解得：t＝0． 答：木箱是出发0分钟后掉入水中的． 一元一次方程应用——行程问题专题 知识点整理 一、由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 二、一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/8 5:34:39；用户：行知数学；邮箱：orFmNt7bKddG5CU729 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $