27.2.2相似三角形的性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 27.2.2相似三角形的性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 图一 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 题型1 利用相似三角形性质求线段 例1．如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． (1)求证：； (2)若F是的中点，，求的长； 【变式1-1】．如图，在矩形中，，，点E在上，且，若边上的点F使得以F，A，B为顶点的三角形和以F，D，E为顶点的三角形相似，求的长． 【变式1-2】．如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1-3】．如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 题型2利用相似三角形性质求角度 例2．如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，求的度数． 【变式2-1】．如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式2-2】．如图所示是由三个小正形组成的网格，连接，，，根据要求完成下列题目．求证： (1)； (2)． 【变式2-3】．已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 题型3利用相似三角形性质证明比例关系 例3．如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 【变式3-1】．如图，点C，D在线段上，是等边三角形，， (1)请你说明； (2)求的度数． 【变式3-2】．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 【变式3-3】．如图，在中，，点D在BC上，AD的延长线交的外接圆于点E． (1)求证：； (2)若，，求AD的长． 题型4 题型2利用相似三角形性质求周长 例4．如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 【变式4-1】．在和中，有，且和的周长之差是．求的周长． 【变式4-2】．在和中，，且的周长为，求的周长． 【变式4-3】．如图，，相交于点，． (1)若，，求的度数； (2)若；的周长为，求的周长 题型5利用相似三角形性质求面积 例5．中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 【变式5-1】．如图，在中，，点、分别在边、上，，，求的面积． 【变式5-2】．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【变式5-3】．如图，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为8，求的面积． 题型6利用相似三角形性质求线段比值 例6．如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【变式6-1】．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式6-2】．已知二次函数的图象经过，，与轴交于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点，若，求的最大值． 【变式6-3】．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 题型7利用相似三角形性质解决坐标系问题 例7．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【变式7-1】．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 【变式7-2】．如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 题型8网格中的相似三角形 例8．如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 【变式8-1】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 【变式8-2】．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，顶点在网格上，点D在边上，且．请你仅用无刻度的直尺在边上找点E，使得与相似．（要求画出两种情形） 【变式8-3】．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 题型9 与四边形的结合问题 例9．在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD． （1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形； （2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由； （3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长． 【变式9-1】．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B，C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC． （1）求∠D的度数； （2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH． ①如图，连接GH，AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明； ②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP＝1.2，直接写出k的值． 【变式9-2】．（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：． （2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？ 小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系． （3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值． 【变式9-3】．如图将绕点逆时针旋转角度后，与构成位似图形，则称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解： ①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形________（填：是或不是）“旋转位似图形”． 如图，与互为“旋转位似图形” ②若，，，则的度数为________； ③若，，，则的长度为________； （2）知识运用： 如图，在四边形中，，于，．求证：与互为“旋转位似图形”． （3）拓展提高： 如图，为等腰直角三角形，点为斜边的中点，点是上一点，是延长上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求和的长． 题型10与相似三角形判定综合问题 例10．如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的长． 【变式10-1】．在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的情况下，如果，，，求的长． 【变式10-2】．如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【变式10-3】．如图1，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图1的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图2）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 题型11相似三角形的实际应用问题 例11．已知：如图所示，要在高，底边的三角形余料中截出一个正方形板材．求正方形的边长． 【变式11-1】．如图，小华及数学小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度．在阳光下，小华站在点处时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点，其中；随后，该小组组员甲在点处放置一面平面镜，组员甲移动到点时，恰好在镜子中看到广告牌顶端的像，此时，，组员甲的眼睛到地面的距离为，小华的身高为．已知，，，点在一条直线上根据以上信息，求广告牌的高度．（平面镜的厚度、大小忽略不计） 【变式11-2】．综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成横向并排放置的两个小正方形零件，如图（），求一个小正方形的周长． 【变式提升】 （3）若把它加工成矩形零件，如图（），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【变式11-3】．如图，学校有一块直角三角形的闲置绿地（）打算绿化改造．学校计划在这块绿地内开辟出一个矩形的花卉种植区，用来种植各种花卉．已知直角三角形绿地的两条直角边分别长为和．为了满足花卉种植数量的需求，规定矩形花卉种植区的面积要达到，请你求出此时花卉种植区的宽边的长度． 题型12相似三角形中的动态几何问题 例12．如图，在中，，cm，cm，动点从点出发，在边上以每秒5cm的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒4cm的速度向点运动，运动时间为秒（），连结． (1)_____cm； (2)若与相似，求的值； (3)连结、，若，求的值； (4)直接写出当为何值时，是等腰三角形． 【变式12-1】．已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题：： (1)当t为何值时，； (2)设的面积为， ①求y与t之间的函数关系式； ②是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】．如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）． (1)当为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积； (3)当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 【变式12-3】．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为． (1)当时，求的面积； (2)当为多少时，的面积是？ (3)当为多少时，与是相似三角形？ 例13．如图，四边形中，，，，．连接，动点Q从点A出发沿向点C匀速运动，速度为；同时点P从点C出发沿向点B匀速运动，速度为．若其中一个点到达终点，另一个点立即停止运动．设运动时间为． (1)t为何值时，； (2)设四边形的面积为，试确定S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式13-1】．在矩形ABCD中，E是射线CB上的一点，过点D作分别交直线AE，AB于点G，F，且． (1)【问题解决】如图，若点E在线段BC上，求证：四边形ABCD是正方形； (2)【深入探究】在（1）的条件下，若，，求DC的长； (3)【拓展迁移】过点A作交直线CD于点M，直线ME，DF相交于点H，根据题意画出图形，试探究EM，GH，AG之间的数量关系． 【变式13-2】．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 一、单选题（每小题分，共24分） 1．如果两个相似三角形对应周长之比是，那么它们的对应边之比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在▱中，点E在上，，与相交于点F，则的值是（　　） A．1 B． C． D． 3．如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在中，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点D、E分别在边、上，连接，过点作，交DE的延长线于点，若，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．4 6．如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 7．如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，若，，则与的面积比为 ． 10．若，且，的周长为， 则的周长为 ． 11．如图，点D为边上任一点，交于点E，连结相交于点F，给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 12．如图，正方形纸片的边长为4，E是边的中点，连接，折叠该纸片，点A落在处，连接，则的长为 ． 13．如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，已知，若的面积为12，求的面积． 15．如图，，，分别为，的中点．已知，，，求的长． 16．如图，在中，点D为边上一点，连接，，E，F分别为，的中点，连接，，已知，，，求的长． 17．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径18．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，___________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 19．如图，已知的三边长cm，cm，cm，点D在边上，且cm，动点P从A点出发沿方向以的速度向B点匀速运动，设运动时间为t． (1)当点P在线段上时，_________（用含t的代数式表示），当点P在上时，________________；（用含t的代数式表示） (2)在点P运动的过程中，若直线截得的三角形与相似，求t的值． 20．数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 27.2.2相似三角形的性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 图一 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 题型1 利用相似三角形性质求线段 例1．如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． (1)求证：； (2)若F是的中点，，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形可得，即，再结合即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再说明，然后代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵，点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】．如图，在矩形中，，，点E在上，且，若边上的点F使得以F，A，B为顶点的三角形和以F，D，E为顶点的三角形相似，求的长． 【答案】的长为2或6或 【分析】本题考查三角形相似性质，设，分为或两种情况，根据对应边成比例列方程解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴设，则． 当时，． ∴． ∴．                 当时，． ∴． ∴或． ∴的长为2或6或． 【变式1-2】．如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据相似三角形的判定定理证明结论； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ∵，， ， 解得， 【变式1-3】．如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，进而根据，，计算即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 题型2利用相似三角形性质求角度 例2．如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．依据是等边三角形，可得到，即可得到，再根据，可得到，即可求得的度数为． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】．如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由为等边三角形，则、，进而得到，再说明，然后根据两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似即可证明结论； （2）根据相似三角形对应角相等得到，再说明，然后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图：∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】．如图所示是由三个小正形组成的网格，连接，，，根据要求完成下列题目．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， 又∵， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 【变式2-3】．已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点E是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：， 证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点． 题型3利用相似三角形性质证明比例关系 例3．如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，比例的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形性质得，证明，即可求证； （2）利用，，得出，再证明，，得出，设，则，，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴与四边形的面积比的值为． 【变式3-1】．如图，点C，D在线段上，是等边三角形，， (1)请你说明； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)120° 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，掌握相似三角形的性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）由相似三角形的性质得，由等边三角形的性质得，即可得证； （2）由相似三角形的性质得，等边三角形的性质得，结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【变式3-2】．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形． （1）由，得出，根据，得出，进一步证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论和已知证明即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图所示，延长和相交于点F， 由（1）得， ， ， ， ∴， ， 又， ， 又， ． 【变式3-3】．如图，在中，，点D在BC上，AD的延长线交的外接圆于点E． (1)求证：； (2)若，，求AD的长． 【答案】(1)见详解； (2). 【分析】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质： （1）先证明，再证明，从而得到，即可求证； （2）在（1）的结论下，利用相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 （2）解：∵ ，， ∴ 解得：. 题型4 题型2利用相似三角形性质求周长 例4．如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 【答案】的周长为，的周长为． 【分析】本题围绕相似三角形的判定与性质展开，利用两边对应成比例且夹角相等判定，由相似三角形周长比等于相似比，设未知数建立方程，求解周长. 【详解】解：，，且相似比为． 设的周长为，则的周长为． 由题意，得，解得． 故的周长为，的周长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，掌握相似三角形的判定及其性质，数形结合，准确运用相似三角形的判定及其性质来分析、解答是解题的关键. 【变式4-1】．在和中，有，且和的周长之差是．求的周长． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题，属于中考常考题型． 设和的周长分别是厘米和厘米，构建方程组即可解决问题． 【详解】解：设的周长为，则的周长为． ， ， ，解得． 经检验，是原方程的根， 故的周长是． 【变式4-2】．在和中，，且的周长为，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及其性质，熟记相似三角形的判定及其性质是解答本题的关键． 直接运用三边对应成比例来判断两三角形相似，进而利用性质求解即可． 【详解】解：， ， 设与的周长分别为，， ，且相似比为， ， ， ， 所以的周长为． 【变式4-3】．如图，，相交于点，． (1)若，，求的度数； (2)若；的周长为，求的周长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质； （1）根据相似三角形的性质可得，，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据相似三角形的性质可得周长之比等于相似比，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴的周长: 的周长 ∵的周长为， ∴的周长为 题型5利用相似三角形性质求面积 例5．中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 先利用平行线分线段成比例得到，再结合已知得到，从而得到，从而证明四边形为平行四边形，即可得出结论； 先证明得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2） ， ， ，， ， ， , ，即， ， 又， ， ． 【变式5-1】．如图，在中，，点、分别在边、上，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的面积计算.过E作，则既是的高，也是的高，所以面积比等于底的比，即，从而得出，由得出，相似比为，相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果. 【详解】解：如图所示，过E作，则既是的高，也是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式5-2】．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 【变式5-3】．如图，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)18 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据“两角分别相等的两个三角形相似”，即可证明结论； （2）结合题意确定两个三角形的相似比为，然后根据“两个相似三角形的面积比等于相似比的平方”，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）∵，且，， ∴，即两个三角形的相似比为， ∴ ∵的面积为8， ∴． 题型6利用相似三角形性质求线段比值 例6．如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ ∴ （2），理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 【变式6-1】．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 【变式6-2】．已知二次函数的图象经过，，与轴交于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)① 【分析】（1）用待定系数法解题即可； （2）①先求出直线的解析式，过点P作轴交于点E，设P点的横坐标为x，则表示的长，根据解题即可；②过点P作轴交于点M，设P点的横坐标为x，表示的长，利用解题． 【详解】（1）解：把，代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）①当时，， ∴， 设的解析式为，代入得： ，解得 ∴ 如图，过点P作轴交于点E， 设P点的横坐标为x，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大为； ②如图，过点P作轴交于点M， 设P点的横坐标为x，则，， ∴， ∵轴 ∴ ∴ ∴当时，最大，最大为． 【点睛】本题考查二次函数的解析式、图象和性质，掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 【变式6-3】．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【详解】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 题型7利用相似三角形性质解决坐标系问题 例7．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【答案】(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． 【变式7-1】．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键． （1）根据D为的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D，得出函数关系式，进而得出E点坐标 （2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为， ∴轴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入中得： ； ∴反比例函数的表达式y=， ∵轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2， ∵点E在双曲线上， ∴， ∴点E的坐标为； （2）∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为，为矩形， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 【变式7-2】．如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先根据反比例函数的解析式求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标和的长，再根据的面积等于与的面积之和即可得； （3）先推出是等腰直角三角形，，再分两种情况：①过点作轴，交轴于点，则；②过点作，交轴于点，则，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 则双曲线的解析式为． （2）解：如图，连接、， 将点代入得：，即， 将点，代入得：， 解得， 则， 当时，，即， 当时，，解得，即， 则的面积为． （3）解：， 是等腰直角三角形，， ①如图，过点作轴，交轴于点， ，符合题意， ， ； ②如图，过点作，交轴于点， 则是等腰直角三角形， 在和中，， ，符合题意， 又轴，轴轴， ， ， ，即， 综上，在轴上存在一点，使与相似，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 【变式7-3】．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 题型8网格中的相似三角形 例8．如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)图见解析，其相似比是 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． （1）先利用勾股定理可得的长，再根据相似三角形的判定即可得； （2）结合勾股定理和网格特点画出与相似，且相似比为的三角形即可得． 【详解】（1）解：这两个三角形相似，理由如下： 由图可知，，，，，，， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求． ∵，，， ，，， ∴， ∴，其相似比是． 【变式8-1】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格与勾股定理得，则，故，即可作答． （2）运用网格特征，得，则，故，即，得，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：在线段上找一个点，使，如图所示： 【变式8-2】．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，顶点在网格上，点D在边上，且．请你仅用无刻度的直尺在边上找点E，使得与相似．（要求画出两种情形） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-相似变换，如图1中，取格点P，Q，连接交于点E，连接即可（利用三角形的相似比即可证明）；图2中，取格点T，K，连接，交于点E即可（可以证明）． 【详解】解：如图，即为所求． 【变式8-3】．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了在网格中画图问题，解题关键是根据相似三角形的性质确定边长和利用相似或全等画等角. （1）根据相似三角形对应边成比例，利用格点画出对应直角边成比例即可； （2）根据网格画出，且与不相似． 【详解】（1）如图1，格点如图所示(答案不唯一)， （2）如图2，格点如图所示(答案不唯一)． 题型9 与四边形的结合问题 例9．在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD． （1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形； （2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由； （3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长． 【答案】（1）见解析；（2）α＝2∠BAC，见解析；（3） 【分析】（1）首先证明四边形ACEC′是平行四边形，再由AC＝AC′即可证明结论． （2）如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E，首先证明DC′∥CB，DC′＝BC，推出四边形BCC′D是平行四边形，再证明∠BCC′＝90°即可得出结论． （3）过点A作AE⊥CC′于点E，过点B作BF⊥AC于点F，证明△ACE∽△CBF，由相似三角形的性质得出，求出CE的长，则可求出CC'的长，可得出答案． 【详解】（1）证明：∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝∠CAC′＝∠AC′D， ∴AC′∥EC， ∵∠CAC′＝∠AC′D， ∴AC∥EC′， ∴四边形ACEC′是平行四边形， ∵AC＝AC′， ∴四边形ACEC′是菱形． （2）解：当α＝2∠BAC时，四边形BCC′D是矩形． 理由：如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E， 由旋转的性质，得AC′＝AC， ∴∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠ABC，∠AEC＝90°， ∵BA＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠BCA， ∴AE∥BC． 同理，AE∥DC′， ∴BC∥DC′， 又∵BC＝DC′， ∴四边形BCC′D是平行四边形， 又∵AE∥BC，∠AEC＝90°， ∴∠BCC′＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形BCC′D是矩形． （3）过点A作AE⊥CC′于点E，过点B作BF⊥AC于点F， ∵BA＝BC， ∴CF＝AF＝AC＝×10＝5， 在Rt△BCF中，BF＝＝12， 在△ACE和△CBF中， ∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°， ∴△ACE∽△CBF， ∴，即， 解得CE＝， ∵AC＝AC'，AE⊥CC'， ∴CC'＝2CE＝2×＝， ∴BD＝． 【点睛】本题是四边形综合题．考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式9-1】．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B，C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC． （1）求∠D的度数； （2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH． ①如图，连接GH，AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明； ②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP＝1.2，直接写出k的值． 【答案】（1）90°，（2）正方形，证明见解析，（3）． 【分析】（1）先判断△ABC是直角三角形，即可； （2）①延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，先证AB∥DE，DF∥AC，得到平行四边形，再判断出是正方形； ②先判断面积最大时点D的位置，利用高的比等于相似比求k值． 【详解】解：（1）∵AB2+AC2＝25，BC2＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠D＝∠BAC＝90°， （2）①四边形AGDH为正方形， 证明：如图1， 延长ED交BC于M，延长FD交BC于N， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠B＝∠E， ∵EF∥BC， ∴∠E＝∠EMC， ∴∠B＝∠EMC， ∴AB∥DE， 同理：DF∥AC， ∴四边形AGDH为平行四边形， ∵∠D＝90°， ∴四边形AGDH为矩形， ∵GH⊥AD， ∴四边形AGDH为正方形； ②由①可知，四边形AGDH一定是矩形，当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大， 理由：如图2， 点D在内部时延长GD交BC于N，过N作NM⊥AC于M， ∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH， ∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大， 只有点D在BC边上时，面积才有可能最大， 如图3， 点D在BC上，延长PA，交BC于点Q, ∵EF∥BC，QP⊥EF， ∴QP⊥BC， ∴PQ是EF，BC之间的距离， ∴D到EF的距离为PQ的长， 在△ABC中，AB×AC＝BC×AQ ∴AQ＝2.4， PQ=1.2+2.4=3.6 ∵△DEF∽△ABC， ∴k＝． 【点睛】此题是相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，正方形的判定和性质，极值的确定，勾股定理的逆定理，解本题的关键是作出辅助线． 【变式9-2】．（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：． （2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？ 小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系． （3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据已知条件直接证明，再证明，从而可得，设，则,根据勾股定理求得,求得，即可得证； （2）根据题意可知，，设则,求得,分别求得,根据，即可求得； （3）根据（2）的方法，旋转放缩,缩小为原来的，使得的落点为,的落点为，过点作于点,交的延长线于点，作点关于的对称点,连接,则,当点三点共线时，取等于号，接下来根据相似的性质分别求得各边的长度，最后根据勾股定理求得即可求得最小值 【详解】（1）∠ADE＝∠ABC＝90°， 即 设，则, （2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且 将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E， ， ， 三点共线， ，设则 （3）如图，设,将绕点逆时针旋转，并缩小为原来的， 使得的落点为,的落点为， 过点作于点,交的延长线于点， 作点关于的对称点,连接 则， 当点三点共线时，取等于号 由作图知:， 且, ，AB＝5 , 四边形是矩形 在中 在中， 四边形是矩形 , 四边形是矩形 , 在中， 的最小值为 【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，旋转放缩法构造相似三角形，线段和最值问题，勾股定理，正确的作出图形和辅助线是解题的关键． 【变式9-3】．如图将绕点逆时针旋转角度后，与构成位似图形，则称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解： ①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形________（填：是或不是）“旋转位似图形”． 如图，与互为“旋转位似图形” ②若，，，则的度数为________； ③若，，，则的长度为________； （2）知识运用： 如图，在四边形中，，于，．求证：与互为“旋转位似图形”． （3）拓展提高： 如图，为等腰直角三角形，点为斜边的中点，点是上一点，是延长上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求和的长． 【答案】（1）①是；②；③；（2）证明见解析；（2）DE=；BD=． 【分析】（1）①根据“旋转位似图形”的定义即可得答案； ②由“旋转位似图形”的定义可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质及三角形内角和定理可得∠C、∠BAC的度数，根据旋转的性质可得∠EAC=26°，利用角的和差关系即可得答案； ③由“旋转位似图形”的定义可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质即可得答案； （2）根据直角三角形两锐角互余的性质及角的和差关系可得∠2=∠BAE，即可得出∠1=∠BAE，进而可证明△ACD∽△ABE，即可得结论； （3）作交直线于点，根据等腰直角三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可求出AE的长，根据角的和差关系可得∠DAE=45°，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AE′，即可证明点E与点E′重合，可得AE⊥DG，可得DE=AE，即可得出DE的长，利用勾股定理即可求出BD的长． 【详解】（1）①如图，△ABC和△ADE是等边三角形， ∴△ABC∽△ADE， ∴绕点逆时针旋转角度后与构成位似图形， 故答案为：是 ②∵与互为“旋转位似图形” ∴△ABC∽△ADE， ∴∠C=∠E=29°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-100°-29°=51°， ∵△ADE绕点逆时针旋转角度后，与△ABC构成位似图形， ∴∠EAC==26°， ∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=51°-26°=25°， 故答案为：25° ③∵与互为“旋转位似图形” ∴△ABC∽△ADE， ∴，即， 解得：BC=， 故答案为： （2）∵AE⊥BD，∠ABC=90°， ∴∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°， ∴∠BAE=∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BAE， ∵∠ADC=∠AEB=90°， ∴△ACD∽△ABE， ∵△ACD与△ABE有一个公共顶点A， ∴△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”． （3）如图，作交直线于点， ∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6， ∴AB=AC=， 与互为“旋转位似图形”， ． ， ，；． ∴∠DAE′=45°， ∴为等腰直角三角形． ， ．，点和点重合， ． ∴，， ∴． 【点睛】本题考查位似图形及相似三角形的判定与性质的综合，理解“旋转位似图形”的定义并熟练掌握相似三角形的判定定理、是解题关键． 题型10与相似三角形判定综合问题 例10．如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． (1)根据三角形内角和定理计算，根据，得到即可． (2) 根据，得 ，求得的长即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 解得， ∴． 【变式10-1】．在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的情况下，如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点作交于点，利用全等三角形的判定证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）过点作交于点，利用相似三角形的判定证明，再利用相似三角形的性质即可得出结论； （3）根据等角对等边得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过点作交于点， ∵， ∵， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 由（2）得，， ∴． 【变式10-2】．如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 【变式10-3】．如图1，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图1的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图2）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）①由（1）可知，然后可得，则有，进而问题可求解； ②由（1）可知，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 题型11相似三角形的实际应用问题 例11．已知：如图所示，要在高，底边的三角形余料中截出一个正方形板材．求正方形的边长． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设正方形的边长为，根据正方形的性质可得，，再证出四边形是矩形，则可得，，然后证出，根据相似三角形对应高的比等于相似比求解即可得． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：正方形的边长为． 【变式11-1】．如图，小华及数学小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度．在阳光下，小华站在点处时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点，其中；随后，该小组组员甲在点处放置一面平面镜，组员甲移动到点时，恰好在镜子中看到广告牌顶端的像，此时，，组员甲的眼睛到地面的距离为，小华的身高为．已知，，，点在一条直线上根据以上信息，求广告牌的高度．（平面镜的厚度、大小忽略不计） 【答案】广告牌的高度为． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意可证，得，则，再证明，得，则，可得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，根据光的反射得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴广告牌的高度为． 【变式11-2】．综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成横向并排放置的两个小正方形零件，如图（），求一个小正方形的周长． 【变式提升】 （3）若把它加工成矩形零件，如图（），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 【分析】（1）设正方形的边长为，证明四边形是矩形，得到，则，证明，据此根据相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，则， 同理可得 同理可证明，据此根据相似三角形的性质进行计算即可解答； （3）设，则，证明，可得，根据矩形面积公式得到关于的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， ， ，四边形是矩形， ∴， ∴， ， ，， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设，则， 同理可得 同理可证明， ，即， 解得：， ∴ 一个小正方形的周长为； （3）设，则， 四边形是矩形， ， ， ，即， ， 矩形面积 ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是， 即：当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 【变式11-3】．如图，学校有一块直角三角形的闲置绿地（）打算绿化改造．学校计划在这块绿地内开辟出一个矩形的花卉种植区，用来种植各种花卉．已知直角三角形绿地的两条直角边分别长为和．为了满足花卉种植数量的需求，规定矩形花卉种植区的面积要达到，请你求出此时花卉种植区的宽边的长度． 【答案】此时花卉种植区的宽边的长度为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用．设，利用矩形的性质证明，根据相似三角形的性质列方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，即， 解得， 答：此时花卉种植区的宽边的长度为． 题型12相似三角形中的动态几何问题 例12．如图，在中，，cm，cm，动点从点出发，在边上以每秒5cm的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒4cm的速度向点运动，运动时间为秒（），连结． (1)_____cm； (2)若与相似，求的值； (3)连结、，若，求的值； (4)直接写出当为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1)10 (2)或 (3) (4)或或 【分析】本题综合考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的分类讨论，运用分类讨论思想、方程思想和辅助线构造法．解题关键是根据动点运动情况准确表示线段长度，针对相似、垂直、等腰等不同条件分情况建立方程；易错点是相似三角形的对应关系找错、等腰三角形分类不全，或辅助线构造后比例关系推导错误． （1）直接用勾股定理计算的长度． （2）表示出、的长度，分和两种相似情况，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解． （3）作辅助线，构造相似三角形和，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解． （4）分、、三种等腰情况，分别作辅助线构造相似三角形，根据相似或线段关系列方程求解． 【详解】（1）在中，，，，根据勾股定理： （2）由题意，，，则． 分两种情况讨论： 情况一： 此时，即， ， 解得． 情况二： 此时，即， ， 解得． 综上，t的值为或1． （3）过P作于D，则． ， 即， 解得，，则． 因为，，所以，，故． 又，所以． 则，即， ， ， 解得． （4）分三种情况讨论： 情况一： 即， ， 解得． 情况二： 过P作于E，则． 由，，即， ， 解得． 情况三： 过Q作于F，则． 由，，即， ， 解得． 综上，t的值为、或． 【变式12-1】．已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题：： (1)当t为何值时，； (2)设的面积为， ①求y与t之间的函数关系式； ②是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，； (2)①；②不存在某一时刻t，使．理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的综合运用，平移的性质，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由勾股定理计算，得到，，，，利用相似三角形的性质得到，据此列式，求解即可； （2）①作于点D，交的延长线于点，易得，，得，结合三角形面积公式即可得到关于t之间的函数关系式； ②由平行线的性质得到，结合题意得到，利用①的结论，列出方程，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，，，， ∵，如图， ∴， ∴， 解得； （2）解：①如图所示，作于点D，交的延长线于点， ∵，， 则四边形为矩形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴的面积为：， ∴； ②不存在某一时刻t，使．理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴方程没有实数根， ∴不存在某一时刻t，使． 【变式12-2】．如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）． (1)当为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积； (3)当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）由等腰三角形的定义可得，即得，解方程即可求解； （）根据即可求解； （）根据相似三角形的判定分和两种情况解答即可求解； 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的定义，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上，当或时，以点为顶点的三角形与相似． 【变式12-3】．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为． (1)当时，求的面积； (2)当为多少时，的面积是？ (3)当为多少时，与是相似三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)当为或秒钟，使与相似． 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． （1）用含的代数式表示线段和，代入求得、，利用三角形的面积计算公式求得答案； （2）由（1）得到，，根据三角形的面积公式得出方程解答即可； （3）要使与相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况和第二种情况代入求出即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴，， ∴， 当时，，，的面积； （2）解：由题意得， 即， 答：当为或秒，使的面积为． （3） 解：设经过秒钟，使与相似， ， 第一种情况：当时，与相似，即， 解得：， 第二种情况：当时，与相似，即， 解得：． 答：当为或秒钟，使与相似． 例13．如图，四边形中，，，，．连接，动点Q从点A出发沿向点C匀速运动，速度为；同时点P从点C出发沿向点B匀速运动，速度为．若其中一个点到达终点，另一个点立即停止运动．设运动时间为． (1)t为何值时，； (2)设四边形的面积为，试确定S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，证明见解析 (4)存在，时点P在线段的垂直平分线上 【分析】（1） 要使，需．先通过勾股定理求出，再结合等腰三角形性质确定长度，然后根据相似三角形对应边成比例列方程，求解得出t． （2） 求四边形的面积，可转化为的面积减去的面积．作，构造，利用相似性质求出，进而求出的面积，从而得到S与t的函数关系式． （3） 根据，转化为，代入面积公式得到方程，通过判别式判断方程是否有实数解，确定是否存在这样的t． （4） 若点P在线段的垂直平分线上，则．作，构造，利用相似性质和垂直平分线性质得到线段关系，列方程求解t． 【详解】（1）如图，过A作于F． ，，， 根据勾股定理可得． 又， 是等腰三角形，F是BC的中点． 由于，， ， ． 由题可知，， ． 当时，. ，即． 解得． ∴当时，． （2）如图，过Q作于E，则， ，， ． ． 在中，，， 根据勾股定理可得， ，即． 又，则． ， ． ， ． （3）不存在，理由如下： 由， 可得，即． 又，， ． ． ， 所以方程无实数解，即不存在这样的t． （4）存在． 如图，当点P在线段的垂直平分线上时， 作与点H，则H是的中点，即． ，， ， ， ． 又， ． ，且， ， 解得． ∴当时点P在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的知识点有勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形和四边形的面积计算、垂直平分线的性质．解题用到了方程思想、转化思想，技巧在于通过作辅助线构造相似三角形，将线段比例关系和面积关系转化为方程求解．解题关键是准确判断相似三角形，利用相似性质得到边的比例关系，进而建立方程．易错点是对图形中线段长度（如的长度）判断错误，导致相似三角形对应边比例出错，以及在求解方程时忽略根的判别式和取值范围的检验． 【变式13-1】．在矩形ABCD中，E是射线CB上的一点，过点D作分别交直线AE，AB于点G，F，且． (1)【问题解决】如图，若点E在线段BC上，求证：四边形ABCD是正方形； (2)【深入探究】在（1）的条件下，若，，求DC的长； (3)【拓展迁移】过点A作交直线CD于点M，直线ME，DF相交于点H，根据题意画出图形，试探究EM，GH，AG之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）通过证明三角形全等，得出矩形的邻边相等，从而证明其为正方形； （2）证明三角形相似，利用相似比求出，再结合勾股定理求出； （3）根据正方形性质和角度关系，分当点E在线段BC上时，当点E在CB的延长线上时，两种情况探究线段之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如解图1， 四边形是矩形， ， ． ， ， ． ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：易知，， ， ， ， （负值已舍去）． 在中，由勾股定理得， ． ； （3）解：如解图2，当点E在线段BC上时， ， ， ． ， ． 由（1）知，此时四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，． ， 是等腰直角三角形， ， ． 如解图3，当点E在CB的延长线上时， ， ， ． ， ． 由（1）同理可得四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查矩形、正方形的判定与性质，三角形全等与相似的应用，掌握全等、相似三角形的判定方法及正方形的性质是解题的关键 【变式13-2】．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 【答案】(1)a的值为，b的值为2，见解析 (2)或，见解析 (3) (4)或 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）分、、时，三种情况分别讨论即可求解； （3）证明的面积 的面积，则，即可求解； （4）当点在轴上方时，证明，求出点，，即可求解；当点在轴下方时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：，； （2）解：由（1）可得：二次函数解析式为：， 当时，图象的最高点为原抛物线的顶点， 此时最高点的纵坐标为4，与无关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为，与有关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为0，与无关． 综上，当图象的最高点的纵坐标与无关时，的取值范围是或； （3）解：连接， ， 的面积 的面积， 过点D作轴，交与点F， 令，则，即， ∵， ∴的解析式为：， ∴， ∴ ， 当 时， 有最大值，最大值为； （4）解：设交于点， 当点在轴上方时， 过点、分别作的垂线交的延长线于点、，则， ， 则， ， ， 则， 则， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， ， 设直线的表达式为：，代入，得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 当点在轴下方时， 同理可得：点， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上， 或． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、面积的计算、平行线的性质等知识，分类求解是解题的关键． 一、单选题（每小题分，共24分） 1．如果两个相似三角形对应周长之比是，那么它们的对应边之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题关键是掌握“相似三角形对应周长之比等于对应边之比”，易错点是混淆相似三角形周长比与边比、面积比的关系，解题思路为：直接根据相似三角形对应周长之比等于对应边之比的性质得出答案． 【详解】解：因为相似三角形的对应周长之比等于对应边之比，因此直接根据这一性质可得对应边之比为； 故选C． 2．如图，在▱中，点E在上，，与相交于点F，则的值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的对应边成比例，求出的值是解题的关键．利用平行四边形的性质，可得出且，结合，可得出，由，可得出，再利用相似三角形的性质，即可求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方；由相似比为，可求出，即可求解. 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∴. 故选：A. 4．如图所示，在中，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．证明，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，在中，点D、E分别在边、上，连接，过点作，交DE的延长线于点，若，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明四边形为平行四边形得，进而可得，再证明得，即可得值． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 6．如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答本题的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．证明，，假设，，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点． ， 可以假设，， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 8．如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例解决问题即可． 【详解】如图， ， ∴两个三角形的对应边的比是， ， 观察图象可知点与丁重合， 故选: D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，若，，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， 与的面积比， ，， 与的面积比为， 故答案为：． 10．若，且，的周长为， 则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了相似三角形的性质（周长比与相似比的关系），解题的关键是掌握“相似三角形的周长比等于它们对应边的比”这一性质，结合已知对应边的比和的周长，计算的周长． 根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵， ∴相似三角形的周长比等于对应边的比，即， 已知，， 设，则， 解得． 故答案为：16． 11．如图，点D为边上任一点，交于点E，连结相交于点F，给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理即可判断①，根据相似三角形的性质即可判断②③④． 【详解】解：∵， ∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故①符合题意； ∴，，故②符合题意，③不符合题意； ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④． 12．如图，正方形纸片的边长为4，E是边的中点，连接，折叠该纸片，点A落在处，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 如图，过点作于M交于N．证明，推出，设，则，．，根据，构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于M交于N．    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 由翻折可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， 在中，． 故答案为：． 13．如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 由平移的性质可得，从而可得，由相似三角形的性质求得，即可得解． 【详解】解：由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即移动的距离是 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，已知，若的面积为12，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∵的面积为， ∴的面积， 答：的面积为． 15．如图，，，分别为，的中点．已知，，，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，，分别为，的中点． ∴． ∴． ∴． 16．如图，在中，点D为边上一点，连接，，E，F分别为，的中点，连接，，已知，，，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据已知条件得到，分别为，的中线，再根据得出即可求解． 【详解】解：∵E，F分别为，的中点， ∴，分别为，的中线， ∵， ∴根据相似三角形的性质得，， 即， ∴， 解得， 所以的长为2． 17．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）设，则，由可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，点D是的中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 18．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，___________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可得出的值； （3）分两种情况考虑，根据三角形相似可得对应边成比例，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ， ， ， 点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ； 故答案为：；； （2）由题意得：， 解得： (不合题意舍去)，， 当秒时，的长度等于； （3）在中，，， 又与以B、P、Q为顶点的三角形相似， 或， 即或， 解得：或， 故的值为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、列代数式、勾股定理、解一元二次方程，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 19．如图，已知的三边长cm，cm，cm，点D在边上，且cm，动点P从A点出发沿方向以的速度向B点匀速运动，设运动时间为t． (1)当点P在线段上时，_________（用含t的代数式表示），当点P在上时，________________；（用含t的代数式表示） (2)在点P运动的过程中，若直线截得的三角形与相似，求t的值． 【答案】(1)，； (2)或或3或 【分析】本题为图形上动点问题，考查了相似三角形判定等知识，注意分类讨论是解题关键﹒ （1）根据题意即可用含t的代数式表示出，； （2）分点在上时，和点在上时，，两种情况讨论，每种情况分别讨论相似，即可求出t的值﹒ 【详解】（1）解：当点P在线段上时，，（用含t的代数式表示），当点P在上时，； 故答案为：，； （2）解：当点在上时，， ①如图1， 当时， ∵， ∴， 此时， 解得：； ②如图2， 若时， ∵， ∴， 此时， 解得：； 当点在上时，， ③如图3， 若时， ∵， ∴， 此时 解得：； ④如图4， 若时， ∵， ∴， 此时， 解得﹒ 综上可知：或或3或． 20．数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】（1），，（2）①   ②见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明可推出结论； （2）①证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；②由①知，得出．再结合（1），即可推出结论． 【详解】【观察发现】（1）解：嘉嘉得出，理由如下： ， ． ， ， ， ． 又， ． ， ． 故答案为：，，； 【探究应用】（2）①解：，， ， ； ②证明：由①知， ， ． 由（1）得， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $