第3章 函数的概念与性质 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

本高中数学单元复习课件系统梳理函数的概念与性质，通过“巩固层·知识整合”构建知识框架，涵盖定义域、对应关系、值域等核心概念，以及单调性、奇偶性等基本性质，结合解析法、列表法、图象法，形成“概念-性质-表示-应用”的逻辑网络。 其亮点在于“提升层·题型探究”的分层设计，针对定义域求解、解析式求法等高频题型，通过例题精讲（如复合函数定义域、奇偶性与单调性综合应用）培养数学思维与逻辑推理能力，章末测评覆盖多样题型，助力教师实施个性化复习，提升学生知识迁移能力。

章末综合提升 第3章　函数的概念与性质 巩固层·知识整合 章末综合提升 提升层·题型探究 类型1　求函数的定义域 求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集． 章末综合提升 【例1】　(1)函数y＝的定义域为 ______________________． (2)已知函数y＝f (x－1)的定义域是[－1，2]，则y＝f (1－3x)的定义域为___________． {x|1≤x≤5且x≠3} [0，1] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (1){x|1≤x≤5且x≠3}　(2)[0，1]　 [(1)由题意得解得 故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}． (2)由题意得，－1≤x≤2， 则－2≤x－1≤1，即－2≤1－3x≤1， ∴0≤x≤1．] 类型2　求函数的解析式 求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f (g(x))的解析式求f (x)的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法． (3)含f (x)与f (－x)或f (x)与f ，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求其对称区间的解析式，可用奇偶性转移法． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 【例2】　已知f ＝，则f (x)的解析式为 _________________________________________________________． f (x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)　[令t＝＝＋1，则t≠1．把x＝代入f ＝， 得f (t)＝＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1． 所以所求函数的解析式为 f (x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．] f (x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 类型3　函数的性质及应用 函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 【例3】　定义在(－1，1)上的函数f (x)满足：对任意的x，y∈(－1，1)，都有 f (x)＋f (y)＝f ． (1)求证：函数f (x)是奇函数； (2)若当x∈(－1，0)时，有f (x)＞0，求证：f (x)在(－1，1)上是减函数； (3)在(2)的条件下，若f ＝－1，f (x)≤t2－2at＋1对所有x∈，a∈ [－1，1]恒成立，求实数t的取值范围． [解]　(1)证明：令x＝y＝0，得f (0)＝0． 设任意x∈(－1，1)，则－x∈(－1，1)，令y＝－x， ∴f (x)＋f (－x)＝f (0)＝0，即f (－x)＝－f (x)，∴函数f (x)是奇函数． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (2)证明：设x1和x2是区间(－1，1)上任意两个实数，且x1＜x2，则 f (x1)－f (x2)＝f (x1)＋f (－x2)＝f ． 由－1＜x1＜x2＜1知x1－x2＜0，且|x1|＜1，|x2|＜1，∴|x1x2|＜1， 即1－x1x2＞0，∴＜0， 又－(－1)＝＞0，即∈(－1，0)，∴f ＞0，即f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)． ∴f (x)在(－1，1)上是减函数． (3)由(2)知函数f (x)在(－1，1)上是减函数，则当x∈时，函数f (x)的最大值为f ＝－f ＝1，则t2－2at＋1≥1，即t2－2at≥0，对任意a∈[－1，1]恒成立， 设g(a)＝t2－2at＝－2ta＋t2， 则即即 解得t≥2或t＝0或t≤－2． 即实数t的取值范围是[2，＋∞)∪{0}∪(－∞，－2]． 类型4　函数图象的画法及应用 利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等． 【例4】　已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是___________________． (0，1)∪(1，4) 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (0，1)∪(1，4)　[y＝＝ 函数y＝的图象如图所示： y＝kx－2的图象恒过(0，－2)，结合图象可知，实数k的取值范围是(0，1)∪(1，4)．] (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f (x)＝的定义域是(　　 ) A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞) C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．R 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 章末综合测评(三)　函数的概念与性质 16 17 18 19 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C　[要使函数有意义，需满足 即x≥－1且x≠0．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．已知f (x)＝则f (3)＝(　　 ) A．7　　　　B．2　　　　C．10　　　　D．12 √ D　[∵3>1， ∴f (3)＝32＋3＝12．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 16 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．已知函数f (x)＝x2－4x，x∈[1，5]，则函数f (x)的值域是(　　 ) A．[－4，＋∞) B．[－3，5] C．[－4，5] D．(－4，5] √ C　[由f (x)＝x2－4x＝(x－2)2－4， 当x＝2时，f (x)取到最小值－4， 当x＝5时，f (x)取得最大值5， 故值域为[－4，5]．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 17 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．函数f (x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f (5)＝10，则f (－5)等于 (　　) A．－10 B．－2 C．－6 D．14 √ B　[∵f (5)＝125a＋5b＋4＝10， ∴125a＋5b＝6， ∴f (－5)＝－125a－5b＋4＝－(125a＋5b)＋4＝－6＋4＝－2．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 18 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，若f (－2)＝1，则f (x－2)≤1的x的取值范围是(　　) A．[0，2] B．[－2，2] C．[0，4] D．[－4，4] √ C　[因为函数f (x)是偶函数，f (－2)＝1，所以f (2)＝1．因为f (x－2)≤1，所以－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4．故选C．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 19 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6．已知定义域为R的奇函数f (x)满足f ＝f ，且当0≤x≤1时，f (x)＝x3，则f 等于(　　) A．－ B．－ C． √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 20 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B　[f ＝f ＝f ＝f ， ∵f (x)为奇函数， ∴f ＝－f ＝－． ∴f ＝－．] 21 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．如果函数f (x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f (2＋t)＝f (2－t)，那么(　　 ) A．f (2)<f (1)<f (4) B．f (1)<f (2)<f (4) C．f (4)<f (2)<f (1) D．f (2)<f (4)<f (1) √ A　[由题意知f (x)的对称轴是直线x＝2，再由二次函数的单调性，可得f (2)<f (1)<f (4)．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 22 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．若定义在R上的函数f (x)满足：对任意x1，x2∈R，有f (x1＋x2)＝ f (x1)＋f (x2)＋1，则下列说法一定正确的是(　　) A．f (x)－1为奇函数 B．f (x)－1为偶函数 C．f (x)＋1为奇函数 D．f (x)＋1为偶函数 √ C　[令x1＝x2＝0，则f (0)＝2f (0)＋1， 解得f (0)＝－1，令x1＝x，x2＝－x， 则f (0)＝f (x)＋f (－x)＋1，化为f (－x)＋1＝－[f (x)＋1]， ∴函数f (x)＋1为奇函数．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 23 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是(　　) A．函数y＝|x－1|既是偶函数又在区间[1，＋∞)上是增函数 B．函数f (x)＝的最小值为2 C．“x＝2”是“x－2＝”的充要条件 D．∃x∈R，<x＋1 √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 24 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 CD　[y＝|x－1|，当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝2，所以y＝|x－1|不是偶函数，选项A错误；令t＝∈[3，＋∞)，g(t)＝t＋．根据对勾函数的单调性可得，g(t)在[3，＋∞)是增函数，g(t)的最小值为，即f (x)的最小值为，选项B错误；x－2＝≥0，2－x≥0，∴x＝2，选项C正确；当x＝1时，<x＋1成立，选项D正确．故选CD．] 25 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．已知定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f (－x)＝f (x)；②∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③f (－1)＝0．则下列选项成立的是(　　) A．f (3)>f (－4) B．若f (m－1)<f (2)，则m∈(－∞，3) C．若>0，则x∈(－1，0)∪(1，＋∞) D．∀x∈R，∃M∈R，使得f (x)≥M √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 26 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 CD　[由条件①得f (x)是偶函数，条件②得f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (3)<f (4)＝f (－4)，故A错； 若f (m－1)<f (2)，则|m－1|<2，得－1<m<3，故B错； 若>0，则或 因为f (－1)＝f (1)＝0， 所以x>1或－1<x<0，故C正确； 因为定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的，且在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x)min＝f (0)，所以∀x∈R，只需M≤f (0)即可，故D正确．故选CD．] 27 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．对于定义域为D的函数y＝f (x)，若同时满足下列条件：①f (x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f (x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f (x)(x∈D)称为闭函数．下列结论正确的是(　　) A．函数y＝x是闭函数 B．函数y＝x2＋1是闭函数 C．函数y＝－x2(x≤0)是闭函数 D．函数f (x)＝(x＞－1)是闭函数 √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 28 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AC　[选项A，因为y＝x是R上的单调递增的一次函数，且在R上任意子区间都满足新定义，所以A正确， 选项B，y＝x2＋1在定义域R上不单调，故不是闭函数； 选项C，y＝－x2在(－∞，0]上单调递增，则有解得a＝－1，b＝0，C正确； 选项D，f (x)＝＝＝1－，在(－1，＋∞)上单调递增，则即＝a，＝b，解得a＝b＝0，又a＜b，所以D不正确．] 29 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数f (x)＝在[－5，－4]上的值域是_________________． 　[函数y＝f (x)＝在(－∞，－2)上单调递减， ∵－5≤x≤－4，∴≤y≤， 即－≤y≤－1，值域为．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 30 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13．已知函数f (x)＝若f (2－a2)>f (a)，则实数a的取值范围是_______________． (－2，1)　[∵f (x)＝ 由函数图象(图略)知f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴由f (2－a2)>f (a)，得a2＋a－2<0，解得－2<a<1．] (－2，1) 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 31 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①不超过200元，不予优惠；②超过200元但不超过500元的按标价给予9折优惠；③超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款________元． 560.4 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 32 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 560.4　[依题意，付款金额y与标价x之间的关系为 y＝ ∵某人分两次去购物，分别付款168元和423元， ∴优惠前，购物应付款168＋＝638(元)， ∴一次性购买上述同样的商品，应付款为 0.9×500＋(638－500)×0.8＝560.4(元)．] 33 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知函数f (x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)． (1)证明：函数f (x)是偶函数； (2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象； (3)写出函数的值域． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 34 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)证明：由于函数定义域是R，且f (－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f (x)， ∴f (x)是偶函数． (2)f (x)＝ 图象如图所示： (3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)． 35 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝，f (x)为R上的奇函数且 f (1)＝． (1)求a，b； (2)判断f (x)在[1，＋∞)上的单调性并证明； (3)当x∈[－4，－1]时，求f (x)的最大值和最小值． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)∵f (x)为R上的奇函数， ∴f (0)＝0，得b＝0， 又f (1)＝＝，∴a＝1， ∴f (x)＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)f (x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下： 设x1和x2是区间[1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2， ∴f (x2)－f (x1)＝＝ ＝＝． ∵x2＞x1≥1，∴x1x2－1＞0，x1－x2＜0， ∴f (x2)－f (x1)＜0，即f (x2)＜f (x1)， ∴f (x)在[1，＋∞)上为减函数． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)∵f (x)为奇函数且f (x)在[1，＋∞)上是减函数， ∴f (x)在(－∞，－1]上为减函数， 又x∈[－4，－1]， ∴f (x)的最大值为f (－4)＝－，f (x)的最小值为f (－1)＝－． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(本小题满分15分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止．降低的温度大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃． (1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求a，x，y间的函数关系式； (2)问当地表的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是多少？ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)由题设知，可设y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，即y＝a＋kx． 依题意，当x＝12时，y＝－55， ∴－55＝a＋12k，解得k＝－． ∴当0≤x≤12时，y＝a－(55＋a)． 又当x＞12时，y＝－55． ∴所求的函数关系式为y＝ (2)当a＝29，x＝3时，y＝29－(55＋29)＝8， 即3 km上空的温度为8 ℃． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(本小题满分17分)已知f (x)是二次函数，且满足f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝2x＋3． (1)求函数f (x)的解析式； (2)设h(x)＝f (x)－2tx，当x∈[1，3]时，求函数h(x)的最小值． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴f (0)＝c＝2， ∵f (x＋1)－f (x)＝2x＋3， ∴[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2x＋3， 即2ax＋a＋b＝2x＋3， ∴∴a＝1，b＝2， ∴f (x)＝x2＋2x＋2． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由(1)知h(x)＝x2＋(2－2t)x＋2，x∈[1，3]， ∴h(x)的对称轴为x＝t－1， 当t－1≤1，即t≤2时，h(x)在[1，3]上单调递增， ∴h(x)最小值＝h(1)＝5－2t， 当1<t－1<3，即2<t<4时，h(x)在(1，t－1)上递减，在(t－1，3)上递增， ∴h(x)最小值＝h(t－1)＝－t2＋2t＋1， 当t－1≥3，即t≥4时，h(x)在[1，3]上递减， ∴h(x)最小值＝h(3)＝17－6t． 综上：当t≤2时，h(x)最小值 ＝5－2t； 当2<t<4时，h(x)最小值＝－t2＋2t＋1； 当t≥4时，h(x)最小值＝17－6t． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(本小题满分17分)设函数f (x)的定义域为U＝{x|x∈R且x>0}，且满足条件f (4)＝1．对任意的x1，x2∈U，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，且当x1≠x2时，有>0． (1)求f (1)的值； (2)如果f (x＋6)＋f (x)>2，求x的取值范围． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)因为对任意的x1，x2∈U，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)， 所以令x1＝x2＝1，得f (1×1)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0． (2)设0<x1<x2，则x2－x1>0． 又因为当x1≠x2时，>0， 所以f (x2)－f (x1)>0，即f (x2)＞f (x1)， 所以f (x)在定义域内为增函数． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令x1＝x2＝4，得f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝1＋1＝2， 即f (16)＝2． 当即x>0时，原不等式可化为f (x(x＋6))>f (16)． 又因为f (x)在定义域上为增函数， 所以x(x＋6)>16，解得x>2或x<－8． 又因为x>0，所以x>2． 所以x的取值范围为(2，＋∞)． $