5.2.3 第2课时 诱导公式五和公式六-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“诱导公式五和公式六”，通过单位圆情境问题引导学生观察角α与π/2±α的终边及交点坐标关系，衔接已学诱导公式一到四，以问题为支架帮助推导新公式，明确学习任务为了解推导、记忆公式、灵活运用。 其亮点在于情境导学培养数学眼光，通过单位圆观察发现终边关系，分层任务结合核心素养，如化简求值提升数学运算、证明恒等式发展逻辑推理，题型分层（体验题、跟进训练、A/B/C组作业）与课堂小结（对比公式特征）助力巩固，学生循序渐进掌握，教师可精准教学提升效率。

第5章　三角函数 5.2　任意角的三角函数 5.2.3　诱导公式 第2课时　诱导公式五和公式六 学习任务 核心素养 1．了解公式五和公式六的推导方法． 2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点) 3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点) 1．借助诱导公式求值，培养数学运算素养． 2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养． 第2课时　诱导公式五和公式六 观察单位圆，回答下列问题： (1)角α与角－α，角α与角＋α的终边有什么关系？ (2)角α与角－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？ 必备知识·情境导学探新知 第2课时　诱导公式五和公式六 知识点1　诱导公式五 终边关系 角－α与角α的终边关于直线y＝x对称 角＋α与角α的终边垂直 图形 公式 sin ＝_______， cos ＝_______ sin ＝_______， cos ＝__________ cos α sin α cos α －sin α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 提醒　诱导公式五反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五中的角α只能是锐角． (　　) (2)sin (90°＋α)＝－cos α． (　　) (3)cos ＝－sin α． (　　) × × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 (1)　(2)　[(1)∵sin α＝，∴cos ＝sin α＝． (2)∵α∈，sin ＝cos α＝， ∴cos α＝．] 体验　2．(1)已知sin α＝，则cos ＝________； (2)若α∈，sin ＝，则cos α＝________． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 知识点2　诱导公式六 tan ＝＝＝； tan ＝＝＝． 关于角α与2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，±α的三角函数的关系式，都称为诱导公式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 体验　3．tan 120°＝________． －　[tan 120°＝tan (90°＋30°)＝－＝－．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 关键能力·合作探究释疑难 类型1　利用诱导公式化简求值 【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A． C．－ D．－ √ 第2课时　诱导公式五和公式六 (2)已知cos (60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos (30°－α)的值为(　　) A．－ C．－ (3)已知cos ＝，且α∈，则＝________． √ 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 从角入手，你能发现待求角与已知角之间的内在联系吗？如何借助这种关系选择诱导公式进行化简求值？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 (1)B　(2)A　(3)2　[(1)sin 239°tan 149°＝sin (180°＋59°)·tan (180°－31°)＝－sin 59°·(－tan 31°)＝－sin (90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝． (2)由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°． 又cos(60°＋α)＝>0， 所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°， 所以120°<30°－α<180°，cos (30°－α)<0， 所以cos (30°－α)＝sin (60°＋α)＝－＝－＝ －． (3)∵cos＝， ∴sin α＝－， 又α∈， ∴cos α＝－， ∴tan α＝， ∴tan ＝＝2．] 反思领悟　利用互余(互补)关系求值的步骤 (1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等． (2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式． (3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 [跟进训练] 1．(1)已知sin ＝，则cos 的值为________； (2)已知sin ＝，则cos 的值为________； (3)已知sin (π＋α)＝－，则tan ＝_______________． － 或－ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 (1)　(2)－　(3)或－　[(1)cos ＝cos ＝sin ＝． (2)cos ＝cos ＝－sin ＝－． (3)∵sin (π＋α)＝－，∴sin α＝，∴α为第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，cos α>0，∴cos α＝＝＝， ∴tanα＝， ∴tan ＝－＝－； 当α为第二象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－＝－＝－，∴tanα＝－， ∴tan ＝－＝． 综上可知，当α为第一象限角时，tan ＝－， 当α为第二象限角时，tan ＝．] 类型2　利用诱导公式证明恒等式 【例2】　(1)求证：＝． (2)求证：＝－tan θ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 [证明]　(1)右边＝＝＝＝＝，所以原等式成立． (2)左边＝＝＝－tan θ＝右边，所以原等式成立． 反思领悟　三角恒等式的证明的策略 (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则． (2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 [跟进训练] 2．求证：＝－1． [证明]　因为＝ ＝＝＝－1＝右边，所以原等式成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 类型3　诱导公式的综合应用 【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 [解]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为α是第三象限角， 所以sinα＝－． 所以cos α＝－，tan α＝＝， 所以·tan2(π－α)＝·tan2α ＝tan2α＝－tan2α＝－． 反思领悟　诱导公式的综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 [跟进训练] 3．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB． (1)求的值； (2)若点A的横坐标为，求2sin αcos β的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 [解]　(1)∵β＝＋α， ∴sin β＝sin ＝cos α， cos β＝cos ＝－sin α， ∴＝＝－＝－1． (2)∵点A的横坐标为， ∴cos α＝，sin α＝， cos β＝－sin α＝－， ∴2sin αcos β＝2×＝－． 1．若sin <0，且cos >0，则θ是(　　) A．第一象限角　　 　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 学习效果·课堂评估夯基础 √ B　[由于sin ＝cos θ<0， cos ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B．] 第2课时　诱导公式五和公式六 2．(多选题)下列与sin θ的值相等的是(　　) A．sin (π＋θ) B．sin C．cos D．cos √ CD　[sin (π＋θ)＝－sin θ；sin ＝cos θ； cos ＝sin θ；cos ＝sin θ．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 3．已知tan θ＝2，则等于(　　) A．2　　　B．－2　　　C．0　　　D． √ B　[∵tan θ＝2， ∴＝＝＝＝＝－2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 4．计算：sin211°＋sin279°＝________． 1　[因为11°＋79°＝90°，所以sin79°＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1．] 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 5．已知cosα＝，且α为第四象限角，那么tan ＝________． 　[∵cos α＝，且α为第四象限角， ∴sin α＝－＝－， ∴tanα＝＝－2， ∴tan ＝－＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．公式一～四和公式五～六的函数名称有什么不同？ [提示]　公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变． 2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？ [提示]　“奇变偶不变，符号看象限”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．若sin (3π＋α)＝－，则cos 等于(　　) A．－　　　 B． C． D．－ 课时分层作业(四十三)　诱导公式五和公式六 √ 35 A　[∵sin (3π＋α)＝－sin α＝－， ∴sin α＝． ∴cos ＝cos ＝－cos ＝－sin α＝－．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知sin 10°＝k，则cos 620°的值为(　　) A．k B．－k C．±k D．不确定 √ B　[cos 620°＝cos (360°＋260°)＝cos 260° ＝cos (270°－10°)＝－sin 10°＝－k．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 37 3．已知sin ＝，则cos 等于(　　) A．－ C． D．－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[cos ＝cos ＝－sin ＝－．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 38 4．若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－a，则cos (270°－α)＋ 2sin (360°－α)的值是(　　) A．－　　　　B．－　　　　C．　　 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[由sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－a， 得－sin α－sin α＝－a，即sin α＝， cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 39 5．化简：＝(　　) A．－sin θ B．sin θ C．cos θ D．－cos θ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[原式＝＝＝－sin θ．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 40 二、填空题 6．化简sin (π＋α)cos ＋sin cos (π＋α)＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －1　[原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α)＝－sin2α－cos2α＝ －1．] －1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 41 7．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ＝______． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　[∵cos ＝－sin φ＝，∴sin φ＝－， 又∵|φ|＜， ∴cos φ＝，故tan φ＝－．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 42 8．若sin ＝－，且α∈，则tan ＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　[因为α∈，所以α＋∈， 又因为sin ＝－<0，所以α＋∈， 所以cos ＝－＝－． 所以tan＝， 所以tan ＝tan ＝－＝－．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 43 三、解答题 9．已知角α的终边经过点P． (1)求sin α的值； (2)求的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 44 [解]　(1)因为点P的坐标为， 所以|OP|＝1，sin α＝－． (2)＝＝， 由三角函数的定义知cos α＝，故所求式子的值为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 10．求证：＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [证明]　左边＝＝＝， 右边＝＝＝＝＝， 所以等式成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 46 11．若f (cos x)＝cos 2x，则f (sin 15°)的值为(　　) A．－　　　　 B． C．－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 47 12．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　) A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 48 AC　[∵sin (π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝， 若α＋β＝，则β＝－α． A中，sin β＝sin ＝cos α＝±，故A符合条件； B中，cos (π＋β)＝－cos ＝－sin α＝－，故B不符合条件； C中，tan β＝，即sin β＝cos β， 又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故C符合条件； D中，tan β＝，即sin β＝cos β， 又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故D不符合条件．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 13．在△ABC中，若cos ＝，则cos ＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[∵cos ＝cos ＝cos ＝sin ＝， ∴cos ＝＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 50 14．已知f (α)＝． (1)化简f (α)＝________； (2)若f ＝－，且α是第二象限角，则tan α＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 sin α － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 51 (1)sin α　(2)－　[(1)f (α)＝ ＝＝sin α． (2)由sin ＝－，得cos α＝－， 又α是第二象限角，所以sin α＝＝， 则tanα＝＝－．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin (3π－α)＝cos cos (－α)＝－cos (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　诱导公式五和公式六 53 [解]　由条件，得 ①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， 所以sin2α＝，cos2α＝． 又α∈，所以α＝或α＝－． 将α＝代入②，得cosβ＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 又β∈(0，π)， 所以β＝，代入①符合． 将α＝－代入②，得cos β＝， 又β∈(0，π)， 所以β＝，代入①不符合． 综上可知，存在α＝，β＝满足条件． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 $