5.2.3 第1课时 三角函数的诱导公式(一～四)-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式（一～四），通过单位圆情境提问引导学生观察角终边关系，推导公式，搭建从任意角三角函数定义到诱导公式应用的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于情境导学激发探究欲，例题分层覆盖求值、化简等类型，反思总结步骤方法。通过公式推导培养逻辑推理素养，运算练习提升数学运算能力，口诀“函数名不变，符号看象限”助力记忆。学生能提升解题技能，教师可直接使用系统教学资源与评估工具，提高教学效率。

第5章　三角函数 5.2　任意角的三角函数 5.2.3　诱导公式 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 学习任务 核心素养 1．能借助单位圆中的三角函数的定义推导出诱导公式一～四．(难点) 2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值、证明．(重点) 1．通过公式运算，培养数学运算素养． 2．借助公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养． 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 观察单位圆，回答下列问题： (1)角α与角2kπ＋α(k∈Z)的终边有什么关系？ (2)角α与角π＋α的终边有什么关系？ (3)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？ (4)在(3)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？ 必备知识·情境导学探新知 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 知识点1　公式一 sin (α＋2kπ)＝_______； cos (α＋2kπ)＝_______； tan (α＋2kπ)＝_______，其中k∈Z． sin α cos α tan α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 体验　1．sin (－315°)的值是________． 　[sin (－315°)＝sin (－360°＋45°)＝sin 45°＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 知识点2　公式二～四   终边关系 图示 公式 公 式 二 角－α与角α的终边关于____轴对称 sin (－α)＝__________， cos (－α)＝_______， tan (－α)＝__________ x －sin α cos α －tan α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四)   终边关系 图示 公式 公 式 三 角π＋α与角α的终边关于______对称 sin (π＋α)＝_______， cos (π＋α)＝_______， tan (π＋α)＝_______ 原点 －sin α －cos α tan α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四)   终边关系 图示 公式 公 式 四 角π－α与角α的终边关于___轴对称 sin (π－α)＝_______， cos (π－α)＝________， tan (π－α)＝__________ y sin α －cos α －tan α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 公式一至公式四可以概括为如下法则： kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于角α的______函数值，前面添上一个把角α看成______时原函数值的符号． 同名 锐角 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 思考　诱导公式中角α只能是锐角吗？ [提示]　诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 体验　2．填空： (1)若sin (π＋α)＝，则sin α＝________； (2)若cos (π－α)＝，则cos α＝________； (3)已知tan α＝6，则tan (－α)＝________； (4)sin 585°＝________． － － －6 － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 关键能力·合作探究释疑难 类型1　给角求值问题 【例1】　【链接教材P170例9、P172例10】 利用公式求下列三角函数值： (1)cos 225°；(2)sin ；(3)sin ；(4)tan (－2 040°)． 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) [解]　(1)cos 225°＝cos (180°＋45°)＝－cos 45°＝－． (2)sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝． (3)sin ＝－sin ＝－sin ＝－＝． (4)tan (－2 040°)＝－tan 2 040°＝－tan (6×360°－120°) ＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－． 【教材原题·P170例9、P172例10】 例9　求下列各三角函数值： (1)sin 81π； (2)tan 765°． [解]　(1)sin 81π＝sin (40×2π＋π)＝sin π＝0； (2)tan 765°＝tan (2×360°＋45°)＝tan 45°＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 例10　求下列各三角函数值： (1)sin ；(2)cos ；(3)tan ；(4)cos ． [解]　(1)sin ＝－sin ＝－； (2)cos ＝cos ＝－cos ＝－； (3)tan ＝tan ＝tan ＝1； (4)cos ＝cos ＝cos ＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 反思领悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或二来转化． (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) [跟进训练] 1．计算：(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ； (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°)． [解]　(1)原式＝ ＝ ＝＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) (2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－ sin [(－2)×360°＋114°] ＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin (180°－66°) ＝sin 66°－sin 66°＝0． 类型2　给值(式)求值问题 【例2】　(1)已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　　) A．　　　　 B． C． D．－ (2)已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 角“α－75°”与角“105°＋α”之间存在怎样的数量关系？如何借助这一关系求值？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) (1)A　[sin (α－360°)－cos (180°－α)＝sin α＋cos α＝m， sin (180°＋α)cos (180°－α)＝sin αcos α＝＝．] (2)[解]　∵cos (α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角， ∴sin (α－75°)＝－＝－＝－， ∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝． [母题探究] 例2(2)条件不变，求cos (255°－α)的值． [解]　cos (255°－α)＝cos [180°－(α－75°)] ＝－cos (α－75°)＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 反思领悟　解决条件求值问题的技巧 提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) [跟进训练] 2．(1)若sin (π＋α)＝，α∈，则tan (π－α)＝(　　) A．－　　　B．－　　　C．－　　　D． (2)已知cos ＝，求cos －sin2的值． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) (1)D　[∵sin(π＋α)＝－sin α＝，∴sin α＝－， 又α∈，∴cos α＝＝＝． ∴tanα＝＝－． ∴tan (π－)＝－tan α＝，故选D．] (2)[解]　因为cos ＝cos ＝－cos ＝－， sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝， 所以cos－sin2＝－＝－． 类型3　利用诱导公式化简 【例3】　【链接教材P172例11】 化简： (1)； (2)． [解]　(1)原式＝＝＝－tan α． (2)原式＝＝＝＝－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 【教材原题·P172例11】 例11　化简： ． [解]　原式＝＝－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 反思领悟　三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦或余弦函数． 提醒：注意分类讨论思想的应用． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) [跟进训练] 3．若tan (5π＋α)＝m，则的值为(　　) A．　　　C．－1　　　D．1 √ A　[∵tan (5π＋α)＝tan α＝m， ∴＝ ＝＝＝．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 1．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos (π－θ)的值为(　　) A．－　　B．－　　C．　　 学习效果·课堂评估夯基础 √ C　[由题意可知cos θ＝－，cos (π－θ) ＝－cos θ＝－＝．故选C．] 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 2．tan 等于(　　) A．－ C．－ √ C　[tan ＝tan ＝tan ＝tan ＝－tan ＝ －．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 3．已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos (α－π)的值是(　　) A． B．－ C．± √ B　[因为sin (π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－． 又α是第四象限角，所以cos α＝， 所以cos (α－π)＝cos (π－α)＝－cos α＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 4．化简：＝________． －2　[原式＝＝ ＝＝＝－2．] －2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 5．(教材P172练习T3改编)化简： (1)＝____________； (2)＝__________． (1)－cos2α　(2)－cosα [(1)＝＝＝－cos2α． (2)＝＝－cos α．] －cos2α －cosα 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．你能概括一下公式一～四的特征吗？ [提示]　诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数名不变，符号看象限”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 2．如何应用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？ [提示]　利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．sin (－1 380°)的值为(　　) A．－C．－ 课时分层作业(四十二)　三角函数的诱导公式(一～四) √ D　[sin (－1 380°)＝sin (－4×360°＋60°)＝sin 60°＝．] 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．(多选题)已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　) A．sin α＝sin β B．sin (α－2π)＝－sin β C．cos α＝cos β D．cos (2π－α)＝－cos β √ BC　[由题意可知α＝2kπ－β(k∈Z)，∴sin α＝sin (－β)＝－sin β；sin (α－2π)＝sin α＝－sin β；cos α＝cos (－β)＝cos β；cos (2π－α)＝cos (－α)＝cos α＝cos β，故选BC．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 39 3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为(　　) A．　　　　B．－　　　　C．　　　　D．－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[由题意得tan 600°＝－， 因为tan 600°＝tan (360°＋240°)＝tan 240° ＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝， 所以－＝，所以a＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 40 4．设sin 160°＝a，则cos 340°的值是(　　) A．1－a2 B． C．－ D．± 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[因为sin 160°＝a，所以sin (180°－20°)＝sin 20°＝a， 而cos 340°＝cos (360°－20°)＝cos 20°＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 41 5．已知sin ＝，则sin 的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[sin ＝sin ＝－sin ＝sin ＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 42 二、填空题 6．求值：(1)sin ＝________； (2)cos ＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)　(2)－　[(1)sin ＝sin ＝sin ＝． (2)cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 43 7．化简：sin2(2π－α)＋cos(π＋α)cos (π－α)＋1的值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[原式＝sin2α＋(－cosα)·(－cos α)＋1 ＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．已知tan＝5，则tan ＝________． －5　[tan ＝tan ＝－tan ＝－5．] －5 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 45 三、解答题 9．已知sin (α＋π)＝，且sin αcos α＜0，求的值． [解]　因为sin (α＋π)＝－sin α＝， 且sin αcos α＜0， 所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－， 所以＝＝＝－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知f (α)＝． (1)化简f (α)； (2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f (α)的值； (3)若α＝－，求f (α)的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)f (α)＝－＝－cos α． (2)∵sin (α－π)＝－sin α＝， ∴sin α＝－． 又α是第三象限角， ∴cos α＝－， ∴f (α)＝． 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (3)∵－＝－6×2π＋， ∴f ＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－． 49 11．记cos (－80°)＝k，则tan 100°等于(　　) A． B．－ C． D．－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[∵cos (－80°)＝cos 80°＝k，sin 80°＝＝，∴tan100°＝－tan 80°＝－．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 50 12．(多选题)已知A＝(k∈Z)，则A的值是(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ BD　[当k为偶数时，A＝＝2；当k为奇数时，A＝＝－2．故选BD．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 51 13．设f (x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋7，α，β均为实数，若 f (2 023)＝8，则f (2 024)的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 6　[因为f (2 023)＝a sin (2 023π＋α)＋b cos (2 023π＋β)＋7 ＝－a sin α－b cos β＋7， 所以－a sin α－b cos β＋7＝8，所以a sin α＋b cos β＝－1， 又f (2 024)＝a sin (2 024π＋α)＋b cos (2 024 π＋β)＋7 ＝a sin α＋b cos β＋7＝－1＋7＝6， 所以f (2 024)＝6．] 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 52 14．已知f (x)＝则f ＋f 的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －2　[f ＝sin ＝sin ＝sin ＝， f ＝f －1＝f －1＝f －2＝f －2 ＝sin －2＝－sin －2＝－－2＝－， 所以f ＋f ＝＝－2．] －2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 53 15．设k为整数，化简：． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　法一(分类讨论)：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)， 则原式＝＝＝＝－1； 当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1． 所以原式＝－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 54 法二(配角法)：由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，[(k＋1)π＋α]＋[(k－1)π－α]＝2kπ， 故cos [(k－1)π－α]＝cos [(k＋1)π＋α]＝－cos (kπ＋α)，sin [(k＋1)π＋α]＝－sin (kπ＋α)， sin (kπ－α)＝－sin (kπ＋α)． 所以原式＝＝－1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 $