4.4.1 方程的根与函数的零点-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“函数的零点与方程的解”，通过气象局气温变化图的情境问题导入，引导学生从现实现象抽象出零点存在性问题，衔接函数单调性等前置知识，搭建函数与方程联系的学习支架，为后续函数应用奠定基础。 其亮点在于以核心素养为导向，通过求分段函数零点培养数学运算能力，借助零点存在定理辨析题发展逻辑推理素养，利用图象法判断零点个数强化直观想象。例如例2结合代数与几何法解析，课堂小结结构化梳理知识脉络，既帮助学生提升综合能力，也为教师提供分层作业设计和差异化教学支持。

第4章　幂函数、指数函数和对数函数 4.4　函数与方程 4.4.1　方程的根与函数的零点 学习任务 核心素养 1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点) 2．会求函数的零点．(重点) 3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点) 1．借助零点的求法，培养数学运算和逻辑推理素养． 2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象素养． 4.4.1　方程的根与函数的零点 请观察下图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被不小心擦掉了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？ 必备知识·情境导学探新知 4.4.1　方程的根与函数的零点 知识点　函数零点存在定理 一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f (x)连续变化且有___________________，则存在点x0∈(a，b)，使得f (x0)＝0．如果y＝f (x)在区间[a，b]上单调递 增或单调递减，则方程f (x)＝0在(a，b)内恰有___个根． f (a)·f (b)<0 一 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 提醒　(1)定理要求具备两个条件：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f (a)·f (b)<0．两个条件缺一不可． (2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 体验　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (a)·f (b)>0，则f (x)在[a，b]内无零点． (　　) (2)若f (x)在[a，b]上为单调函数，且f (a)·f (b)<0，则f (x)在(a，b)内有且只有一个零点． (　　) (3)若f (x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f (a)·f (b)<0． (　　) × × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 关键能力·合作探究释疑难 类型1　求函数的零点 【例1】　(1)求函数f (x)＝的零点； (2)已知函数f (x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 4.4.1　方程的根与函数的零点 [解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2． 所以函数f (x)＝的零点为－3和e2． (2)由已知得f (3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a． 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝－． 所以函数g(x)的零点为0和－． 反思领悟　函数零点的求法 (1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根． (2)几何法：对于不能直接求出的方程的根，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 [跟进训练] 1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由． (1)f (x)＝x2＋7x＋6； (2)f (x)＝1－log2(x＋3)； (3)f (x)＝2x-1－3； (4)f (x)＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 [解]　(1)解方程f (x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6， 所以函数的零点是－1，－6． (2)解方程f (x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1． (3)解方程f (x)＝2x-1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26． (4)解方程f (x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6． 类型2　零点个数的判断 【例2】　【链接教材P130例1】 判断下列函数零点的个数： (1)f (x)＝(x2－4)log2x； (2)f (x)＝x2－； (3)f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 [解]　(1)令f (x)＝0，得(x2－4)log2x＝0，因此x2－4＝0或log2x＝0， 解得x＝±2或x＝1． 又因为函数定义域为(0，＋∞)，所以x＝－2不是函数的零点，故函数有2和1两个零点． (2)法一：令f (x)＝x2－＝0，得x2＝，即x3＝1，解得x＝1，故函数 f (x)＝x2－只有一个零点． 法二：令f (x)＝x2－＝0，得x2＝，设g(x)＝x2(x≠0)，h(x)＝，在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示． 由图象可知，两个函数图象只有一个交点， 故函数只有一个零点． (3)法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0， f (2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3>0， ∴f (x)＝0在(0，2)上必定存在实根． 又f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故f (x)有且只有一个零点． 法二：令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg (x＋1)，在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示． 由图象知g(x)＝lg (x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个公共点，即f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点． 【教材原题·P130例1】 例1　讨论函数f (x)＝2x3－5在区间(1，2)内零点的个数． [解]　由于f (1)＝－3<0，f (2)＝11>0，且f (x)＝2x3－5单调递增，因此，函数f (x)在区间(1，2)内零点的个数为1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 反思领悟　判断函数零点个数的常用方法 (1)直接法：解方程f (x)＝0，方程f (x)＝0解的个数就是函数f (x)零点的个数． (2)图象法：直接作出函数f (x)的图象，图象与x轴交点的个数就是函数f (x)零点的个数． (3)f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y＝ f (x)零点的个数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 [跟进训练] 2．讨论方程x3－3x＋1＝0根的个数与分布情况． [解]　设f (x)＝x3－3x＋1， ∵f (－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0， f (－1)＝－1＋3＋1＝3＞0， f (0)＝1＞0， f (1)＝1－3＋1＝－1＜0， f (2)＝8－6＋1＝3＞0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 ∴f (x)＝x3－3x＋1在区间(－2，－1)，(0，1)和(1，2)内各有一个零点． 由于f (x)＝x3－3x＋1＝x(x2－3)＋1在(－∞，－2]上为负，在[2，＋∞)上为正，大致图象如图所示，故只有这三个零点， 因此原方程有三个根，且分别位于区间(－2，－1)，(0，1)和(1，2)上． 类型3　判断函数零点所在的区间 【例3】　(1)函数f (x)＝ln (x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　) A．(3，4)　　B．(2，e)　　C．(1，2)　　D．(0，1) (2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是(　　) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋3 2 3 4 5 6 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 结合零点存在定理思考怎样判定函数在区间(a，b)内存在零点？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 (1)C　(2)C　[(1)因为f (1)＝ln 2－<0，f (2)＝ln 3－1>0，且函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数的零点所在的大致区间为(1，2)．故选C． (2)构造函数f (x)＝ex－x－3，由题表可得f (－1)＝0.37－2＝－1.63<0， f (0)＝1－3＝－2<0， f (1)＝2.72－4＝－1.28<0， f (2)＝7.39－5＝2.39>0， f (3)＝20.09－6＝14.09>0， f (1)·f (2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1，2)，故选C．] 反思领悟　判断函数零点所在区间的3个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 [跟进训练] 3．若函数f (x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是 (　　) A．－2 B．0 C．1 D．3 √ A　[f (x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0．故 f (x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 1．函数f (x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　) A．－，－1　　 B．，1 C．，－1 D．－，1 学习效果·课堂评估夯基础 √ B　[方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f (x)＝2x2－3x＋1的零点是，1．] 4.4.1　方程的根与函数的零点 2．函数f (x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) √ B　[∵f (1)＝2－3＝－1<0，f (2)＝4－3＝1>0， ∴f (1)·f (2)<0， 即f (x)的零点所在的区间为(1，2)．其他选项可逐一排除．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 3．对于函数f (x)，若f (－1)·f (3)<0，则(　　) A．方程f (x)＝0一定有实数解 B．方程f (x)＝0一定无实数解 C．方程f (x)＝0一定有两实根 D．方程f (x)＝0可能无实数解 √ D　[∵函数f (x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3) <0，但方程f (x)＝0在(－1，3)上可能无实数解．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有_______个零点． 2　[由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有2个零点．] 5．若函数f (x)＝＋a的零点是1，则实数a＝________． －　[由f (1)＝＋a＝0得a＝－．] 2 － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．函数的零点、相应方程的根及函数图象之间存在怎样的内在联系？ [提示]　函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 2．函数零点存在定理满足的条件有哪些？ [提示]　定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a)·f (b)<0． 3．探求函数零点个数的方式有哪些？ [提示]　直接解方程法；图象交点个数法；定理法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．若函数y＝f (x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表： 课时分层作业(三十四)　方程的根与函数的零点 则函数y＝f (x)在x∈[1，6]上的零点至少有(　　) A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 x 1 2 3 4 5 6 y －5 2 8 12 －5 －10 √ 32 B　[结合题意可知f (1)·f (2)<0，f (4)·f (5)<0，故f (x)在[1，6]上至少有2个零点．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．函数f (x)＝2x－的零点所在的区间是(　　) A．(1，＋∞) B． C． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 34 B　[由f (x)＝2x－，得 f ＝－2<0，f (1)＝2－1＝1>0， ∴f ·f (1)<0． ∴零点所在区间为．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 35 3．已知函数f (x)＝则函数f (x)的零点为(　　) A．，0　　　　B．－2，0　　　　C．　　　　D．0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[当x≤1时，由f (x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时， 由f (x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 36 4．函数f (x)＝ax2＋bx＋c，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x)在(1，2)上的零点(　　) A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[若a＝0，则f (x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f (1)·f (2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f (x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 37 5．若a<b<c，则函数f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(b，c)和(c，＋∞)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(a，b)和(b，c)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 38 C　[∵a<b<c，∴f (a)＝(a－b)(a－c)>0， f (b)＝(b－c)(b－a)<0， f (c)＝(c－a)(c－b)>0， ∴f (x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 39 二、填空题 6．函数f (x)＝的零点是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1　[令f (x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f (x)的零点为1．] 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 40 7．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈N，则k＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[令f (x)＝ln x＋x－4， 且f (x)在(0，＋∞)上单调递增， ∵f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0， ∴f (x)＝0在(2，3)内有解，∴k＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 41 8．定义在R上的奇函数f (x)满足f (x)＝x2－2x(x≥0)，则函数f (x)的零点有________个． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3　[当x≥0时，由f (x)＝0得x＝0或x＝2； 又f (x)为奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)＝0． 故f (x)在R上的零点有3个．] 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 42 三、解答题 9．判断函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点的个数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数． 在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)． 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有 一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根， 即函数f (x)＝ln x＋x2－3有一个零点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 43 法二：由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0， f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0， ∴f (1)·f (2)<0，又f (x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f (x)在(1，2)上必有零点， 又f (x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 10．已知函数f (x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点． (1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值； (2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)－1和－3是函数f (x)的两个零点，故－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根． 则解得k＝－2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 45 (2)函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根． ∴ 则－4≤k≤－，且α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k2－10k－6在－4≤k≤－上单调递减，∴α2＋β2在区间上的最大值是18，最小值是． 所以α2＋β2的取值范围是． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 11．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(　　) A．a>0 B．a≤0 C．a≥0 D．a<0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[由题意可知方程x2＋a＝0有解，∴a≤0，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 47 12．函数f (x)＝|x2－4x|－a恰好有四个不同零点，则a的值可以是(　　) A．a>4 B．4 C．0<a<4 D．0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[由|x2－4x|－a＝0得 a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 48 13．已知函数f (x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是_______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 a＜b＜c　[画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝ －x，y＝－2的图象，如图所示， 观察图象可知，函数f (x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c．] a＜b＜c 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 49 14．已知函数f (x)＝x2－bx＋3． (1)若f (0)＝f (4)，则函数f (x)的零点为________； (2)若函数f (x)一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1和3 (4，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 50 (1)1和3　(2)(4，＋∞)　[(1)由f (0)＝f (4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f (x)＝x2－4x＋3，令f (x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，所以f (x)的零点是1和3． (2)因为f (x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图． 需f (1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4． 故b的取值范围为(4，＋∞)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 15．关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时： (1)方程有一个正根和一个负根； (2)方程的两个根都大于1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4.1　方程的根与函数的零点 52 [解]　令f (x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1． (1)当方程有一个正根和一个负根时，f (x)对应的草图可能如图①②所示． 因此f (x)＝0有一个正根和一个负根等价于或解得0<a<1． 所以当0<a<1时，方程有一个正根和一个负根． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 图①　　　 　　　图② 53 (2)当方程的两个根都大于1时，f (x)对应的草图可能如图③④所示． 因此f (x)＝0的两个根都大于1等价于或 解得a∈∅． 所以不存在实数a使方程的 两个根都大于1. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 图③　　　　　　　　图④ 54 $