4.2.1-4.2.2 第2课时 指数函数的性质的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦指数函数性质的应用，涵盖利用单调性比较幂的大小、解指数不等式及复合函数单调性分析等核心内容。通过复习指数函数图象与性质，结合“指数爆炸和衰减”实例导入，搭建从基础到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以逻辑推理和数学运算素养为核心，通过“例练结合+反思领悟”模式强化解题方法，如比较大小分同底、不同底、含参数三类情境，复合函数单调性采用换元法分析内外层函数关系。课堂小结系统梳理比较大小、单调性判断等方法，分层作业满足不同学生需求。学生能提升推理与运算能力，教师可直接使用结构化教学资源提升效率。

第4章　幂函数、指数函数和对数函数 4.2　指数函数 4.2.1　指数爆炸和指数衰减 4.2.2　指数函数的图象与性质 第2课时　指数函数的性质的应用 学习任务 核心素养 1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点) 2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点) 借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养． 第2课时　指数函数的性质的应用 关键能力·合作探究释疑难 类型1　利用指数函数的单调性比较大小 【例1】　【链接教材P111例4】 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6-1.2和0.6-1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)． 第2课时　指数函数的性质的应用 [解]　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2． (2)0.6-1.2，0.6-1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值， 因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5， 所以0.6-1.2<0.6-1.5． (3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1． (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3． 【教材原题·P111例4】 例4　比较下列各组中两个数的大小： (1)3.51.5，3.51.3；(2)0.31.5，0.31.3；(3)0.70.8，0.80.7． [解]　(1)3.51.5，3.51.3可看作函数y＝3.5x的两个函数值． 由于底数3.5>1，所以指数函数y＝3.5x在R上是增函数． 因为1.5>1.3，所以3.51.5>3.51.3． (2)0.31.5，0.31.3可看作函数y＝0.3x的两个函数值． 由于底数0.3<1，所以指数函数y＝0.3x在R上是减函数． 因为1.5>1.3，所以0.31.5<0.31.3． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 (3)因为y＝0.7x在R上是减函数，所以0.70.8<0.70.7． 由＝>1得0.70.7<0.80.7． 所以0.70.8<0.70.7<0.80.7． 反思领悟　比较幂大小的方法 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间量来判断． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 [跟进训练] 1．比较下列各值的大小：，． [解]　先根据幂的特征，将这4个数分类： (1)负数：；(2)大于1的数：，； (3)大于0且小于1的数：． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 (2)中，<< (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)， 故有<<< 类型2　利用指数函数的单调性解不等式 【例2】　(1)解不等式≤2； (2)已知<ax+6(a>0，a≠1)，求x的取值范围． [解]　(1)∵2＝，∴原不等式可以转化为． ∵y＝在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0， 故原不等式的解集是{x|x≥0}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 (2)分情况讨论： ①当0<a<1时，函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数， ∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0， 根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5； ②当a>1时，函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数， ∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x<5． 综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5． 反思领悟　指数型不等式的解法 (1)指数型不等式a f (x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法： 当a>1时，f (x)>g(x)； 当0<a<1时，f (x)<g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0且a≠1)，a－x＝(a>0且a≠1)等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 [跟进训练] 2．求解下列不等式： (1)已知3x≥，求实数x的取值范围； (2)若a-5x>ax+7(a>0且a≠1)，求x的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 [解]　(1)因为＝30.5，所以由3x≥可得3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5． (2)①当0<a<1时，函数y＝ax是减函数，则由a-5x>ax+7可得－5x<x＋7，解得x>－． ②当a>1时，函数y＝ax是增函数，则由a-5x>ax+7可得－5x>x＋7，解得x<－． 综上，当0<a<1时，x>－；当a>1时，x<－． 类型3　指数型函数的单调性及应用 【例3】　判断f (x)＝的单调性． 如果令u＝x2－2x，试分别写出y＝及u＝x2－2x的单调区间，并思考y＝的单调性同y＝及u＝x2－2x单调性存在怎样的关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 [解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞) 上递减． [母题探究] 1．把本例的函数改为“f (x)＝”，求其单调区间． [解]　函数y＝的定义域是R． 令u＝－x2＋2x，则y＝2u． 当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝是增函数， 所以函数y＝在(－∞，1]上是增函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝是增函数，所以函数y＝在[1，＋∞)上是减函数． 综上，函数y＝的单调递减区间是[1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，1]． 2．本例函数不变，求f (x)的值域． [解]　法一：∵f (x)在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减， ∴f (x)max＝f (1)＝＝3． 又f (x)>0，∴f (x)的值域为(0，3]． 法二：∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝，u∈[－1，＋∞)，∴0<＝3，∴原函数的值域为(0，3]． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 反思领悟　函数y＝a f (x)(a>0且a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数y＝a f (x)(a>0且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数是a>1还是0<a<1；二是f (x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝ f (x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过f (u)和φ(x)的单调性，求出y＝f (φ(x))的单调性． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 [跟进训练] 3．求下列函数的单调区间： (1)y＝ (a>1)；(2)y＝2|x-1|． [解]　(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，∴当a>1时，y＝au在R上是增函数， 故函数y＝(a＞1)单调递增区间为，单调递减区间为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 (2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x-1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数， ∴y＝2x-1在[1，＋∞)上为增函数； 当x∈(－∞，1)时，函数y＝21-x． 而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数， ∴y＝21-x在(－∞，1)上为减函数．故函数y＝2|x-1|的单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)． 1．若2x+1<1，则x的取值范围是(　　) A．(－1，1)　　　　 B．(－1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) 学习效果·课堂评估夯基础 √ D　[∵2x+1<1＝20，且y＝2x是增函数， ∴x＋1<0，∴x<－1．] 第2课时　指数函数的性质的应用 2．(教材P112练习T3改编)下列判断正确的是(　　) A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83 D．0.90.3＞0.90.5 √ D　[∵y＝0.9x在定义域上是减函数＞0.90.5．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 3．函数y＝(x≥8)的值域是(　　) A．R B． C． √ B　[因为y＝在[8，＋∞)上单调递减，所以0<＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 4．函数y＝的单调递增区间为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，1) A　[由已知得，y＝f (x)的定义域为R． 设u＝1－x，则y＝．因为u＝1－x在R上为减函数， 又因为y＝在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以y＝在(－∞，＋∞)上为增函数， 所以选A．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 5．函数y＝的定义域是_______________． [0，＋∞)　[由1－≥0得≤1＝， ∴x≥0， ∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)．] [0，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．如何比较两个指数式值的大小？ [提示]　(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性． (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 2．函数y＝a f (x)的单调性同y＝f (x)的单调性存在怎样的对应关系？ [提示]　当a>1时，y＝a f (x)与f (x)单调性相同； 当0<a<1时，y＝a f (x)与f (x)单调性相反． 即“同增异减”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 3．如何求函数y＝a f (x)的值域？ [提示]　函数y＝a f (x)的值域的求解方法如下： (1)换元，令t＝f (x)； (2)求t＝f (x)的定义域x∈D； (3)求t＝f (x)的值域t∈M； (4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则(　　) A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 课时分层作业(二十九)　指数函数的性质的应用 √ 31 D　[a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．若<，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　 B． C．(－∞，1) D． √ B　[∵函数y＝在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 33 3．若函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A． C．∪(1，＋∞) D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x)＝3(2a-1)x+3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 34 4．已知函数f (x)＝3x－，则f (x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 35 A　[因为f (x)＝3x－，定义域为R，所以f (－x)＝3－x－＝－3x＝－＝－f (x)，即函数f (x)是奇函数． 又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f (x)＝3x－在R上是增函数．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 36 5．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0，1]上的最大值是(　　) A．6 B．1 C．3　　　　 D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上是增函数，故当x＝1时，y最大值＝3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 37 二、填空题 6．已知a＝，函数f (x)＝ax，若实数m，n满足f (m)>f (n)，则m，n的大小关系为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 m<n　[∵a＝∈(0，1)，∴f (x)＝ax在R上是减函数，又f (m)> f (n)，∴m<n．] m<n 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 38 7．若函数f (x)＝则函数f (x)的值域是_________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (－1，0)∪(0，1)　[由x<0，得0<2x<1；由x>0， ∴－x<0，0<2－x<1， ∴－1<－2－x<0． ∴函数f (x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．] (－1，0)∪(0，1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 39 8．函数f (x)＝的单调递增区间为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [0，＋∞)　[由于底数∈(0，1)，所以函数f (x)＝的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f (x)＝的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f (x)＝的单调递增区间为[0，＋∞)．] [0，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 40 三、解答题 9．(源自苏教版教材)(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围； (2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)因为3>1， 所以指数函数y＝3x是增函数． 由3x≥30.5可得x≥0.5． 故x的取值范围为区间[0.5，＋∞)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 41 (2)因为0<0.2<1， 所以指数函数y＝0.2x是减函数． 因为25＝＝0.2-2， 所以0.2x<0.2-2． 由此可得x>－2． 故x的取值范围为区间(－2，＋∞)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 42 10．已知f (x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1，2]． (1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值； (2)求f (x)的最大值与最小值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)t＝3x，∵x∈[－1，2]，函数t＝3x在[－1，2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为． (2)由f (x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9， 故当t＝1时，函数f (x)有最小值为3，当t＝9时，函数f (x)有最大值为67． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 43 11．(多选题)若f (x)＝3x＋1，则(　　) A．f (x)在[－1，1]上单调递增 B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称 C．f (x)的图象过点(0，1) D．f (x)的值域为[1，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 44 AB　[f (x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f (0)＝2，得f (x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f (x)>1，则D错误．故选AB．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 12．(多选题)关于函数f (x)＝的说法中，正确的是(　　) A．偶函数 B．奇函数 C．在(0，＋∞)上是增函数 D．在(0，＋∞)上是减函数 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 46 BC　[∵f (－x)＝＝－＝－f (x)， ∴f (x)为奇函数． 又y＝πx在(0，＋∞)上单调递增，y＝π－x在(0，＋∞)上单调递减， ∴y＝πx－π－x在(0，＋∞)上单调递增，故f (x)在(0，＋∞)上单调递增．故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 13．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是__________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[由题意可知1＋2x＋a·4x≥0在(－∞，1]上恒成立， 即a≥－－在(－∞，1]上恒成立． 又y＝－－＝－－在(－∞，1]上的最大值为－，∴a≥－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 48 14．定义运算：ab＝则函数f (x)＝3－x3x的值域为________． (0，1]　[由题意得，f (x)＝函数f (x)的图象如图所示， 由图可知f (x)的值域为(0，1]．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (0，1] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 49 15．已知函数f (x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f (x)在R上为增函数； (2)是否存在实数a使f (x)为奇函数？证明你的结论； (3)在(2)的条件下，求f (x)在区间[1，5]上的最小值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数的性质的应用 50 [解]　(1)证明：∵f (x)的定义域为R，设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则f (x1)－f (x2)＝＝． ∵x1<x2， >0， ∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)， ∴不论a为何实数，f (x)在R上为增函数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 (2)存在．若f (x)在R上为奇函数， 则f (0)＝0，即a－＝0，解得a＝． (3)由(2)知，f (x)＝，由(1)知，f (x)为增函数， ∴f (x)在区间[1，5]上的最小值为f (1)． ∵f (1)＝＝， ∴f (x)在区间[1，5]上的最小值为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 $