4.2.1-4.2.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象与性质，涵盖指数爆炸、衰减及实际应用，通过“对折报纸”情境引导学生观察数量关系，从具体问题抽象出函数模型，经填表计算、图象分析形成从直观到逻辑的学习支架。 其亮点在于融合直观想象、逻辑推理与数学建模核心素养，如通过绘制图象培养直观想象，借助底数限制条件分析发展逻辑推理，结合人口增长、木材蓄积量等实例提升数学语言表达与应用意识。分层例题与反思总结助力学生梳理知识，教师可高效开展分层教学，学生能深化对数学与现实联系的理解。

第4章　幂函数、指数函数和对数函数 4.2　指数函数 4.2.1　指数爆炸和指数衰减 4.2.2　指数函数的图象与性质 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 学习任务 核心素养 1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点) 1．通过指数函数图象的绘制，培养直观想象素养． 2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养． 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？ 折叠次数　 对应层数　 对折后的面积S x＝1 　 y＝2＝21 S＝ x＝2 　 y＝4＝22 S＝＝ x＝3 　 y＝8＝23 S＝＝ ……　　 ……　　 　 …… 必备知识·情境导学探新知 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 知识点1　指数函数的概念 如果让底数为常数而使指数为自变量x，则得到一类新的函数______(x∈R)，叫作指数函数，其中a>0且a≠1． y＝ax 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 思考　1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1． [提示]　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2是指数函数． (　　) (2)函数y＝2－x不是指数函数． (　　) × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 知识点2　指数爆炸和指数衰减 (1)指数爆炸：当底数a>1时，指数函数值随自变量的增长而______，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． (2)指数增长：在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长_________是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长． (3)指数衰减：当底数a满足0<a<1时，指数函数值随自变量的增长而______以至无限接近于___，叫作指数衰减．指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其______百分比是一个______． 增大 百分比 缩小 0 缩小 常量 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 体验　2．某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%．则x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式为___________________________． y＝100(1＋1.2%)x 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 y＝100(1＋1.2%)x　[1年后城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 2年后城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3， …… 故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x．] 分别求出指数函数y＝2x在自变量取－2，－1，－，0，，1，2时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测指数函数y＝2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由． x －2 －1 － 0 1 2 y＝2x               课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 知识点3　指数函数的图象与性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域 (－∞，＋∞) 值域 _____________ 过定点 ___________，即当x＝0时，y＝____ 单调性 在R上是_________ 在R上是_________ 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于______对称 (0，＋∞) (0，1) 1 增函数 减函数 y轴 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 思考　2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？ [提示]　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a．当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 提醒　指数函数图象的特征 同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示． 直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0<b<a<1<d<c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 体验　3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数y＝mx(m>0且m≠1)是R上的增函数． (　　) (2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)既不是奇函数，也不是偶函数． (　　) (3)所有的指数函数图象过定点(0，1)． (　　) (4)函数y＝a|x|与函数y＝|ax|的图象是相同的． (　　) × × √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 体验　4．函数y＝3－x的图象是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D √ B　[∵y＝3－x＝，∴B选项正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 关键能力·合作探究释疑难 类型1　指数函数的概念 【例1】　下列函数中，指数函数的个数是(　　) ①y＝(－8)x；②y＝ ；③y＝ax；④y＝2·3x． A．1 B．2　　　　 C．3　　　　 D．0 √ 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 D　[①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x，所以不是指数函数； ③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数； ④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D．] 反思领悟　判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)ax的系数必须为1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 [跟进训练] 1．已知函数f (x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是_________________________． ∪(1，＋∞)　[由题意可知 解得a>，且a≠1， 所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．] ∪(1，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 类型2　指数函数的实际应用 【例2】　【链接教材P107例1】 某林区2022年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%． (1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f (x)的表达式，并求此函数的定义域； (2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 [解]　(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)． 经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2． ∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x． ∴y＝f (x)＝200(1＋5%)x，函数的定义域为{x|x∈N}． 作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值． ∵8<x0<9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)． 即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米． (2)作函数y＝f (x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象如图所示． x 0 1 2 3 … y 200 210 220.5 231.5 … 【教材原题·P107例1】 例1　某公司为大力提升创新水平，计划逐年加大研发资金投入．若该公司当年投入的研发资金为3 500万元，预计下一年(将为计划执行的第一年)投入的研发资金为4 200万元；如果假定增速a不变，该公司第x年投入的研发资金用函数G(x)＝C·ax来近似地表示，写出此函数的解析式，并以此估计计划执行的第8年该公司投入研发资金为多少万元(结果精确到1万元)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 [解]　按假设条件和数据，有 G(0)＝C·a0＝3 500，G(1)＝C·a1＝4 200． 解得C＝3 500，于是a＝＝＝． 因此，该函数解析式为G(x)＝3 500×． 以此估计出该公司第8年投入的研发资金为G(8)＝C·a8＝3 500× ≈15 049(万元)． 反思领悟　实际应用问题中指数函数模型的类型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 [跟进训练] 2．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　) A．y＝ B．y＝(0.957 6)100x C．y＝ D．y＝1－ √ A　[由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 类型3　指数函数的图象的应用 【例3】　(1)函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 (2)函数y＝ax-3＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________． √ (3，4) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 (1)D　(2)(3，4)　[(1)由于f (x)单调递减，所以0<a<1，又0<f (0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，所以b<0，故选D． (2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4．故函数y＝ax-3＋3(a>0且a≠1)的图象过定点(3，4)．] 反思领悟　指数函数图象问题的处理技巧 (1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点． (2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 [跟进训练] 3．已知f (x)＝2x，指出下列函数的图象是由y＝f (x)的图象通过怎样的变化得到： (1)y＝2x+1；(2)y＝2x-1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 [解]　(1)y＝2x+1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位长度得到． (2)y＝2x-1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到． (3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到． (4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象． (5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象． 1．下列函数一定是指数函数的是(　　) A．y＝2x+1　　 B．y＝x3 C．y＝3·2x D．y＝3－x 学习效果·课堂评估夯基础 √ D　[结合指数函数的定义可知D正确，故选D．] 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 2．若指数函数f (x)的图象过点(3，8)，则f (x)的解析式为(　　) A．f (x)＝x3　 B．f (x)＝2x C．f (x)＝ D．f (x)＝ √ B　[设f (x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f (3)＝8得 a3＝8， ∴a＝2， ∴f (x)＝2x，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 3．(教材P113习题4.2 T7改编)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 B　[作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d )，由图可知b<a<1<d<c，故选B．] 4．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为________． 　[设原物质的量为1，则经过一年后该物质剩余量为，即年衰变率为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 5．若函数f (x)＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围是___________________________． 　[由题意可知故a<且a≠1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．函数f (x)＝ax是指数函数吗？ [提示]　不一定，当a>0且a≠1时，f (x)＝ax是指数函数． 2．指数型函数的形式是什么样的？ [提示]　形如y＝kax(k≠0，a>0且a≠1)． 3．指数函数的图象主要由谁决定？ [提示]　指数函数的底数决定图象的变化趋势． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．若函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是(　　) A．4　　　　B．1或3　　　　C．3　　　　D．1 课时分层作业(二十八)　指数函数的概念、图象与性质 √ C　[由题意得解得a＝3，故选C．] 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．函数y＝－1的定义域是(　　) A．R B．{x|x≠1} C．{x|x≠0} D．{x|x≠0且x≠1} √ C　[只需有意义，即x≠0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 41 3．指数函数y＝f (x)的图象经过点，那么f (4)·f (2)等于 (　　) A．8 B．16 C．32 D．64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[由指数函数y＝f (x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点，可得a-2＝，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f (4)·f (2)＝24×22＝64．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 42 4．已知函数f (x)＝若f (f (－1))＝4，则a＝(　　) A． C．1 D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[由题意得f ( f (－1))＝f (2－(－1))＝f (2)＝a2＝4，又a＞0，且a≠1，所以a＝2，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 43 5．我国2020年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到2030年底我国人口总数是(　　) A．M(1＋p)8 B．M(1＋p)9 C．M(1＋p)10 D．M(1＋p)11 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[从2020到2030年一共增长了10次．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 44 二、填空题 6．函数f (x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1，3)　[令x－1＝0，得x＝1，f (1)＝2×1＋1＝3， 所以f (x)的图象恒过定点(1，3)．] (1，3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 45 7．某农场今年计划种甘蔗100 hm2，以后每年比前一年多种20%，那么从今年算起，第四年应种甘蔗________hm2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 172.8　[因为今年计划种甘蔗100 hm2，以后每年比前一年多种20%，所以第二年种100(1＋20%) hm2， 第三年种100(1＋20%)2 hm2， 第四年种100(1＋20%)3＝172.8 hm2．] 172.8 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 46 8．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8 100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为________元． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2 400　[12年后的价格将降为8 100×＝2 400(元)．] 2 400 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 47 三、解答题 9．人工放射性核素碘－131可发射β射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，即一定质量的碘－131经过8天之后剩留原来质量的一半．设质量为a的碘－131经过x天后剩留的质量为y，试写出y关于x的函数解析式． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　根据题意，物质的半衰期为8天，则每隔8天质量变为原来的一半，则y＝a，x∈N＋． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 48 10．设f (x)＝3x，g(x)＝． (1)在同一坐标系中作出f (x)，g(x)的图象； (2)计算f (1)与g(－1)，f (π)与g(－π)，f (m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 49 [解]　(1)函数f (x)，g(x)的图象如图所示： (2)f (1)＝31＝3，g(－1)＝＝3， f (π)＝3π，g(－π)＝＝3π， f (m)＝3m，g(－m)＝＝3m． 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 A　　　　B　　　　　C　　　　D 11．函数y＝a－|x|(0<a<1)的图象是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 51 A　[y＝a－|x|＝，易知函数为偶函数，∵0<a<1，∴>1，故当x>0时，函数为增函数，当x<0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 12．(多选题)若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 53 ABC　[∵a>1，且－1<b<0，故其图象如图所示． 故函数y＝ax＋b的图象一定过第一、二、三象限．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 13．若方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是 ________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，所以a≥1或a＝0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 55 14．已知实数a，b满足等式＝，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b．其中，可能成立的有________．(填序号) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ①②⑤ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 56 ①②⑤　[作y＝与y＝的图象(图略)． 当a＝b＝0时，＝＝1； 当a<b<0时，可以使＝； 当a>b>0时，也可以使＝． 故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 15．已知函数 f (x)＝ax＋b(a>0且a≠1)． (1)若f (x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围； (2)若f (x)的图象如图②所示，| f (x)|＝m有且仅有一个实数解，求m的范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 58 [解]　(1)由f (x)为减函数可知a的取值范围为(0，1)， 又f (0)＝1＋b<0，所以b的取值范围为(－∞，－1)． (2)由题图②可知，y＝|f (x)|的图象如图所示． 由图象可知使|f (x)|＝m有且仅有一解的m的取值范围为m＝0或m≥3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 $