课时分层作业27 幂函数（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

课时分层作业(二十七)　幂函数 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共105分 一、选择题 1．已知幂函数f (x)＝kxα的图象过点，则k＋α等于(　　) A． B．1　　　　 C．　　　　 D．2 2．幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是(　　) A．1，3 B．－1，1 C．－1，3 D．－1，1，3 4．当0<x<1时，f (x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x-2的大小关系是(　　) A．h(x)<g(x)<f (x) B．h(x)<f (x)<g(x) C．g(x)<h(x)<f (x) D．f (x)<g(x)<h(x) 5．函数f (x)＝＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是(　　) A．f (a)＞f (b) B．f (a)＜f (b) C．f (a)＝f (b) D．以上都不对 二、填空题 6．已知幂函数f (x)＝xα的图象经过点，则f (6)＝________． 7．若幂函数f (x)＝(m2－m－1)x2m-3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________． 8．已知4.1α>4.3α，则α的取值范围是__________． 三、解答题 9．已知函数f (x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f (x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)幂函数？ 10．已知幂函数f (x)＝(m2－5m＋7)xm-1为偶函数． (1)求f (x)的解析式； (2)若g(x)＝f (x)－ax－3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围． 11．(多选题)某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在区间(－∞，0)上单调递减．则以下幂函数符合这三个性质的有(　　) A．f (x)＝x2　　 B．f (x)＝x C．f (x)＝x-1 D．f (x)＝ 12．(多选题)已知函数f (x)＝xα图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若x>1，则f (x)>1 D．若0<x1<x2，则<f 13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________． 14．已知幂函数f (x)＝xα的图象过点，函数g(x)＝(x－2)f (x)，则函数g(x)的最大值为________，最小值为________． 15．已知幂函数f (x)＝(p∈N)在(0，＋∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数． (1)求p的值，并写出相应的函数f (x)的解析式； (2)对于(1)中求得的函数f (x)，设函数g(x)＝－qf (f (x))＋(2q－1)f (x)＋1，问：是否存在实数q(q<0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在区间(－4，0)上是增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(二十七) A组　基础合格练 1．C　[∵幂函数f (x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f ，即α＝， ∴k＋α＝．] 2．B　[设幂函数为f (x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)＝3α＝，解得α＝，所以f (x)＝，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B．] 3．A　[当α＝－1时，y＝x-1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当α＝时，函数y＝的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A．] 4．D　[特值法．取x＝代入排除A，B，C，可知D正确．故选D．] 5．A　[∵f (x)为幂函数， ∴ ∴f (x)＝， ∴f (x)在[0，＋∞)上单调递增，且a>b>0， ∴f (a)>f (b)．] 6．36　[依题意3＝()α，所以α＝2， 所以f (x)＝x2，所以f (6)＝62＝36．] 7．－1　[∵f (x)＝(m2－m－1)x2m-3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1． 当m＝2时，f (x)＝x，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f (x)＝x-5，符合题意． 综上可知，m＝－1．] 8．(－∞，0)　[因为0<4.1<4.3，而4.1α>4.3α，所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0．] 9．解：(1)若函数f (x)为正比例函数，则 ∴m＝1． (2)若函数f (x)为反比例函数，则 ∴m＝－1． (3)若函数f (x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±． 10．解：(1)由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f (x)为偶函数，则m＝3， 所以f (x)＝x2． (2)g(x)＝x2－ax－3＝在[1，3]上不单调， 则对称轴x＝满足1<<3， 即2<a<6． 所以实数a的取值范围为(2，6)． B组　能力过关练 11．CD　[A．f (x)＝x2，为偶函数，排除； B．f (x)＝x，值域为R，排除； C．f (x)＝x-1，为奇函数，值域为{y|y∈R，且y≠0}，在区间(－∞，0)上单调递减，满足； D．f (x)＝，为奇函数，值域为{y|y∈R，且y≠0}，在区间(－∞，0)上单调递减，满足．] 12．ACD　[将点(4，2)代入函数f (x)＝xα得：2＝4α，则α＝，所以f (x)＝． 显然f (x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确． f (x)的定义域为[0，＋∞)，所以f (x)不具有奇偶性，所以B不正确． 当x>1时，>1，即f (x)>1，所以C正确． 当0<x1<x2时， ＝ ＝＝<0， 即成立，所以D正确．故选ACD．] 13．9　[由题意，得2＝4α，解得α＝， 则y＝＝3，得x＝9，即明文是9．] 14．－1　－3　[因为f (x)的图象过点＝2α， 所以α＝－1，所以f (x)＝x-1， 所以g(x)＝(x－2)·x-1＝． 又g(x)＝1－上是增函数， 所以g(x)最小值＝g＝－3， g(x)最大值＝g(1)＝－1．] C组　拓广探索练 15．解：(1)因为f (x)在(0，＋∞)上是增函数，由幂函数的图象和性质知－>0，解得－1<p<3． 因为p∈N，所以p＝2，1，0． 当p＝0或2时，f (x)＝，不是偶函数；当p＝1时，f (x)＝x2，是偶函数．故p＝1，f (x)＝x2． (2)g(x)＝－qx4＋(2q－1)x2＋1，令t＝x2，则h(t)＝－qt2＋(2q－1)t＋1(t≥0)．因为t＝x2在(－∞，0)上是减函数，所以当x∈(－∞，－4]时，t∈[16，＋∞)；当x∈(－4，0)时，t∈(0，16)．当h(t)在[16，＋∞)上是增函数，在(0，16)上是减函数时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，在(－4，0)上是增函数，此时二次函数h(t)的对称轴方程是t＝16，即t＝＝16，所以q＝－．故存在实数q＝－，使得g(x)在(－∞，－4]上是减函数，且在(－4，0)上是增函数． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $