3.2.2 第1课时 奇偶性的概念-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的概念，系统讲解奇函数、偶函数的定义、图象特征及判断方法。通过情境问题引导学生填表观察自变量互为相反数时的函数值关系，衔接函数概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境导学培养直观想象，如通过f(x)=x²等函数值观察发现规律，结合例题解析与反思领悟培养逻辑推理，如总结定义法判断奇偶性四步法。分层作业设计满足不同需求，学生能循序渐进掌握知识，教师可借助系统资源提升教学效率。

第3章　函数的概念与性质 3.2　函数的基本性质 3.2.2　函数的奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 学习任务 核心素养 1．理解奇函数、偶函数的定义．(重点) 2．了解奇函数、偶函数图象的特征．(重点) 3．掌握判断函数奇偶性的方法．(难点) 1．借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养． 2．借助判断函数奇、偶性的方法，培养逻辑推理素养． 第1课时　奇偶性的概念 填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征． 必备知识·情境导学探新知 x －3 －2 －1 1 2 3 f (x)＝x2             g(x)＝             第1课时　奇偶性的概念 知识点　函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数F(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 F(－x)＝F(x) F(－x)＝－F(x) 图象特点 关于____对称 关于______对称 y轴 原点 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 思考　具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ [提示]　定义域关于原点对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数． (　　) (2)对于函数y＝f (x)，若存在x，使f (－x)＝－f (x)，则函数y＝f (x)一定是奇函数． (　　) (3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． (　　) (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数． (　　) × × × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 体验　2．函数y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于 (　　) A．－1　　　　　　 B．0 C．1 D．无法确定 √ C　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 关键能力·合作探究释疑难 类型1　函数奇偶性的判断 【例1】　【链接教材P84例4】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝x3＋x；(2)f (x)＝； (3)f (x)＝；(4)f (x)＝ 第1课时　奇偶性的概念 [解]　(1)函数的定义域为R， 且f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f (x)，因此函数f (x)是奇函数． (2)由得x2＝1，即x＝±1． 因此函数的定义域为{－1，1}，且f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 因为函数的定义域不关于原点对称，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x)的定义域为{x|x≠0}， f (－x)＝即f (－x)＝ 于是有f (－x)＝－f (x)， 所以f (x)为奇函数． 【教材原题·P84例4】 例4　判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝x2＋|x|； (2)g(x)＝x＋； (3)h(x)＝x3(x∈[－2，5])． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 [解]　(1)函数f (x)的定义域为R．因为对∀x∈R，均有－x∈R，且 f (－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f (x)，所以f (x)为偶函数． (2)函数g(x)的定义域为{x|x≠0}．因为对∀x∈{x|x≠0}，均有－x∈ {x|x≠0)，且g(－x)＝－x＋＝－＝－g(x)，所以g(x)为奇函数． (3)因为h(x)的定义域关于原点不对称，所以h(x)既不是奇函数也不是偶函数． 反思领悟　判断函数奇偶性的2种方法 (1)定义法： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 (2)图象法： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 [跟进训练] 1．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x)＝x6＋1； (2)f (x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f (x)＝； (4)f (x)＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 [解]　(1)函数f (x)＝x6＋1的定义域为R， 且f (－x)＝＋1＝x6＋1＝f (x)， 所以函数f (x)＝x6＋1为偶函数． (2)函数f (x)的定义域是R，且f (－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f (x)， 所以f (x)是偶函数． (3)函数f (x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，且 f (－x)＝＝－＝－f (x)， 所以函数f (x)＝为奇函数． (4)函数f (x)的定义域为R， 当x<0时，－x>0，f (－x)＝(－x)3＝－x3，而f (x)＝x2，所以当x<0时不满足f (－x)＝f (x)，也不满足f (－x)＝－f (x)．故此函数是非奇非偶函数． 类型2　奇偶函数的图象问题 【例2】　已知奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5，0]上的图象； (2)写出使f (x)<0的x的取值集合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 [解]　(1)因为函数f (x)是奇函数，所以y＝f (x)在[－5，5]上的图象关于原点对称． 由y＝f (x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．   (2)由图象知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)． [母题探究] 将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题． [解]　(1)图象如图所示：   (2)由(1)可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2，5)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 反思领悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 [跟进训练] 2．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f (x)＝x2＋2x．现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f (x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f (x)的递增区间； (3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 [解]　(1)由题意作出函数图象如图： (2)据图可知，递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)． 类型3　利用函数的奇偶性求值 【例3】　(1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________； (2)已知f (x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________． 0 7 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 (1)从偶函数的图象特征思考如何求解参数a，b的值？ (2)函数g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx是奇函数还是偶函数，能否借助g(x)的奇偶性对该问题作出解答？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 (1)　0　(2)7　　[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝． 又函数f (x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0． (2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数， 所以f (－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f (－3)＝－3， 所以g(3)＝5．又f (3)＝g(3)＋2，所以f (3)＝5＋2＝7．] 反思领悟　利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝ f (x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值的和为0求参数． (2)求函数值：利用f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 [跟进训练] 3．若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________． 4　[法一：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4． 法二：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4． 法三：由函数f (x)＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f (x)是偶函数， ∴4－a＝0，∴a＝4．] 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 1．已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b等于(　　) A．－1　　　　B．1　　　　C．0　　　　D．2 学习效果·课堂评估夯基础 √ A　[由题意可知－1＋2＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1，故选A．] 第1课时　奇偶性的概念 2．(教材P84练习T1改编)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝ D．y＝x2，x∈[0，1] √ B　[选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 A　　　　B　　　　C　　　　D 3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) √ B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 4．若f (x)为R上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝________． 3　[由题意可知f (－2)＝f (2)＝3．] 5．已知函数f (x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______． 0　[∵f (x)为奇函数，∴f (－x)＋f (x)＝0， ∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，∴a＝0．] 3 0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．函数奇偶性的定义域、图象和解析式各有什么特点？ [提示]　(1)定义域特点：关于原点对称； (2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称； (3)解析式特点：偶函数满足f (－x)＝f (x)或f (x)－f (－x)＝0，奇函数满足 f (－x)＝－f (x)或f (x)＋f (－x)＝0． 2．判断函数奇偶性的常用方法有哪些？ [提示]　定义法和图象法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．(多选题)下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝x(x∈[0，1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x| 课时分层作业(二十三)　奇偶性的概念 √ CD　[A不具有奇偶性；B是偶函数；CD是奇函数．] √ 34 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．设f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f (x)＝x2－x，则 f (1)＝(　　) A．－ B．－ C． √ A　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 35 3．若函数f (x)(f (x)≠0)为奇函数，则必有(　　) A．f (x)f (－x)>0 B．f (x)f (－x)<0 C．f (x)<f (－x) D．f (x)>f (－x) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[∵f (x)为奇函数， ∴f (－x)＝－f (x)， 又f (x)≠0， ∴f (x)f (－x)＝－[f (x)]2<0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 36 4．函数f (x)＝2x－的图象关于(　　) A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．直线y＝x对称 D．坐标原点对称 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则f (－x)＝－2x＋＝－＝－f (x)， 则函数f (x)是奇函数，函数f (x)＝2x－的图象关于坐标原点对称．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 37 5．如图，给出奇函数y＝f (x)的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为 (　　) A．－2 B．2 C．1 D．0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[由题图可知f (1)＝，f (2)＝，又f (x)为奇函数， ∴f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－＝－2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 38 二、填空题 6．已知f (x)＝x3＋2x，则f (a)＋f (－a)的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 0　[∵f (－x)＝－x3－2x＝－f (x)， ∴f (－x)＋f (x)＝0， ∴f (a)＋f (－a)＝0．] 0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 39 7．若函数f (x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[∵f (x)为偶函数，故m－2＝0， ∴m＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 40 8．下列说法中正确的有________．(填序号) ①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数； ②图象关于y轴对称的函数是偶函数； ③奇函数的图象一定过坐标原点； ④偶函数的图象一定与y轴相交． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ①②　[由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f (x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f (x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以④说法错误．] ①② 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 41 三、解答题 9．(源自人教B版教材)已知函数f (x)满足f (5)<f (3)，分别在下列各条件下比较f (－5)与f (－3)的大小； (1)f (x)是偶函数； (2)f (x)是奇函数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)因为f (x)是偶函数，所以f (－x)＝f (x)，因此f (－5)＝f (5)， f (－3)＝f (3)， 从而由条件可知f (－5)<f (－3)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 42 (2)因为f (x)是奇函数， 所以f (－x)＝－f (x)， 因此f (－5)＝－f (5)，f (－3)＝－f (3)， 又由条件可知－f (5)>－f (3)， 从而f (－5)>f (－3)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 43 10．如图是函数f (x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 44 [解]　因为f (x)＝， 所以f (x)的定义域为R． 又对任意x∈R，都有f (－x)＝＝＝f (x)， 所以f (x)为偶函数． 所以f (x)的图象关于y轴对称， 其图象如图所示． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 11．设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (－x)．若f ＝，则f ＝(　　) A．－ B．－ C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 46 C　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．又f (1＋x)＝ f (－x)，∴f ＝f ＝f ，f ＝－f ＝－f ＝ －f ＝f ＝，故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 12．(多选题)设函数f (x)，g(x)的定义域都为R，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f (x)g(x)是奇函数 B．|f (x)|g(x)是偶函数 C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．|f (x)g(x)|是偶函数 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 48 ABD　[∵f (x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴|f (x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数． 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得A为奇函数，B为偶函数，C为奇函数，D为偶函数．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 13．已知函数f (x)＝为奇函数，则a＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －1　[∵f (x)为奇函数， ∴f (－x)＝－f (x)， 即＝－． 显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1．] －1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 50 14．设奇函数f (x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f (x)的图象如图所示，则f (－3)＝________；不等式f (x)<0的解集用区间表示为___________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 0 [－6，－3)∪(0，3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 51 0　[－6，－3)∪(0，3)　[由图象可知f (3)＝0，又f (x)为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝0．由f (x)在[0，6]上的图象知，满足f (x)<0的不等式的解集为(0，3)．又f (x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f (x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式 f (x)<0的解集为[－6，－3)∪(0，3)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 15．设函数f (x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R． (1)王鹏同学认为，无论a取何值，f (x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由； (2)若f (x)是偶函数，求a的值； (3)在(2)的情况下，画出y＝f (x)的图象并指出其单调递增区间． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　奇偶性的概念 53 [解]　(1)我同意王鹏同学的观点．理由如下： 假设f (x)是奇函数， 则由f (a)＝a2＋3，f (－a)＝a2－4|a|＋3， 可得f (a)＋f (－a)＝0， 即a2－2|a|＋3＝0，显然a2－2|a|＋3＝0无解，所以f (x)不可能是奇函数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 (2)若f (x)为偶函数，则有f (a)＝f (－a)，即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0．经验证，此时f (x)＝x2－2|x|＋3是偶函数． (3)由(2)知f (x)＝x2－2|x|＋3，其图象如图所示，由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 $