2.1.2 基本不等式-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“基本不等式”核心知识点，通过情境导学表格引导学生观察不同a、b取值下√ab与(a+b)/2的大小关系，自主发现结论，衔接不等式性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理和数学运算素养为导向，通过概念辨析（如等号成立条件对比）、分层训练（基础体验题到拓广证明题）及“1的代换”等典型例题，深化学生对基本不等式的理解与应用。学生能提升数学思维，教师可借助结构化内容高效开展教学。

第2章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　相等关系与不等关系 2.1.2　基本不等式 学习任务 核心素养 1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养． 2.1.2　基本不等式 填写下表： 必备知识·情境导学探新知 a b 与的大小关系       1       4 16       2 2       … …       2.1.2　基本不等式 (1)观察与的大小关系，从中你发现了什么结论？ (2)你能给出它的证明吗？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 知识点　基本不等式 (1)定理：对任意a，b∈R，a2＋b2___2ab，当且仅当_____时等号成立． (2)推论：对任意正数a，b，，当且仅当_______时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．把不等式(a＞0，b＞0)称为基本不等式． ≥ a＝b a＝b 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 提醒　常见变形：①ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． ②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 思考　不等式a2＋b2≥2ab与不等式中等号成立的条件一样吗？ [提示]　不同，前者为a＝b，后者为a＝b>0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 × × √ 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　) (2)若a≠0，则a＋≥2＝2． (　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤． (　　) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 体验　2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1　　　 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 B　[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 关键能力·合作探究释疑难 类型1　对基本不等式的理解 【例1】　(多选题)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若a，b为正实数，则≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＝－≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则≤ab √ √ 2.1.2　基本不等式 AC　[∵a，b为正实数，∴为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确； ∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴＋a≥2＝4是错误的，故B错误； 由xy＜0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D错误，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．] 反思领悟　对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，的等号成立，即＝⇒a＝b． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 [跟进训练] 1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x＞1，则x＋≥2＝2； ②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则≥2＝2． ② 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 ②　[①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时，即x＝1，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．] 类型2　利用基本不等式比较大小 【例2】　(1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P (2)已知a，b，c是两两不相等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． p>q √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 (1)B　(2)p>q　[(1)法一：显然＞，又因为＜(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞．故M＞P＞Q． 法二：取a＝，b＝，易知M>P>Q，故选B． (2)∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac． ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)． 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．即p>q．] 反思领悟　1．在理解基本不等式时，要从形式到内涵中理解，特别要关注条件． 2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 [跟进训练] 2．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 D　[法一：∵0<a<1，0<b<1，且a≠b， ∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2， ∴a＋b>a2＋b2，故选D． 法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．] 类型3　利用基本不等式证明不等式 【例3】　【链接教材P39例6】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>9． 由a＋b＋c＝1为切入点，思考是否需要把“”中的“1”替换成a＋b＋c，然后选择基本不等式证明>9． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 [证明]　∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， ∴＝＝3＋ ＝3＋≥3＋2＋2＋2 ＝3＋2＋2＋2 ＝9． 当且仅当a＝b＝c时取等号，∴>9． [母题探究] 本例条件不变，求证：>8． [证明]　∵a，b，c是互不相等的正数， 且a＋b＋c＝1，∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0， ∴＝≥＝8， 当且仅当a＝b＝c时取等号，∴＞8． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 【教材原题·P39例6】 例6　对任意三个正实数a，b，c，求证： a＋b＋c≥， 当且仅当a＝b＝c时等号成立． [证明]　因为a，b，c>0，由基本不等式，得a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，把上述三个式子的两边分别相加，得 2(a＋b＋c)≥2()，即a＋b＋c≥， 当且仅当a＝b，b＝c，c＝a，即a＝b＝c时等号成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 反思领悟　1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，如通过“1”的代换，为运用基本不等式创造条件． 2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 [跟进训练] 3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2． [证明]　由基本不等式可得 a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，当且仅当a2＝b2时等号成立， 同理，b4＋c4≥2b2c2，当且仅当b2＝c2时等号成立，c4＋a4≥2a2c2，当且仅当a2＝c2时等号成立， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，当且仅当a2＝b2＝c2时等号成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 学习效果·课堂评估夯基础 √ B　[由题意可知x－2y>0，∴x>2y．] 2.1.2　基本不等式 2．(多选题)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为(　　) A．≥ab B．≥2 C．ab≤ √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 ACD　[由a，b∈R，得≥ab，A正确；由a，b∈R，得与不一定是正数，故B不一定成立；ab－＝－≤0，故C正确；－＝－≤0，故D正确，故选ACD．] 3．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋≤－2 √ C　[A不成立，如a＝－1；B不成立，如a＝－1；D选项显然错误；故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 4．比较大小：________2．(填“>”“<”“≥”或“≤”) ≥　[由于＝＝≥2，当且仅当＝，即x＝0时等号成立，故填≥．] ≥ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 5．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．(填序号) ①；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab． ③　[根据≥ab，成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．] ③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．如何由不等式a2＋b2≥2ab导出？ [提示]　对于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到a＋b≥2，即． 2．基本不等式的常见变形有哪些？ [提示]　①a＋b≥2；②ab≤． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．(多选题)下列条件可使≥2成立的是(　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 课时分层作业(十二)　基本不等式 √ ACD　[当且仅当＝>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．] √ √ 33 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－b<0 B．0<<1 C．< D．ab>a＋b √ C　[∵a>b>0，由基本不等式知<一定成立．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 34 3．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　) A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 35 A　[由a＋b≥2可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 36 4．下列各不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1，其中正确的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[仅②④正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 37 5．已知a，b是正实数，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 ≥2 C．≥2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[由得a＋b≥2，∴A成立； ∵≥2＝2，∴B成立； ∵＝2，∴C成立； ∵＝，∴D不一定成立．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 38 二、填空题 6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是 ___________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0， ∴＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 39 7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x≤ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 40 x≤　[由题意得第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2， 则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． ∴1＋x＝＝1＋， ∴x≤，当且仅当a＝b时等号成立．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 41 8．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 36　[y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时函数取得最小值4．又由已知x＝3时，ymin＝4，∴＝3，即a＝36．] 36 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 42 三、解答题 9．已知a，b为正实数，且a＋b＝1．求证：≥4． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [证明]　＝＝1＋＋1 ＝2＋≥2＋2＝4． 当且仅当a＝b时“＝”成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 43 10．已知a，b，c为正数，求证：≥3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [证明]　左边＝－1＋－1＋－1＝－3． ∵a，b，c为正数，∴≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)； ≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)； ≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 44 从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)． ∴－3≥3， 即≥3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 11．(多选题)设0<a<b，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．a2＋b2<b B．a＞a2＋b2 C．a<2ab< <a2＋b2<1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 46 ACD　[由0<a<b，a＋b＝1，得0<a<<b<1．对于A，将a＋b＝1两边平方，整理得a2＋b2＝1－2ab＝b＋a－2ab＝b＋a(1－2b)．又<b，所以1－2b<0，所以a2＋b2<b，所以A正确．对于B，<b⇒1<2b⇒a<2ab<a2＋b2，所以B错误．对于C，由B知a<2ab．又2ab<2×＝，所以C正确．对于D，易知a2＋b2>＝．又a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b＝1，所以D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 12．已知a>1，则三个数的大小关系是(　　) A．<< << C．<< < 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[当a，b是正数时，≤，令b＝1，得．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 48 13．设a>0，b>0，给出下列不等式： ①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a． 其中恒成立的是________________．(填序号) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ①②③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 49 ①②③　[由于a2＋1－a＝＋>0，故①恒成立； 由于＝ab＋≥2＋2＝4． 当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立； 由于(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝4．当且仅当＝，即a＝b时，“＝”成立，故③恒成立； 当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．综上，恒成立的是①②③．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 14．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段________的长度是a，b的几何平均数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 CD CD　[在Rt△ADB中，DC为高，由△ACD∽△BCD可知CD2＝AC·CB，∴CD＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 51 15．(1)已知a，b，c∈R，求证：(a＋b＋c)； (2)若0<x<1，a>0，b>0，求证：． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　基本不等式 52 [证明]　(1)∵， ∴＝(当且仅当a＝b时，等号成立)； 同理，(当且仅当b＝c时，等号成立)； (当且仅当a＝c时，等号成立)． 三式相加得＝(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 (2)∵0<x<1，∴1－x>0， 左边＝＝a2＋b2＋b2＋a2 ≥a2＋b2＋2＝a2＋b2＋2ab＝＝右边． 当且仅当b2＝a2时等号成立． 即≥(a＋b)2 ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 $